Nazariy savollar batafsil va mukammal o‘rganilishi

giperbolik deyiladi, agar nuqtada bo‘lsa,
elliptik deyiladi, agar nuqtada bo‘lsa,
parabolik deyiladi, agar nuqtada bo‘lsa.
Agar sohaning barcha nuqtalarida bo‘lsa, (1) tenglama butun sohada giperbolik, bo‘lsa, butun sohada elliptik, bo‘lsa, butun sohada parabolik deyiladi. Tenglamalarning bunday nomlanishlari ikkinchi tartibli egri chiziqlarning umumiy tenglamasi
(11)
ni o‘rganishdan kelib chiqqan bo‘lib, uning sababi (11) tenglama bo‘lsa giperbolani, bo‘lsa ellipsni, bo‘lsa parabolani ifoda etadi.
Agar (5) tenglama uchun ni (6) formulalardan foydalanib hisoblasak,
(12)
tenglikni olamiz, bu yerda ya’ni (3) yakobian. Demak, bo‘lib ning ishorasi ning ishorasi bilan bir xil bo‘lar ekan, bu degani (2) almashtirishdan so‘ng (1) tenglamaning tipi o‘zgarmaydi.

2.2. Giperbolik tipdagi tenglama va uning kanonik ko‘rinishi

Yuqorida aytganimizdek

tenglama uchun biror nuqtada

bo‘lsa, u giperbolik tipdagi tenglama bo‘ladi. Bu holda


tenglamalarning integrallari

lar haqiqiy va turlicha bo‘ladi. Binobarin, (8) tenglama ikkita turli haqiqiy xarakteristikalarga ega.²
Endi yangi o‘zgaruvchi va lar sifatida va funksiyalar olinsa:

ular (7) tenglamani qanoatlantirib, (6) munosabatlarga ko‘ra bo‘ladi. Natijada (5) tenglama quyidagi

ko‘rinishga keladi. Keyingi tenglikdan quyidagini topamiz:
(13)
bunda

bo‘ladi. (13) tenglama giperbolik tipdagi tenglamaning kanonik ko‘rinishini ifodalaydi. Agar va o‘zgaruvchilarni

deb olsak, giperbolik tenglama ushbu

ko‘rinishga keladi. Bu giperbolik tipdagi tenglamaning ikkinchi kanonik ko‘rinishidir. Shunday qilib, giperbolik tipdagi tenglama quyidagi

yoki

kanonik ko‘rinishlarga ega bo‘ladi.

2.3. Parabolik tipdagi tenglama va uning kanonik ko‘rinishi

Aytaylik, ushbu

tenglama uchun biror nuqtada

bo‘lsin. Unda qaralayotgan tenglama parabolik tipdagi tenglama bo‘lib, u bitta karrali haqiqiy xarakteristika

ga ega bo‘ladi. Yangi o‘zgaruvchi va lar sifatida

larni olamiz, bunda funksiya ga bog’liq bo‘lmagan ixtiyoriy funksiya. Bu holda funksiya (7) tenglamani qanoatlantirib, (6) munosabatga ko‘ra bo‘ladi. Ikkinchi tomondan, bo‘lishini e’tiborga olib

va
(15)
bo‘lishini topamiz. Ravshanki,

(15) tenglikka ko‘ra bo‘ladi. Natijada (5) tenglama quyidagi

ko‘rinishga keladi. Keyingi tenglikdan topamiz:
(16)
bunda

bo‘ladi. (16) tenglama parabolik tipdagi tenglamaning kanonik ko‘rinishini ifodalaydi.³

2.4. Elliptik tipdagi tenglama va uning kanonik ko‘rinishi

Faraz qilaylik, ushbu

tenglama uchun biror nuqtada

bo‘lsin. Unda qaralayotgan tenglama elliptik tipdagi tenglama bo‘lib, u haqiqiy xarakteristikalarga ega bo‘lmaydi.
Aytaylik, va kompleks-qo‘shma funksiyalar xarakteristik tenglamani qanoatlantirsin. Yangi o‘zgaruvchi va larni quyidagicha

olaylik. ni (7) tenglamaga qo‘yib topamiz:


Bu tenglikdan


bo‘lishi kelib chiqadi. (6) munosabatdan foydalanib, bo‘lishini topamiz. Natijada (5) tenglama quyidagi

ya’ni
(18)
ko‘rinishga keladi. (18) tenglama elliptik tipdagi tenglamaning kanonik ko‘rinishini ifodalaydi.
2.5. Fur’e usuli

Fure usulini biz chegaralangan tor tebranishimasalasiga, ya’ni

(1)
tenglamaning
(2)
chegaraviy va
(3)
boshlanich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasiga qo‘llashdan boshlaymiz.
Buning uchun (1) tenglamaning yechimini
(4)
ko‘rinishda qidiramiz. Bunda faqat ning, faqat ning funksiyasi bo‘lib, bo‘lishi va (2) shartlarni qanoatlantirishi kerak. (4) ni (1) ga qo‘yib quyidagini topamiz:

yoki
(5)
(13) tenglikning chap tomoni faqat ga bog‘liq, o‘ng tomoni esa faqat ga bog‘liq. Bu holda (5) tenglik, ikki tomoni ham biror o‘zgarmas songa teng bo‘lgandagina o‘rinli bo‘lishi mumkin. O‘sha o‘zgarmas sonni deb belgilasak, (13) dan quyidagi ikki oddiy differensial tenglamalarni olamiz.
(6)
(7)
Chegaraviy (10) shartlar bajarilishi uchun (12) ga asosan funksiya
(8)
shartlarni qanoatlantirishi kerak va bo‘lishi shart, aks holda bo‘lib qoladi.⁴
Shunday qilib, biz parametrning shunday qiymatlarini topishimiz kerakki, (7) tenglamaning yechimi (8) shartlarni qanoatlantirsin va aynan nolga teng bo‘lmasin.
parametrning bunday qiymatlari xos qiymatlar, unga mos kelgan yechim esa (7), (8) masalaning xos funksiyalari deyiladi. (7), (8) masalaning o‘zi esa Shturm-Liuvill masalasi deb yuritiladi.
(7), (8) masalaning xos qiymatlari va xos funksiyalarini topish uchun bo‘lishi mumkin bo‘lgan uch hol: ni alohida-alohida ko‘rib chiqamiz.
1) bo‘lsa, (7) tenglamaning umumiy yechimi

bo‘ladi, va - ixtiyoriy o‘zgarmas sonlar. Bu yechimni (8) chegaraviy shartlarga qo‘ysak,

bo‘lib, undan ekanligi kelib chiqadi. Demak, bu holda .
2) bo‘lsa, (7) tenglamaning umumiy yechimi

bo‘ladi va (8) shartlarga qo‘ysak, yana chiqadi, demak, .
3) bo‘lsa, (7) tenglamaning umumiy yechimi

bo‘ladi va uni (8) qo‘ysak

kelib chiqadi. Bundan va bo‘lishini topamiz.
Endi deya olmaymiz, chunki unda yana bo‘lib qoladi. Shuning uchun

ya’ni

deyishimiz kerak, bunda -ixtiyoriy butun son. Demak, (7), (8) masalaning noldan farqli yechimi faqatgina

qiymatlarda mavjud bo‘lar ekan.
Bu xos qiymatlarga

xos funksiyalar mos keladi.
Endi topilgan qiymatlarni (14) tenglamaga qo‘yib, tenglamani yechsak

bo‘ladi, bunda va lar ixtiyoriy o‘zgarmas sonlar.
va larni (12) ga qo‘yib quyidagini topamiz:

Bu funksiyalarning har biri (1) tenglamani va (2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi. (1) tenglama chiziqli va bir jinsli bo‘lgani uchun quyidagi
(9)
qatorning har bir hadi tekis yaqinlashuvchi hamda hosilalarga mos kelgan qatorlar ham tekis yaqinlashuvchi bo‘lsa, qatorning yig‘indisi ham (1) tenglamani va (2) shartlarni qanoatlantiradi.
Endi ixtiyoriy o‘zgarmas sonlar bo‘lgan va larni topish hisobiga (9) formula bilan aniqlangan funksiyani (3) boshlanich shartlarga bo‘ysindiramiz.
(9) ni bo‘yicha differensiallab topamiz:
(10)
(9) va (10) da deb, (3) ga asosan topamiz:
(11)
Bu va funksiyalarning oraliqdagi sinuslar bo‘yicha Fur’e qatoriga yoyilmalaridir.
U holda bizga ma’lumki,
(12)

bo‘ladi.
Shunday qilib, qaralayotgan (1)-(3) masalaning yechimi (9) qator bo‘lib, u yerdagi lar (12) formulalar orqali topiladi. Faqat bitta savolga javob berish kerak: qanday shartlar bajarilganda (9) qator va uni lar bo‘yicha ikki martadan differensiallaganda hosil bo‘ladigan qatorlar tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi?
Bu savolning javobini isbotsiz keltiramiz: buning uchun da berilgan funksiya uch marta, funksiya ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi bo‘lishlari va

shartlarni qanoatlantirishlari yetarlidir.

3. Loyiha-hisob ishini bajarish namunasi

Masala. Uzunligi va zichligi bo‘lgan bir jinsli sterjenning boshi nuqtada mahkamlangan bo‘lib, erkin holatda bo‘lgan nuqtadagi oxiriga ko‘ndalang yo‘nalishda berilgan zarba bilan u muvozanat holatidan chiqarilgan. Agar zarba impulsi o‘zgarmas soniga teng bo‘lsa, u holda sterjenning tebranma harakati o‘rganilsin.