Mustaqil ishi 2022-2023-o’quv yili

Keng ma’nodagi identifikatsiya masalasi – bu o‘rganilayotgan hodisani tavsiflab berivchi modellar ichidan eng yaxshisini tanlash masalasi. Bunday holda qo‘yilgan masala amalda yechilmaydigan muammo. Ko‘proq tor ma’nodagi identifikatsiya masalasi qaralib, – bu parametrik modellar oilasi ichidan aniq matematik modelni (uning a parametrlarini tanlash yordamida) tanlab olish, bunda kuzatish natijalariga ko‘ra u optimal bo‘lishi kerak. Masalan, yuqoridagi burchak ostida otilgan jism harakati haqidagi model uchun identifikatsiya masalani: harakat trayektoriyasini kuzatish natijalari bo‘yicha planetadagi erkin tushish tezlanishi g ning qiymatini aniqlash masalasi.
Ana shu uch turdagi masalalar (to‘g‘ri, teskari va identifikatsiya masalalari) hisoblash masalalari deb ataladi. Bundan keyin tushunchalarda aniqlanishi lozim bo‘lgan qiymatlar y – izlanayotgan yechim, berilgan qiymatlar x – kiruvchi ma’lumotlar deb qabul qilamiz.
Masalan, 1) Biror hodisani tavsiflash uchun x va y miqdorlar orasidagi bog‘lanish modeli ushbu y = P_n(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_nxⁿ polinomial bog‘lanish bo‘lsa, u holda a₀ , a₁ , … , a_n – ko‘phad koeffisiyentlari model parametrlari (ko‘phadning darajasini ham model parametrlariga kiritish mumkin). Bunda a) to‘g‘ri masala: y = P_n(x) ko‘phadning qiymatini berilgan x qiymatda hisoblash masalasi; b) teskari masala: berilgan y qiymatga ko‘ra unga mos x qiymatni topish masalasi (masalan, ko‘phadning ildizlarini topish masalasi); c) identifikatsiya masalasi:
agar amaliyotda y ning x dan bog‘liqligi haqidagi biror ma’lumot ma’lum bo‘lsa, u holda bu bog‘lanishni eng yaxshi tavsiflovchi modelga mos a₀ , a₁ , … , a_n – koeffisiyentlarni topish masalasi (masalan, interpolyatsiya va eng kichik kvadratlar usul-
t
lari). 2) model funksiyalari x(t) va y(t) lar o‘zaro ushbu y(t)  y₀  ax()d tenglik
0
bilan bog‘langan; masalan, ular to‘g‘ri chiziqli harakatda x(t) – tezlik va y(t) – bosib o‘tilgan yo‘l bo‘lib o‘zaro bog‘langan. Bu yerda a) to‘g‘ri masala: fiksirlangan o‘zgarmas y₀ qiymat uchun berilgan x(t) – tezlik funksiyasiga mos y(t) – bosib o‘tilgan yo‘lni (boshlang‘ich funksiyani) topish masalasi; b) teskari masala: berilgan y(t) funksiyadan foydalanib, x(t) = y(t) ni hisoblash masalasi; c) berilgan x(t) – tezlik funksiyasiga ko‘ra y(t) – bosib o‘tilgan yo‘lga mos a parametrni aniqlash masalasi.
Odatda, hisoblash masalasini yechishni hamma vaqt ham berilgan ma’lumotlarda chekli sondagi formulalar bilan ifodalab bo‘lmaydi. Ammo bu degani bunday masalalarning yechimini topib bo‘lmaydi degani emas. Shunday maxsus usullar mavjudki, ular sonli usullar yoki hisoblash usullari deb ataladi. Hisoblash usullari – bu yechimning sonli qiymatini olish jarayonini unga kiruvchi ma’lumotlar sonli qiymatlari ustida bajariladigan ketma-ket arifmetik operatsiyalarga, ya’ni EHM bajaradigan amallarga keltirib o‘rganuvchi fan. Sonli usullar yoki hisoblash usullarining eng bosh maqsadi – bu yechimni talab qilinayotgan yoki hech bo‘lmaganda baholanayotgan aniqlikda topishdan iborat. Hisoblash matematikasi – bu matematik masalalarni yechishning sonli (taqribiy) usullarini o‘rganuvchi fan. Sonli usullar yuqori malakali matematik-mutaxassislar tomonidan ishlab chiqiladi. Talabalar uchun eng muhim masala bu hisoblash usullarining asosiy g‘oyalarini, xususiyatlarini va qo‘llanilish sohalarini tushunib olishdan iborat.
Hisoblash usullar ilgaridan ma’lum, masalan, fransuz astronomi Leverye tomonidan 1846 yilda yangi Neptun planetasning ochilishi masalasi. Ammo ilgari amaliyotda hisoblash usullaridan deyarli foydalanishmagan, chunki hisoblash hajmi juda ulkan bo‘lgan. Shuning uchun kompyuter ixtirosiga qadar hodisalarni tadqiq qilishda murakkab matematik modelar analitik yechimi topilishi mumkin bo‘lgan sodda holga keltirilib yechilgan. Hisoblash qurilmalari takomillashmagan davrda matematik modellarning fan va texnikaga qo‘llanilishi biroz cheklanib qoldi. Kompyuterlarning yaratilishi vaziyatni keskin o‘zgartirdi. Matematik modelar sinfidan foydalanib tadqiqotlar olib borish keng qamrovli bo‘lib bordi. Shu paytgacha yechilishi mumkin bo‘lmagan ko‘plab hisoblash masalalari yechildi va taqribiy modelning real obyektga yaqinligi oshdi.
Hisoblash jarayonining aniqligini baholashning yana bir muhim xarakteristikasi bu sonli usullarning yaqinlashuvchanligi. Bu masalaning olinadigan sonli yechimi dastlabki yechimga yaqin ekanligini bildiradi. Iteratsion jarayonning yaqinlashuvchanligi va diskretlashtirish usulining yaqinlashuvchanligi tushunchalari bir-biridan farq qiladi.
Iteratsion jarayonning yaqinlashuvchanligi tushunchasini qaraylik. Bu jarayon biror masalani yechish uchun ketma-ket yaqinlashishlar usulini qurishdan iborat. Bu jarayon (iteratsiyalar)ning ko‘p marotaba takrorlanishi natijasida x₁, x₂, ..., x_n, ... ketma-ketlikka ega bo‘linadi. Bu ketma-ketlik x = a aniq yechimga yaqinlashadi deyiladi, agar iteratsiyalar soni cheksiz oshganda bu ketma-ketlikning limiti mavjud va u a ga teng bo‘lsa. Bu holda yaqinlashuvchi sonli usulga ega bo‘linadi (masalan, tenglamani sonli yechishning Nyuton usuli, iteratsiyalar usuli va hokazo).
Diskretlashtirish usullarining yaqinlashuvchanligi tushunchasini qaraylik. Bu usullarning g‘oyasi uzluksiz paramerlarga ega masalani funksiyalari fiksirlangan nuqtalarda hisoblanadigan masalaga keltirishdan iborat. Bu yerda yaqinlashish deganda diskret model yechimlari qiymatining mos ravishda boshlang‘ich masala yechimlari qiymatiga diskterlashtirish parametrlari nolga intilganda yaqinlashishi tushuniladi (masalan, kvadratur formulalar).
Yaqinlashishni o‘rganishda uning eng muhim tushunchalari bu uning ko‘rinishi, tartibi va boshqa xarakteristikalari. Bu tushuncha quyida aniq sonli usullarni o‘rganishda qaraladi.
Shunday qilib, masalaning yechimini biror aniqlikda olish uchun uning qo‘yilishi korrekt bo‘lishi, uni yechish uchun qo‘llanilayotgan usul esa yaqinlashuvchanlikka ega bo‘lishi lozim ekan.