Reja: Markazli egri chiziqning tenglamasini soddalashtirish



Yüklə 253,5 Kb.
səhifə1/2
tarix24.07.2023
ölçüsü253,5 Kb.
#137261
  1   2
MAVZU 5 ikki tartibli


MAVZU: IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQLARNING TENGLAMALARINI SODDALASHTIRISH.


Reja:

  1. Markazli egri chiziqning tenglamasini soddalashtirish.

  2. Markazli egri chiziqning kanonik tenglamasini tekshirish.

  3. Markazsiz egri chiziqning tenglamasini soddalashtirish.

  4. Umumiy tenglama bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlarni aniqlash va sinflarga ajratish.




  1. Markazli egri chiziqning tenglamasini soddalashtirish.


Ikkinchi tartibli egri chiziqning markazi koordinatalar boshida bo‘lgan holda uning tenglamasi
𝐴𝑥2 + 2𝐵𝑥1𝑦1 + 𝐶𝑦2 + 2𝑓(𝑎, 𝑏) = 0, (5.1)
1 1
bunda
2𝑓(𝑎, 𝑏) = 𝐴𝑎2 + 2𝐵𝑎𝑏 + 𝐶𝑏2 + 2𝐷𝑎 + 2𝐸𝑏 + 𝐹. (5.2)
O‘zgaruvchi koordinatalarni 𝑎, 𝑏 orqali faraz qilganda,
𝑓𝑎(𝑎, 𝑏) + 𝑘𝑓𝑏(𝑎, 𝑏) = 0 (5.3) bo‘ladi. Izlangan geometrik o‘rinning, ya’ni diametrning tenglamasi shundan iborat
𝑓𝑎(𝑎, 𝑏) = 𝐴𝑎 + 𝐵𝑏 + 𝐷, 𝑓𝑏(𝑎, 𝑏) = 𝐵𝑎 + 𝐶𝑏 + 𝐸 bo‘ladi. (5.3) ga asosan markazli egri chiziqning 𝑎 va 𝑏 koordinatalari ushbu sistema bilan aniqlangan edi:

{𝐴𝑎 + 𝐵𝑏 + 𝐷 = 0,
𝐵𝑎 + 𝐶𝑏 + 𝐸 = 0,
(5.4)

bulardan birinchisini 𝑎 ga va ikkinchisini 𝑏 ga ko‘paytirib, so‘ngra
ularni qo‘shamiz. Bu holda
𝐴𝑎2 + 2𝐵𝑎𝑏 + 𝐶𝑏2 + 𝐷𝑎 + 𝐸𝑏 = 0
bo‘ladi. Buning ikkala tomoniga 𝐷𝑎 + 𝐸𝑏 + 𝐹 ni qo‘shib, (5.2) ni e’tiborga olsak,
𝑓(𝑎, 𝑏) = 𝐷𝑎 + 𝐸𝑏 + 𝐹 (5.5)
bo‘ladi. Agar bundagi 𝑎 va 𝑏 ning o‘rniga ularning ifodalari qo‘yilsa:
𝐷2𝐶 + 𝐵𝐷𝐸 + 𝐴𝐸2 − 𝐵𝐷𝐸

2𝑓(𝑎, 𝑏) =
𝐵2 − 𝐴𝐶 + 𝐹 =

yoki
𝐷2𝐶 − 2𝐵𝐷𝐸 + 𝐴𝐸2 + 𝐵2𝐹 − 𝐴𝐶𝐹
= 𝐵2 − 𝐴𝐶 ,

2𝑓(𝑎, 𝑏) = − 𝐵2 𝐴𝐶 . (5.6)

Shuning uchun (5.1) tenglamaning ko‘rinishi quyidagicha
bo‘ladi:

𝐴𝑥2 + 2𝐵𝑥 𝑦
+ 𝐶𝑦2 =
. (5.7)

1 1 1

1 𝐵2 − 𝐴𝐶

Bu tenglamani yana soddalashtirish maqsadi bilan koordinata
o‘qlarining yo‘nalishlarini o‘zgartiramiz, ya’ni biror, hozircha ma‘lum bo‘lmagan, ixtiyoriy burchakka aylantiramiz. Aylantirilgan burchak, ya’ni koordinata o‘qlarining yangi va eski yo‘nalishlar orasidagi burchak 𝛼 faraz qilinsa va egri chiziqning yangi sistemaga nisbatan o‘zgaruvchi koordinatalari 𝑥 va 𝑦 faraz qilinsa, u holda almashtirish formulalari quyidagicha bo‘ladi:


{𝑥1 = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑦𝑠𝑖𝑛𝛼,
𝑦1 = 𝑥𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑦𝑐𝑜𝑠𝛼.
(5.8)

Bularni (5.7) ga qo‘yamiz:


𝐴(𝑥𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑦𝑠𝑖𝑛𝛼)2 + 2𝐵(𝑥𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑦𝑠𝑖𝑛𝛼)(𝑥𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑦𝑐𝑜𝑠𝛼) +
+𝐶(𝑥𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑦𝑐𝑜𝑠𝛼)2 = ,
𝐵2 − 𝐴𝐶
yoki bundagi qavslarni ochib, 𝑥2, 𝑥𝑦 va 𝑦2 li hadlari to‘plab olinsa, uning ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi:
(𝐴𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 2𝐵𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝐶𝑠𝑖𝑛2𝛼)𝑥2 + 2(−𝐴𝑐𝑜𝑠𝛼 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 +
+𝐵𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 𝐵𝑠𝑖𝑛2𝛼 + 𝐶𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼)𝑥𝑦 + (𝐴𝑠𝑖𝑛2𝛼 −

−2𝐵𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝐶𝑐𝑜𝑠2𝛼)𝑦2 =
𝐵2 − 𝐴𝐶
. (5.9)

Bu tenglamaning koeffitsiyentlarini quyidagicha ifoda qilamiz:
𝐴1 = 𝐴𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 2𝐵𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝐶𝑠𝑖𝑛2𝛼

{𝐵1 = −𝐴𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝐵𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 𝐵𝑠𝑖𝑛2𝛼 + 𝐶𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝐶1 = 𝐴𝑠𝑖𝑛2𝛼 − 2𝐵𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝐶𝑐𝑜𝑠2𝛼
Bu holda (5.9) ning ko‘rinishi bunday bo‘ladi:
(5.10)

𝐴1
𝑥2 + 2𝐵1
𝑥𝑦 + 𝐶1
𝑦2 =
𝐵2 − 𝐴𝐶
. (5.11)

(5.10) dagi ifodalardan birinchisi bilan uchinchisini qo‘shsak:
𝐴1 + 𝐶1 = 𝐴 + 𝐶 (5.12)
va birinchisidan uchinchisini ayirsak:
𝐴1 − 𝐶1 =
= 𝐴(𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 𝑠𝑖𝑛2𝛼) + 4𝐵𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝐶(𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 𝑠𝑖𝑛2𝛼) =
= (𝐴 − 𝐶)(𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 𝑠𝑖𝑛2𝛼) + 4𝐵𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼;
𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 𝑠𝑖𝑛2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠2𝛼, 2𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑠𝑖𝑛2𝛼
bo‘lgani uchun

yoki
𝐴1 − 𝐶1 = (𝐴 − 𝐶)𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 2𝐵𝑠𝑖𝑛2𝛼,
𝐵1 = 𝐵(𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 𝑠𝑖𝑛2𝛼) (𝐴 − 𝐶)𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼, (5.13)

yoki
𝐵1


= 𝐵𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 1 (𝐴 − 𝐶)𝑠𝑖𝑛2𝛼, (5.14)
2


1
4𝐵2 = 4𝐵2𝑐𝑜𝑠22𝛼 − 4𝐵(𝐴 − 𝐶)𝑠𝑖𝑛2𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝛼 + (𝐴 − 𝐶)2𝑠𝑖𝑛22𝛼,
(5.15)
(𝐴1 − 𝐶1)2 = (𝐴 − 𝐶)2𝑐𝑜𝑠22𝛼 + 4𝐵(𝐴 − 𝐶)𝑠𝑖𝑛2𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝛼 +
+4𝐵2𝑠𝑖𝑛22𝛼 (5.16)
(5.15) va (5.16) ni qo‘shganda

1
(𝐴1 − 𝐶1)2 + 4𝐵2 = (𝐴 − 𝐶)2 + 4𝐵2.
So‘ngi ifodadan (5.12) ning kvadratini ayirib olamiz:
(𝐴1 − 𝐶1)2 (𝐴1 + 𝐶1)2 + 4𝐵2 = (𝐴 − 𝐶)2 (𝐴 + 𝐶)2 + 4𝐵2,
yoki

1
−4𝐴1𝐶1 + 4𝐵2 = 4𝐴𝐶 + 4𝐵2,


  1. Markazsiz egri chiziqning tenglamasini soddalashtirish.


Egri chiziqning markazi cheksiz uzoqda bo‘lgan holda
𝑀 = 𝐵2 − 𝐴𝐶 = 0 yoki 𝐴𝐶 = 𝐵2 (5.30) bo‘ladi. Ikkinchi tartibli egri chiziqning umumiy tenglamasini olib uning ikkila tomonini 𝐴 ga ko‘paytiramiz:
𝐴2𝑥2 + 2𝐴𝐵𝑥𝑦 + 𝐴𝐶𝑦2 + 𝐴(2𝐷𝑥 + 2𝐸𝑦 + 𝐹) = 0
yoki (5.30) ga asosan:
(𝐴𝑥 + 𝐵𝑦)2 + 𝐴(2𝐷𝑥 + 2𝐸𝑦 + 𝐹) = 0. (5.31) Tenglamani soddalashtirish maqsadi bilan koordinata o‘qlarining yo‘nalishlarini o‘zgartiramiz, masalan, uni biror 𝛼 burchakka
aylantiramiz. Bu holda almashtirish formulalari quyidagicha bo‘ladi:

{ 𝑥 = 𝑥1𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑦1𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑦 = 𝑥1𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑦1𝑐𝑜𝑠𝛼.
Bularni (5.31) formulaga qo‘yilsa:
[𝐴(𝑥1𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑦1𝑠𝑖𝑛𝛼) + 𝐵(𝑥1𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑦1𝑐𝑜𝑠𝛼)]2 +
(5.32)

+𝐴[2𝐷(𝑥1𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑦1𝑠𝑖𝑛𝛼) + 2𝐸(𝑥1𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑦1𝑐𝑜𝑠𝛼) + 𝐹] = 0
yoki
[(𝐴𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝛼)𝑥1 + (𝐵𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝐴𝑠𝑖𝑛𝛼)𝑦1]2 +
+𝐴[2(𝐷𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝐸𝑠𝑖𝑛𝛼)𝑥1 + 2(𝐸𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝐷𝑠𝑖𝑛𝛼)𝑦1 + 𝐹] = 0.
(5.33)
Hozirgacha 𝛼 ixtiyoriy burchak edi. Endi uning qiymatini shunday aniqlaymizki,

yoki
𝐴𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝐵𝑠𝑖𝑛𝛼 = 0


𝐴
𝑡𝑔𝛼 = −


𝐵
(5.34)

bo‘lsin. Buni e’tiborga olib,
𝑁 = (𝐵𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝐴𝑠𝑖𝑛𝛼)2
{𝑃 = 𝐴(𝐷𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝐸𝑠𝑖𝑛𝛼)
𝑄 = 𝐴(𝐸𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝐷𝑠𝑖𝑛𝛼)
𝑅 = 𝐴𝐹
faraz qilinsa, (5.33) tenglamaning ko‘rinishi bunday bo‘ladi:
(5.35)


1
𝑁𝑦2 + 2𝑃𝑥1 + 2𝑄𝑦1 + 𝑅 = 0 (5.36) (5.34) ga asosan 𝑡𝑔𝛼 ma’lum bo‘lgani uchun uning yordami bilan hamma vaqt (5.35) dagi 𝑠𝑖𝑛𝛼 va 𝑐𝑜𝑠𝛼 ni aniqlash mumkin. Demak (5.36) ning hamma koeffitsiyentlari ma’lum bo‘ladi.

(5.36) tenglamani yana soddalashtirish maqsadi bilan koordinatalar boshini biror (𝑎, 𝑏) nuqtaga ko‘chiramiz. Bu holda almashtirish formulalari
𝑥1 = 𝑥 + 𝑎, 𝑦1 = 𝑦 + 𝑏
bo‘ladi va (5.36) ning ko‘rinishi
𝑁(𝑦 + 𝑏)2 + 2𝑃(𝑥 + 𝑎) + 2𝑄(𝑦 + 𝑏) + 𝑅 = 0
yoki
𝑁𝑦2 + 2(𝑁𝑏 + 𝑄)𝑦 + 2𝑃𝑥 + (𝑁𝑏2 + 2𝑃𝑎 + 2𝑄𝑏 + 𝑅) = 0 (5.37) bo‘ladi. Nuqtaning 𝑎 va 𝑏 koordinatalariga shunday qiymat tayin qilamizki,
𝑁𝑏 + 𝑄 = 0, 𝑁𝑏2 + 2𝑃𝑎 + 2𝑄𝑏 + 𝑅 = 0
bo‘lsin. Bu esa

yoki
𝑄
𝑏 = −
𝑁
𝑣𝑎
𝑄2


𝑁
+ 2𝑃𝑎 −
2𝑄2



𝑁
+ 𝑄 = 0

𝑄2 − 𝑁𝑅



2𝑃𝑁𝑎 − 𝑄2 + 𝑁𝑅 = 0 𝑦𝑜𝑘𝑖 𝑎 =


2𝑃𝑁𝐵

bo‘lgan holda mumkin. Bu chog‘da (5.32) ning ko‘rinishi bunday
bo‘ladi:

yoki
𝑁𝑦2


+ 2𝑃𝑥 = 0 𝑦𝑜𝑘𝑖 𝑦2

𝑃
= −2 𝑃


𝑁
𝑥, (5.38)

faraz qilinsa,


− = 𝑝
𝑁

𝑦2 = 2𝑝𝑥 (5.39)
bo‘ladi va bu parabolani ifoda qiladi.
𝑝 ning qiymatini aniqlash uchun (5.34) dan 𝑠𝑖𝑛𝛼 va 𝑐𝑜𝑠𝛼 ning qiymatlarini aniqlashga to‘g‘ri keladi. Buning uchun (5.34) ni

𝑠𝑖𝑛𝛼 𝐴
= −
𝑐𝑜𝑠𝛼 𝐵
𝑦𝑜𝑘𝑖
𝑠𝑖𝑛𝛼



−𝐴
𝑐𝑜𝑠𝛼
=
𝐵

kabi yozib, undan ushbu hosila proportsiyani tuzamiz:

Demak
𝑠𝑖𝑛𝛼



−𝐴
𝑐𝑜𝑠𝛼
=
𝐵



√𝑠𝑖𝑛2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼
=
√𝐴2 + 𝐵2
1
= .
√𝐴2 + 𝐵2

−𝐴 𝐵
𝑠𝑖𝑛𝛼 = , 𝑐𝑜𝑠𝛼 = . (5.40)
√𝐴2 + 𝐵2 √𝐴2 + 𝐵2

(5.36) ga muvofiq
𝐴𝐵𝐷 − 𝐴2𝐸
𝑃 =
√𝐴2 + 𝐵2
, 𝑁 = (

𝐴2 + 𝐵2 2


)
√𝐴2 + 𝐵2
= 𝐴2 + 𝐵2.

Demak
𝑃

𝐴(𝐴𝐸 − 𝐵𝐷)





𝐴2(𝐴𝐸 − 𝐵𝐷)2



𝑝 = − = =
𝑁 (𝐴2 + 𝐵2)√𝐴2 + 𝐵2
(𝐴2 + 𝐵2)3 =



𝐴2(𝐴2𝐸2 − 2𝐴𝐵𝐷𝐸 + 𝐵2𝐷2)
= (𝐴2 + 𝐵2)3 =

𝐴2(𝐴2𝐸2 − 2𝐴𝐵𝐷𝐸 + 𝐴𝐶𝐷2)


= (𝐴2 + 𝐴𝐶)3 =


(−𝐴𝐸2 + 2𝐵𝐷𝐸 − 𝐶𝐷2) ∆



=
(𝐴 + 𝐶)3 = (𝐴 + 𝐶)3 ;


chunki 𝐵2 − 𝐴𝐶 = 0 bo‘lganda ∆= −𝐴𝐸2 + 2𝐵𝐷𝐸 − 𝐶𝐷2 bo‘ladi. Natijada

𝑝 = (𝐴 + 𝐶)3 . (5.41)
𝐵2 = 𝐴𝐶 bo‘lgani uchun 𝐴 va 𝐶 ning ishoralari bir xil bo‘ladi. 𝐴 ning ishorasini hamma vaqt musbat qilish mumkin. Shuning uchun (𝐴 + 𝐶) ni musbat faraz qilib bo‘ladi. Ikkinchi tomondan
∆= −𝐴𝐸2 + 2𝐵𝐷𝐸 − 𝐶𝐷2 = −(𝐴𝐸2 + 𝐶𝐷2 − 2𝐵𝐷𝐸) =
= −(𝐴𝐸2 + 𝐶𝐷2 − 2𝐷𝐸√𝐴𝐶) = −(𝐸√𝐴 − 𝐷√𝐶)2 < 0.
Shuning uchun parabolaning diskriminanti hamma vaqt manfiy bo‘ladi va radikal ostida musbat son bo‘ladi. Demak, 𝑝 − hamma vaqt mavjud va musbat sondan iborat.
Shuning bilan, tekshirishimizning natijasini ushbu jadval bilan tasvirlash mumkin:
𝐴𝑥2 + 2𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2 + 2𝐷𝑥 + 2𝐸𝑦 + 𝐹 = 0,
𝐴 𝐵 𝐷
∆= |𝐵 𝐶 𝐸|,
𝐷 𝐸 𝐹
𝑀 = 𝐵2 − 𝐴𝐶.







𝑀 < 0

𝑀 > 0

𝑀 = 0

∆≠ 0

𝐴 ∙ ∆< 0

Ellips

Giperbola



Parabola


𝐴 ∙ ∆> 0

Mavhum ellips

∆= 0




Ikkita bir – birini kesuvchi mavhum to‘g‘ri chiziq

Ikkita bir – birini kesuvchi haqiqiy to‘g‘ri chiziq

Ikkita parallel to‘g‘ri chiziq




      1. Yüklə 253,5 Kb.

        Dostları ilə paylaş:
  1   2




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin