Mustaqil ish -5: Oddiy differensial tenglamalar

Izoh. (7) tenglama uchun mos bo’lgan algebraik tenglamaning y=a ko’rinishdagi yechimlari alohida tekshirilishi lozim, aks holda maxsus yechimlarni yo’qotish mumkin.
Misollar. Quyidagi differensial tenglamalarni yeching
a) . b) . с) .
Yechish. a) tenglamani soddalashtiramiz:

Oxirgi tenglama o’zgaruvchilari ajralgan, uni integrallaymiz:

Chap tarafdagi integral bo’laklab integrallash usuli yordamida hisoblanadi:

Natijada

umumiy integralni hosil qilamiz .
Javob: .
b) Berilgan tenglamadan o’zgaruvchilari ajralgan
tenglamani hosil qilamiz.
Bu tenglamani integrallaymiz:
Bundan ko’rinishdagi umumiy integralga ega bo’lamiz.
Natijada umumiy yechimni topamiz.
algebraik tenglamaning yechimi berilgan tenglamaning maxsus yechimi bo’lishini qayd etamiz. Javob: , .
с) ifodani soddalashtiramiz:

.
Oxirgi tenglamadan o’zgaruvchilari ajralgan

tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamani integrallaymiz:

Bunda integrallar jadvalidan foydalanib, umumiy integralni topamiz.
algebraik tenglamaning yechimlaridan har biri berilgan tenglamaning maxsus yechimi bo’lishini qayd etamiz.
Javob: , .
Misollar. Differensial tenglamaning berilgan boshlang’ich shartni qanoatlantiradigan yechimlarini toping:
a) , . b) , .
c) , (bunda - ixtiyoriy sonlar)
Yechish. a) Berilgan tenglamani ko’rinishda yozib, undan o’zgaruvchilari ajralgan

tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamani integrallaymiz:
, , .
Endi у(2) = 1 boshlang’ich shartdan foydalanib, С ning qiymatini topamiz:

Bundan yani ko’rinishdagi xususiy yechimlarga ega bo’lamiz.
Javob: .
b) tenglamani o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga olib kelamiz:
 .
Bundan quyidagilarni hosil qilamiz:
;
Chap tarafdagi integralni bo’laklab integrallash usulida topamiz:

Bundan umumiy integrallarga ega bo’lamiz. C ning qiymatini aniqlash uchun у(1) = 0 boshlang’ich shartdan foydalanamiz.

Natijada xususiy integralga ega bo’lamiz.
Javob:
c) tenglamani o’zgaruvchilari ajralgan tenglamaga olib kelamiz:

Bundan kelib chiqadi va biz umumiy integralga va

umumiy yechimga ega bo’lamiz.
C ning qiymatini aniqlash uchun у(х₀) = у₀ boshlang’ich shartdan foydalanamiz.
.
Natijada xususiy yechimga ega bo’lamiz.
Javob: .
3. O’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalarga olib kelinadigan masalalarni ko’rib chiqamiz.
Masala. Ustki (katta) asosning diametri d₁, pastki asosining diametri d₂, balandlik H bo’lgan konussimon rezervuar suv bilan to’ldirilgan. Suv rezervuar tubidagi a diametrli teshik orqali oqizib yuborilganda rezervuar qancha vaqtda bo’shashini aniqlang. (2-rasm)
Masalani umumiy holda yechib, olingan natijani berilgan vaziyatga qo’llaymiz.
h balandlikka ( ) mos bo’lgan idishning ko’ndalang kesim yuzi ma‘lum S=S(h) ko’rinishga ega bo’lib, u H sathgacha suyuqlik bilan to’ldirilgan bo’lsin. Idish tubida yuzi  bo’lgan teshikdan suyuqlik oqib chiqmoqda. Suyuqlik sathi dastlabki H holatdan istalgan h gacha pasayish vaqti t ni va idishning to’la bo’shash vaqti T ni aniqlaymiz. Bunda idishdagi suyuqlik miqdorining o’zgarish tezligi v idishdagi suyuqlik sathi h ning ma‘lum v=v(h) funksiyasi deb faraz qilinadi.
Biror t vaqt momentida idishdagi suyuqlik balandligi h ga teng bo’lsin, t dan t+dt gacha bo’lgan dt vaqt oralig’ida idishdan oqib chiqadigan suyuqlik miqdori dv ni asosning yuzi , balandligi v(h) bo’lgan silindr hajmi sifatida hisoblab chiqish mumkin.
Shunday qilib