N. P. Rasulov, I. I. Safarov, R. T. Muxitdinov

Aniq integralda o‘zgaruvchini almashtirish usuli. Berilgan uzluksiz y=f(x) funksiyadan [a,b] kesma bo‘yicha olingan

aniq integralni ba’zi hollarda biror x=(t) differensiallanuvchi funksiya orqali “eski” x o‘zgaruvchidan “yangi” t o‘zgaruvchiga o‘tish usulida hisoblash mumkin bo‘ladi. Bunda (t) funksiya almashtirma deb ataladi va unga quyidagi shartlar qo‘yiladi:

1. 
   =а , =b ;
   
2. 
   t vа  ′t funksiyalar t[ ] kesmada uzluksiz ;
   
3. 
   f [t] murakkab funksiya [ ] kesmada aniqlangan va uzluksiz.
   

Bu shartlarda ushbu formula o‘rinli bo‘ladi:

(7)

Isbot: F(x) berilgan integral ostidagi f(x) funksiyaning birorta boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsin. Unda, Nyuton – Leybnits formulasiga asosan,

tenglikni yozish mumkin. Bu yerdan, integralni invariantlik xossasi (§2, (2) tenglikka qarang) va yuqoridagi 1 – 3 shartlardan foydalanib, ushbu natijaga kelamiz:

.

Oldingi va bu tenglikning o‘ng tomonlarini taqqoslab, (7) formula o‘rinli ekanligiga ishonch hosil qilamiz.

3-TA’RIF: (7) tеnglik aniq integralda o‘zgaruvchilarni almashtirish formulasi dеb ataladi.

Ushbu aniq integrallarni o‘zgaruvchilarni almashtirish formulasi yordamida hisoblaymiz.

• 
  
  

= ;

• 
  
  

= .

2.