Nazariy savollar batafsil va mukammal o‘rganilishi

3.5. Masalaning yechilishi. Fur’e usuli

Agar sterjen chegaralanmagan bo‘lganda, u holda yuqorida hosil qilingan kanonik tenglamadan foydalanib, masalani dalamber formulasidan foydalanib yechish mumkin bo‘lar edi. Ammo, qaralayotgan masaladagi sterjen chekli bo‘lganligi sababli, masalani Fur’e usuli bilan yechamiz. Buning uchun yechimni

(4)
ko‘rinishda izlaymiz. (4) ifodani va o‘zgaruvchilar bo‘yicha ikki marotaba differensiallab
,
larni topib, ularni (1) tenglamaga qo‘yib

ni hosil qilamiz. Uning har ikkala tomonini ga bo‘lib
(5)
tenglamani hosil qilamiz. funksiya (1) tenglamaning yechimi bo‘lishi uchun (5) tenglama va o‘zgaruvchilarning barcha qiymatlari uchun o‘rinli bo‘lishi talab etiladi. Tenglamaning chap tomoni faqat o‘zgaruvchiga, o‘ng tomoni esa faqat o‘zgaruvchiga bog’liq. Shuning uchun o‘zgaruvchini fiksirlab, o‘zgaruvchini o‘zgartirsak tenglamaning o‘ng tomoni o‘zgarmaydi va aksincha, o‘zgaruvchini fiksirlab, o‘zgaruvchini o‘zgartirsak tenglamaning chap tomoni o‘zgarmaydi. Bu holat faqat va faqat (5) tenglamaning o‘ng tomoni ham chap tomoni ham va o‘zgaruvchilarga bog’liq bo‘lmagandagina o‘rinli bo‘ladi. Shunga ko‘ra
(6)
ni hosil qilamiz. Bundan va funksiyalar ushbu
, (7)
differensial tenglamalarni qanoatlantirishi kelib chiqadi. Endi (2) chegeraviy shartlardan foydalansak, funksiyani izlash uchun quyidagi masalani hosil qilamiz:
Ushbu
(8)
ko‘rinishdagi ikkinchi tartibli chiziqli oddiy differensial tenglamaning
, (9)
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimni toping.
(8) tenglamaning xarakteristik tenglamasi

ko‘rinishda bo‘lib, ko‘rinishdagi sof mavhum ildizlarga ega. Natijada (8) tenglama

ko‘rinishdagi yechimga ega bo‘ladi. Endi (9) shartlardan foydalansak
,
kelib chiqadi. Aynan nolga teng bo‘lmagan yechim faqat shart bajarilgandagina hosil bo‘ladi. Bu shartdan
,
ni topamiz. U holda masalaning xos sonlari
(10)
ga teng bo‘lib, har bir xos songa mos bo‘lgan ushbu
(11)
xos funksiyalarni topamiz.
Ma’lumki, xos funksiyani ixtiyoriy o‘zgarmas songa ko‘paytirib (8) tenglamaning yechimini hosil qilish mumkin. Ammo ning manfiy qiymatlari uchun yangi yechim hosil bo‘lmaydi, balki avalgisidan faqat ishorasi bilan farq qiladi xolos. Shuni ta’kidlash lozimki, topilgan (11) xos funksiyalar oralig’ida ortogonaldir. Haqiqatan ham, bo‘lganda

bo‘lganda

shartlar bajariladi.
Endi har bir xos son uchun (7) ifodaning ikkinchi tenglamasi uchun
(12)
ko‘rinishdagi yechimni topamiz.
Natijada, har bir xos son uchun mos xususiy yechim
(13)
ko‘rinishda bo‘ladi. Barcha xos xususiy yechimlarni yig’ib, berilgan masalaning chegaraviy shartlarini qanoatlantiruvchi yechimi
(14)
ni topamiz. (14) yechimni (3) boshlang’ich shartlarga qo‘yib
.

larni hosil qilamiz. Oxirgi ifoda shuni ko‘rsatadiki, miqdorlar , funksiyani oraliqda Fur’e qatoriga orthogonal funksiyalar sistemasi bo‘yicha yoyilgandagi koeffitsiyentlarni ifodalaydi. Shunga asosan


ni topamiz. Birinchi ajoyib limitga ko‘ra

ekanligini e’tiborga olib
(15)
ni hosil qilamiz. Topilgan (15) ifodani (14) yechimga qo‘yib, (1) xususiy hosilali differensial tenglamaning (2) chegaraviy shartlarni hamda (3) boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topamiz
. (16)