Mustaqil ishi 2022-2023-o’quv yili

Tenglamaning ildizlarini ajratish

Tenglamaning ildizlarini ajratish – bu ildizlarning mavjudligini va sonini aniqlash hamda ularning har biri yotgan yetarlicha kichik [a,b] kesmani topishdan iborat.
Birinchi qadamda ildizlarning soni va turi aniqlanadi, ularning sonlar o‘qida taqsimlanishi baholanadi. Keyin esa ana shu ildizlar yotgan interval yoki ularning taqribiy qiymatlari topiladi.
Ildizlarni ajratish uchun ko‘pincha quyidagi teoremalardan foydalaniladi (ularni isbotsiz keltiramiz).
1-teorema (Boltsman–Koshi teoremasi). Agar f(x) funksiya [a,b] kesmaning chetlarida har xil ishorali qiymatlarga ega bo‘lsa, u holda bu kesmaning ichida (2.1) tenglama hech bo‘lmaganda bitta ildizga ega. Agar (a,b) intervalda f(x) hosila mavjud bo‘lib, u o‘z ishorasini almashtirmasa, u holda bu ildiz yagona.
2-teorema. f(x) funksiya [a, b] kesmada analitik funksiya bo‘lsin. Agar [a, b] kesmaning chetki nuqtalarida f(x) funksiya har xil ishorali qiymatlarini qabul qilsa, u vaqtda (2.1) tenglamaning a va b nuqtalar orasida yotadigan ildizlarining soni toqdir. Agar f(x) funksiya [a, b] kesmaning chetki nuqtalarida bir xil ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u vaqtda (2.1) tenglamaning ildizlari yoki [a, b] kesmada yotmaydi yoki ularning soni juftdir (karraliligini hisobga olgan holda). Transendent tenglamalar ildizlarining soni ixtiyoriy bo‘lishi mumkin.
Chiziqli bo‘lmagan tenglamalar uchun ildizlarni ajtatishning umumiy usuli yo‘q. Buning uchun ma’lum bir qadam bilan o‘zgaruvchi x larda f(x) funksiyaning qiymatlarini hisoblab ko‘rish mumkin. Agar yonma-yon ikkita a va b nuqtalarda f(x) funksiya har xil ishorali qiymatlar qabul qilsa, ya’ni, masalan, f(a) < 0 va f(b) > 0 bo‘lsa yoki f(a)·f(b)  0 shart bajarilsa, u holda [a,b] kesmada f(x) funksiya uzluksiz bo‘lganligi uchun uning shu kesmada hech bo‘lmaganda bitta ildizi mavjud bo‘ladi.
Diqqat qiling, f(a)·f(b)<0 tengsizlik bajarilmagani bilan [a,b] kesmada bir nechta ildizlar yotishi mumkin (2.3,a-rasm).
Muhandislik hisoblarida asosan haqiqiy ildizlarni topish talab etiladi. Haqiqiy ildizlarni ajratish masalasi umumiy holda quyidagi usullar bilan yechiladi: analitik, jadval va grafik usullar.
Tenglama ildizlarini ajratishning jadval usulida f(x) = 0,42^x–0,5x–1 = 0 funksiyaning qiymatlar jadvali tuziladi. Buning uchun kalkulyator yoki kompyuterdan (masalan, MS Excel jadval prosessoridan) foydalaniladi. MS Excel ning dastlabki ikki satriga x, f(x) sarlavha qo‘yiladi (A1 va A2 yacheykalar). x ning qiymatlarini –5 dan 3 gacha 1 qadam bilan o‘zgaradi desak, B1 yacheykaga –5, C1 yacheykaga –4 yozilib, shu ikkala yacheyka belgilanib, 1-satr bo‘ylab J1 yacheykagacha 3 soni hosil bo‘lguncha qadar tortiladi. B2 yacheykaga =0,4*2^B1–0,5*B1–1 formula yoziladi va hisoblanada, shu yacheyka belgilanib, C2:J2 yacheykalarga tortiladi. Natija quyidagi jadval shaklida paydo bo‘ladi:

Jadvaldan f(x) funksiya ishorasining o‘zgarishiga qarab, ildizlar yotgan kesmalar [–2;–1] va [2;3] ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Endi f(x) funksiyaning qiymatlar jadvalini belgilaymiz, uning grafigini chizish uchun MS Excel 2016 panelining Встака  Диаграммы  Точечная  Точечная с гладкими кривыми tugmachalari bosiladi va 2.3,b-rasmdagi grafik hosil qilinadi. Grafikdan esa topilgan [–2;–1] va [2;3] kesmalarda berilgan tenglamaning yakkalangan ildizlari (funksiya grafigining absissa o‘qi bilan kesishgan nuqtalari) yotganligi ko‘rinadi.
Tenglama ildizlarini ajratish grafik usulda (f(x) funksiyaning grafigini qurish orqali) yoki oralarida ildizlar yotgan ekstremumlarni analitik yo‘l bilan qurish orqali bajariladi. Tenglama haqiqiy ildizlarini baholashning grafik usuli yuqori aniqlik talab qilinmaydigan texnik hisoblarda juda ham keng qo‘llaniladi. Bu usul ikki uslubda amalga oshiriladi:

•