Mustaqil ish -5: Oddiy differensial tenglamalar

dv= v(h)dt. (8)
Endi suyuqlikning ana shu hajmini boshqa usul bilan hisoblaymiz. Suyuqlik oqib chiqqanligi sababli idishdagi suyuqlikning h sathi dh<0 kattalikka o’zgaradi, demak
dv= - S(h)dh. (9)
(8) va (9) lardan ushbu o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamaga ega bo’lamiz:
 v(h)dt= - S(h)dh
O’zgaruvchilarni ajratamiz:
Oxirgi ifodaning chap tarafini 0 dan t gacha, o’ng tarafni esa mos bo’lgan H dan h gacha oraliqlarda integrallaymiz va natijada

tenglikka ega bo’lamiz.
Idish batamom bo’shaganda h=0, shu sababli idishning to’la bo’shash vaqti T ushbu formula bo’yicha topiladi:

Gidravlikadan ma‘lumki, agar suyuqlik yetarlicha kichik teshikdan oqib chiqayotgan bo’lsa, u holda quyidagi Torrichelli qonuni o’rinli:
,
bu yerda g 10 m/s² -erkin tushish tezlanishi,  - sarf bo’lish koeffitsienti (suv uchun  0,6) . Bu holda hosil qilingan formulalar quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
(10).

Ravshanki, berilgan konusning ko’ndalang kesim yuzi

formula yordamida aniqlanadi.
Shu sababli T uchun hosil bo’lgan formulaga ko’ra:

g 10 m/s² va  0,6 ni inobatga olsak,
T
taqribiy formulaga ega bo’lamiz.
Javob: T
Masala. Massasi m, issiqlik sig’imi c o’zgarmas bo’lgan jism boshlang’ich momentda T₀ temperaturaga ega bo’lsin. Havo temperaturasi o’zgarmas va  (T>) ga teng. Jismning cheksiz kichik dt vaqt ichida bergan issiqligi jism va havo temperaturalari orasidagi farqqa, shuningdek vaqtga proporsional ekanligini e‘tiborga olgan holda jismning sovish qonunini toping.
Yechish. Sovish davomida jism temperaturasi T₀ dan  gacha pasayadi. Vaqtning t momentida jism temperaturasi T ga teng bo’lsin. Cheksiz kichik dt vaqt oralig’ida jism bergan issiqlik miqdori masala shartiga ko’ra
dQ=-k(T-)dt
ga teng, bu yerda k=const - proporsionallik koeffitsienti.
Ikkinchi tomondan, jism T temperaturadan  temperaturagacha soviganda beradigan issiqlik miqdori Q=mc(T-) ga teng. Demak, Q=mcdT.
dQ uchun topilgan har ikkala ifodani taqqoslab, mcdT=- k(T-)dt differensial tenglamani hosil qilamiz. O’zgaruvchilarni ajratish natijasida quyidagiga ega bo’lamiz:
.
Bu tenglamani integrallab, quyidagini topamiz:
, yoki T-=C .
Boshlang’ich shart (t=0 da T=T₀) C ni topishga imkon beradi:
Shuning uchun jismning sovish qonuni quyidagi ko’rinishda yoziladi:
.
Javob: .
Masala. Egri chiziqning istalgan nuqtasidan koordinata o’qlariga parallel to’g’ri chiziqlar o’tkazishdan hosil bo’lgan to’g’ri to’rtburchak shu egri chiziq bilan ikki qismga bo’linadi. Bu bo’laklardan Ox o’qqa yopishganining yuzi ikkinchisinikidan ikki marta katta. Agar egri chiziq M₀(1;1) nuqtadan o’tishi ma‘lum bo’lsa, uni toping.
Yechish. Egri chiziqning M(x,y) nuqtasi orqali Oy o’qqa parallel MA to’g’ri chiziq va Ox o’qqa parallel MB to’g’ri chiziq o’tkazamiz (3-rasm)
Masala shartiga ko’ra . Ma‘lumki,

Noma‘lum funksiya uchun yoki
munosabatlarni hosil qilamiz.

3-rasm
Oxirgi munosobatlarning ikkala tomonini x bo’yicha differensiallash natijasida 2x =y differensial tenglamani hosil qilamiz. Bu o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamaning yechimi =Cx ekanligini topish qiyin emas.
Boshlang’ich shartdan foydalanib, C=1 ni topamiz. Shunday qilib, izlanayotgan egri chiziq y²=x paraboladan iborat ekan.
Javob: y²=x.
Quyidagi differensial tenglamalarni yeching (1.1-1.20):

1.9. . 1.10.
1.11. . 1.12.
1.13. . 1.14.
1.15. . 1.16.
1.17. . 1.18.
1.19. . 1.20.
Quyidagi Koshi masalalarini yeching (1.21-1.22):
1.21. 1.22.
1.23. . 1.24.
1.25. . 1.26.
1.27. .
1.29. Balandligi H=1,5m, asosining diametri D=1m bo’lgan silindrik idish suv bilan to’ldirilgan. Suv idish tubidagi diametri d=5sm bo’lgan teshik orqali oqizib yuborilganda idish qancha vaqtda bo’shashini aniqlang.
1.30. O’q v₀=200m/s tezlik bilan harakatlanib h=10 sm qalinlikdagi devorni teshib, undan v₁=80m/s tezlik bilan uchib chiqadi. Devorning qarshilik kuchi o’qning harakat tezligi kvadratiga proporsional. O’qning devor ichida harakatlanish T vaqtini toping.
1.31. A(0;-2) nuqtadan o’tuvchi va ixtiyoriy nuqtasida o’tkazilgan urinmaning burchak koeffitsienti urinish nuqtasi ordinatasining uchlanganiga teng bo’lgan chiziqni toping.
1.32. Egri chiziqning istalgan nuqtasidagi urinmasining koordinatalar o’qlari orasidagi kesmasi urinish nuqtasida teng ikkiga bo’linadi. Shu egri chiziqni toping.
1.33. Jismning havoda sovish tezligi jism temperaturasi va havo temperaturasi ayirmasiga proportsional. Agar havo temperaturasi 20⁰C bo’lganda jism 20 minutda 100⁰C dan 60⁰C gacha sovisa, uning temperaturasi necha minutda 30⁰C gacha pasayadi?