Reja: Markazli egri chiziqning tenglamasini soddalashtirish

MAVZU: IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLARNING TENGLAMALARINI SODDALASHTIRISH.

Reja:

1. Markazli egri chiziqning tenglamasini soddalashtirish.

2. Markazli egri chiziqning kanonik tenglamasini tekshirish.

3. Markazsiz egri chiziqning tenglamasini soddalashtirish.

4. Umumiy tenglama bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlarni aniqlash va sinflarga ajratish.

1. Markazli egri chiziqning tenglamasini soddalashtirish.

Ikkinchi tartibli egri chiziqning markazi koordinatalar boshida bo‘lgan holda uning tenglamasi
𝐴𝑥² + 2𝐵𝑥₁𝑦₁ + 𝐶𝑦² + 2𝑓⁽𝑎, 𝑏⁾ = 0, (5.1)
1 1
bunda
2𝑓⁽𝑎, 𝑏⁾ = 𝐴𝑎² + 2𝐵𝑎𝑏 + 𝐶𝑏² + 2𝐷𝑎 + 2𝐸𝑏 + 𝐹. (5.2)
O‘zgaruvchi koordinatalarni 𝑎, 𝑏 orqali faraz qilganda,
𝑓_𝑎⁽𝑎, 𝑏⁾ + 𝑘𝑓_𝑏⁽𝑎, 𝑏⁾ = 0 (5.3) bo‘ladi. Izlangan geometrik o‘rinning, ya’ni diametrning tenglamasi shundan iborat
𝑓_𝑎⁽𝑎, 𝑏⁾ = 𝐴𝑎 + 𝐵𝑏 + 𝐷, 𝑓_𝑏⁽𝑎, 𝑏⁾ = 𝐵𝑎 + 𝐶𝑏 + 𝐸 bo‘ladi. (5.3) ga asosan markazli egri chiziqning 𝑎 va 𝑏 koordinatalari ushbu sistema bilan aniqlangan edi:

_{𝐴𝑎 + 𝐵𝑏 + 𝐷 = 0,
𝐵𝑎 + 𝐶𝑏 + 𝐸 = 0,
(5.4)

bulardan birinchisini 𝑎 ga va ikkinchisini 𝑏 ga ko‘paytirib, so‘ngra
ularni qo‘shamiz. Bu holda
𝐴𝑎² + 2𝐵𝑎𝑏 + 𝐶𝑏² + 𝐷𝑎 + 𝐸𝑏 = 0
bo‘ladi. Buning ikkala tomoniga 𝐷𝑎 + 𝐸𝑏 + 𝐹 ni qo‘shib, (5.2) ni e’tiborga olsak,
𝑓⁽𝑎, 𝑏⁾ = 𝐷𝑎 + 𝐸𝑏 + 𝐹 (5.5)
bo‘ladi. Agar bundagi 𝑎 va 𝑏 ning o‘rniga ularning ifodalari qo‘yilsa:
𝐷²𝐶 + 𝐵𝐷𝐸 + 𝐴𝐸² − 𝐵𝐷𝐸

2𝑓⁽𝑎, 𝑏⁾ =
𝐵² − 𝐴𝐶 ^{+ 𝐹 =}

yoki
𝐷²𝐶 − 2𝐵𝐷𝐸 + 𝐴𝐸² + 𝐵²𝐹 − 𝐴𝐶𝐹
⁼ 𝐵² − 𝐴𝐶 ^,
∆
2𝑓⁽𝑎, 𝑏⁾ = − _{𝐵2 − 𝐴𝐶} . (5.6)

Shuning uchun (5.1) tenglamaning ko‘rinishi quyidagicha
bo‘ladi:

𝐴𝑥² + 2𝐵𝑥 𝑦
+ 𝐶𝑦² = ^∆
. (5.7)

1 1 1

¹ 𝐵² − 𝐴𝐶

Bu tenglamani yana soddalashtirish maqsadi bilan koordinata
o‘qlarining yo‘nalishlarini o‘zgartiramiz, ya’ni biror, hozircha ma‘lum bo‘lmagan, ixtiyoriy burchakka aylantiramiz. Aylantirilgan burchak, ya’ni koordinata o‘qlarining yangi va eski yo‘nalishlar orasidagi burchak 𝛼 faraz qilinsa va egri chiziqning yangi sistemaga nisbatan o‘zgaruvchi koordinatalari 𝑥 va 𝑦 faraz qilinsa, u holda almashtirish formulalari quyidagicha bo‘ladi:


_{𝑥₁ = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑦𝑠𝑖𝑛𝛼,
𝑦₁ = 𝑥𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑦𝑐𝑜𝑠𝛼.
(5.8)

Bularni (5.7) ga qo‘yamiz:

𝐴⁽𝑥𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑦𝑠𝑖𝑛𝛼⁾² + 2𝐵⁽𝑥𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑦𝑠𝑖𝑛𝛼⁾⁽𝑥𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑦𝑐𝑜𝑠𝛼⁾ +
+𝐶(𝑥𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑦𝑐𝑜𝑠𝛼)² = ^∆ ,
𝐵² − 𝐴𝐶
yoki bundagi qavslarni ochib, 𝑥², 𝑥𝑦 va 𝑦² li hadlari to‘plab olinsa, uning ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi:
⁽𝐴𝑐𝑜𝑠²𝛼 + 2𝐵𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝐶𝑠𝑖𝑛²𝛼⁾𝑥² + 2(−𝐴𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 +
+𝐵𝑐𝑜𝑠²𝛼 − 𝐵𝑠𝑖𝑛²𝛼 + 𝐶𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼)𝑥𝑦 + (𝐴𝑠𝑖𝑛²𝛼 −

−2𝐵𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝐶𝑐𝑜𝑠²𝛼)𝑦² = ^∆
𝐵² − 𝐴𝐶
. (5.9)

Bu tenglamaning koeffitsiyentlarini quyidagicha ifoda qilamiz:
𝐴₁ = 𝐴𝑐𝑜𝑠²𝛼 + 2𝐵𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝐶𝑠𝑖𝑛²𝛼

^{𝐵₁ = −𝐴𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝐵𝑐𝑜𝑠²𝛼 − 𝐵𝑠𝑖𝑛²𝛼 + 𝐶𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝐶₁ = 𝐴𝑠𝑖𝑛²𝛼 − 2𝐵𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝐶𝑐𝑜𝑠²𝛼
Bu holda (5.9) ning ko‘rinishi bunday bo‘ladi:
(5.10)

𝐴₁
𝑥² + 2𝐵₁
𝑥𝑦 + 𝐶₁
𝑦² = ^∆
𝐵² − 𝐴𝐶
. (5.11)

(5.10) dagi ifodalardan birinchisi bilan uchinchisini qo‘shsak:
𝐴₁ + 𝐶₁ = 𝐴 + 𝐶 (5.12)
va birinchisidan uchinchisini ayirsak:
𝐴₁ − 𝐶₁ =
= 𝐴⁽𝑐𝑜𝑠²𝛼 − 𝑠𝑖𝑛²𝛼⁾ + 4𝐵𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝐶⁽𝑐𝑜𝑠²𝛼 − 𝑠𝑖𝑛²𝛼⁾ =
= ⁽𝐴 − 𝐶⁾⁽𝑐𝑜𝑠²𝛼 − 𝑠𝑖𝑛²𝛼⁾ + 4𝐵𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼;
𝑐𝑜𝑠²𝛼 − 𝑠𝑖𝑛²𝛼 = 𝑐𝑜𝑠2𝛼, 2𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑠𝑖𝑛2𝛼
bo‘lgani uchun

yoki
𝐴₁ − 𝐶₁ = ⁽𝐴 − 𝐶⁾𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 2𝐵𝑠𝑖𝑛2𝛼,
𝐵₁ = 𝐵⁽𝑐𝑜𝑠²𝛼 − 𝑠𝑖𝑛²𝛼⁾ − ⁽𝐴 − 𝐶⁾𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼, (5.13)

yoki
𝐵₁

= 𝐵𝑐𝑜𝑠2𝛼 − ^{1 (}𝐴 − 𝐶⁾𝑠𝑖𝑛2𝛼, (5.14)
2

1
4𝐵² = 4𝐵²𝑐𝑜𝑠²2𝛼 − 4𝐵⁽𝐴 − 𝐶⁾𝑠𝑖𝑛2𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝛼 + (𝐴 − 𝐶)²𝑠𝑖𝑛²2𝛼,
(5.15)
⁽𝐴₁ − 𝐶₁⁾² = ⁽𝐴 − 𝐶⁾²𝑐𝑜𝑠²2𝛼 + 4𝐵⁽𝐴 − 𝐶⁾𝑠𝑖𝑛2𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝛼 +
+4𝐵²𝑠𝑖𝑛²2𝛼 (5.16)
(5.15) va (5.16) ni qo‘shganda

1
⁽𝐴₁ − 𝐶₁⁾² + 4𝐵² = ⁽𝐴 − 𝐶⁾² + 4𝐵².
So‘ngi ifodadan (5.12) ning kvadratini ayirib olamiz:
⁽𝐴₁ − 𝐶₁⁾² − ⁽𝐴₁ + 𝐶₁⁾² + 4𝐵² = ⁽𝐴 − 𝐶⁾² − ⁽𝐴 + 𝐶⁾² + 4𝐵²,
yoki

1
−4𝐴₁𝐶₁ + 4𝐵² = 4𝐴𝐶 + 4𝐵²,

2. Markazsiz egri chiziqning tenglamasini soddalashtirish.

Egri chiziqning markazi cheksiz uzoqda bo‘lgan holda
𝑀 = 𝐵² − 𝐴𝐶 = 0 yoki 𝐴𝐶 = 𝐵² (5.30) bo‘ladi. Ikkinchi tartibli egri chiziqning umumiy tenglamasini olib uning ikkila tomonini 𝐴 ga ko‘paytiramiz:
𝐴²𝑥² + 2𝐴𝐵𝑥𝑦 + 𝐴𝐶𝑦² + 𝐴⁽2𝐷𝑥 + 2𝐸𝑦 + 𝐹⁾ = 0
yoki (5.30) ga asosan:
(𝐴𝑥 + 𝐵𝑦)² + 𝐴⁽2𝐷𝑥 + 2𝐸𝑦 + 𝐹⁾ = 0. (5.31) Tenglamani soddalashtirish maqsadi bilan koordinata o‘qlarining yo‘nalishlarini o‘zgartiramiz, masalan, uni biror 𝛼 burchakka
aylantiramiz. Bu holda almashtirish formulalari quyidagicha bo‘ladi:

_{ 𝑥 = 𝑥₁𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑦₁𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑦 = 𝑥₁𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑦₁𝑐𝑜𝑠𝛼.
Bularni (5.31) formulaga qo‘yilsa:
^[𝐴⁽𝑥₁𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑦₁𝑠𝑖𝑛𝛼⁾ + 𝐵(𝑥₁𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑦₁𝑐𝑜𝑠𝛼)^]2 +
(5.32)

+𝐴^[2𝐷⁽𝑥₁𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑦₁𝑠𝑖𝑛𝛼⁾ + 2𝐸⁽𝑥₁𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑦₁𝑐𝑜𝑠𝛼⁾ + 𝐹^] = 0
yoki
^[(𝐴𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝛼)𝑥₁ + (𝐵𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝐴𝑠𝑖𝑛𝛼)𝑦₁^]2 +
+𝐴^[2(𝐷𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝐸𝑠𝑖𝑛𝛼)𝑥₁ + 2(𝐸𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝐷𝑠𝑖𝑛𝛼)𝑦₁ + 𝐹^] = 0.
(5.33)
Hozirgacha 𝛼 ixtiyoriy burchak edi. Endi uning qiymatini shunday aniqlaymizki,

yoki
𝐴𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝛼 = 0

𝐴
𝑡𝑔𝛼 = −

𝐵
(5.34)

bo‘lsin. Buni e’tiborga olib,
𝑁 = (𝐵𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝐴𝑠𝑖𝑛𝛼)²
_{𝑃 = 𝐴(𝐷𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝐸𝑠𝑖𝑛𝛼)
𝑄 = 𝐴⁽𝐸𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝐷𝑠𝑖𝑛𝛼⁾
𝑅 = 𝐴𝐹
faraz qilinsa, (5.33) tenglamaning ko‘rinishi bunday bo‘ladi:
(5.35)

1
𝑁𝑦² + 2𝑃𝑥₁ + 2𝑄𝑦₁ + 𝑅 = 0 (5.36) (5.34) ga asosan 𝑡𝑔𝛼 ma’lum bo‘lgani uchun uning yordami bilan hamma vaqt (5.35) dagi 𝑠𝑖𝑛𝛼 va 𝑐𝑜𝑠𝛼 ni aniqlash mumkin. Demak (5.36) ning hamma koeffitsiyentlari ma’lum bo‘ladi.

(5.36) tenglamani yana soddalashtirish maqsadi bilan koordinatalar boshini biror (𝑎, 𝑏) nuqtaga ko‘chiramiz. Bu holda almashtirish formulalari
𝑥₁ = 𝑥 + 𝑎, 𝑦₁ = 𝑦 + 𝑏
bo‘ladi va (5.36) ning ko‘rinishi
𝑁(𝑦 + 𝑏)² + 2𝑃⁽𝑥 + 𝑎⁾ + 2𝑄⁽𝑦 + 𝑏⁾ + 𝑅 = 0
yoki
𝑁𝑦² + 2⁽𝑁𝑏 + 𝑄⁾𝑦 + 2𝑃𝑥 + ⁽𝑁𝑏² + 2𝑃𝑎 + 2𝑄𝑏 + 𝑅⁾ = 0 (5.37) bo‘ladi. Nuqtaning 𝑎 va 𝑏 koordinatalariga shunday qiymat tayin qilamizki,
𝑁𝑏 + 𝑄 = 0, 𝑁𝑏² + 2𝑃𝑎 + 2𝑄𝑏 + 𝑅 = 0
bo‘lsin. Bu esa

yoki
𝑄
𝑏 = −
𝑁
𝑣𝑎
_𝑄2


𝑁
+ 2𝑃𝑎 −
2𝑄²



𝑁
+ 𝑄 = 0

𝑄² − 𝑁𝑅

2𝑃𝑁𝑎 − 𝑄² + 𝑁𝑅 = 0 𝑦𝑜𝑘𝑖 𝑎 =


2𝑃𝑁𝐵

bo‘lgan holda mumkin. Bu chog‘da (5.32) ning ko‘rinishi bunday
bo‘ladi:

yoki
𝑁𝑦²

+ 2𝑃𝑥 = 0 𝑦𝑜𝑘𝑖 𝑦²

𝑃
= −2 ^𝑃

𝑁
𝑥, (5.38)

faraz qilinsa,

− = 𝑝
𝑁

𝑦² = 2𝑝𝑥 (5.39)
bo‘ladi va bu parabolani ifoda qiladi.
𝑝 ning qiymatini aniqlash uchun (5.34) dan 𝑠𝑖𝑛𝛼 va 𝑐𝑜𝑠𝛼 ning qiymatlarini aniqlashga to‘g‘ri keladi. Buning uchun (5.34) ni

𝑠𝑖𝑛𝛼 𝐴
= −
𝑐𝑜𝑠𝛼 𝐵
𝑦𝑜𝑘𝑖
𝑠𝑖𝑛𝛼



−𝐴
𝑐𝑜𝑠𝛼
=
𝐵

kabi yozib, undan ushbu hosila proportsiyani tuzamiz:

Demak
𝑠𝑖𝑛𝛼



−𝐴
𝑐𝑜𝑠𝛼
=
𝐵



√𝑠𝑖𝑛²𝛼 + 𝑐𝑜𝑠²𝛼
=
√𝐴² + 𝐵²
1
= .
√𝐴² + 𝐵²

−𝐴 𝐵
𝑠𝑖𝑛𝛼 = , 𝑐𝑜𝑠𝛼 = . (5.40)
√𝐴² + 𝐵² √𝐴² + 𝐵²

(5.36) ga muvofiq
𝐴𝐵𝐷 − 𝐴²𝐸
𝑃 =
√𝐴² + 𝐵²
, 𝑁 = (

𝐴² + 𝐵^{2 2}

)
√𝐴² + 𝐵²
= 𝐴² + 𝐵².

Demak
𝑃

𝐴⁽𝐴𝐸 − 𝐵𝐷⁾

𝐴²⁽𝐴𝐸 − 𝐵𝐷⁾²

𝑝 = − = = ^{√
𝑁 (}𝐴² + 𝐵²⁾√𝐴² + 𝐵^2
(𝐴² + 𝐵^{2)3 =}

𝐴²⁽𝐴²𝐸² − 2𝐴𝐵𝐷𝐸 + 𝐵²𝐷^{2)
= √ (}𝐴² + 𝐵^{2)3 =}

𝐴²⁽𝐴²𝐸² − 2𝐴𝐵𝐷𝐸 + 𝐴𝐶𝐷²⁾

^{= √ (}𝐴² + 𝐴𝐶^{)3 =}

(−𝐴𝐸² + 2𝐵𝐷𝐸 − 𝐶𝐷²) ∆

= ^√−
(𝐴 + 𝐶)^{3 = √−} (𝐴 + 𝐶)^{3 ;}

chunki 𝐵² − 𝐴𝐶 = 0 bo‘lganda ∆= −𝐴𝐸² + 2𝐵𝐷𝐸 − 𝐶𝐷² bo‘ladi. Natijada
∆
𝑝 = ^√− _{(𝐴 + 𝐶)3} . (5.41)
𝐵² = 𝐴𝐶 bo‘lgani uchun 𝐴 va 𝐶 ning ishoralari bir xil bo‘ladi. 𝐴 ning ishorasini hamma vaqt musbat qilish mumkin. Shuning uchun (𝐴 + 𝐶) ni musbat faraz qilib bo‘ladi. Ikkinchi tomondan
∆= −𝐴𝐸² + 2𝐵𝐷𝐸 − 𝐶𝐷² = −⁽𝐴𝐸² + 𝐶𝐷² − 2𝐵𝐷𝐸⁾ =
= −(𝐴𝐸² + 𝐶𝐷² − 2𝐷𝐸√𝐴𝐶) = −(𝐸√𝐴 − 𝐷√𝐶)² < 0.
Shuning uchun parabolaning diskriminanti hamma vaqt manfiy bo‘ladi va radikal ostida musbat son bo‘ladi. Demak, 𝑝 − hamma vaqt mavjud va musbat sondan iborat.
Shuning bilan, tekshirishimizning natijasini ushbu jadval bilan tasvirlash mumkin:
𝐴𝑥² + 2𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦² + 2𝐷𝑥 + 2𝐸𝑦 + 𝐹 = 0,
𝐴 𝐵 𝐷
^{∆= |}𝐵 𝐶 𝐸^|,
𝐷 𝐸 𝐹
𝑀 = 𝐵² − 𝐴𝐶.

	𝑀 < 0		𝑀 > 0	𝑀 = 0
∆≠ 0	𝐴 ∙ ∆< 0	Ellips	Giperbola	Parabola
	𝐴 ∙ ∆> 0	Mavhum ellips
∆= 0		Ikkita bir – birini kesuvchi mavhum to‘g‘ri chiziq	Ikkita bir – birini kesuvchi haqiqiy to‘g‘ri chiziq	Ikkita parallel to‘g‘ri chiziq

1.