Oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi berdaq nomidagi qoraqalpoq davlat universiteti

O'qlari kesishgan aylanma sirtlarning kesishuv chizig'ini yordamchi sharlar

vositasi bilan aniqlash.

Buning uchun kesishayotgan ikkala sirt ham aylanma sirt bo'lishi va ularning aylanish o'qlari umumiy bir nuqtaga ega bo'lishi kerak.

Bu usul quyidagi holga asoslangan: agar xar qanday aylanish sirtining o'qi sharning markazidan o'tgan bo'lsa, bu sirt shar bilan aylanalar bo'yicha kesishadi.

Bu aylanalarning tekisliklari aylanish o'qlariga perpendikulyar bo'ladi.

Sirtning urinma tekisligi va normali

Aytaylik F sirt va unda yotuvchi R nuqta olaylik. R nuqta orqali ( tekislikni o’tkazamiz. Sirt ustida R nuqtaga yaqin Q nuqtani olamiz. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: =(Q,)=h, (Q, р)=d.

Ta‘rif. Agar Q nuqta R nuqtaga intilganda h/d 0 ga intilsa( tekislikni F sirtning R nuqtasidagi urinma tekisligi deyiladi.

Teorema. Xar qanday F silliq sirt o’zining xar bir nuqtasida urinma tekislikka ega bo’lib, u yagonadir. Agar r=r(u,v) tenglama F sirtning silliq parametrlangan bo’lsa, R nuqtadagi urinma tekislik ru va rv vektorlarga // dir.

Isbot. Faraz qilaylik ( tekislik F sirtning R nuqtasidagi urinma tekisligi bo’lsin. U xolda ta‘rifga asosan Q(r da (h/d)(0 bo’ladi. Agar n orqali ( tekislikning normal birlik vektorini belgilasak

d=|r(u+u, v+v)-r(u,v)|

_­h=|(r(u+u, v+v)-r(u,v))n|

bo’ladi. Bundan

(h/d)= |(r(u+u, v+v)-r(u,v))n|/|r(u+u, v+v)-r(u,v)|

nisbat 0 ga intiladi.

Ta‘rifga asosan (u va (v larning xar biri aloxida 0 ga intilganda (h/d)(0 bo’ladi.

Xususan,

(|(r(u+u, v)-r(u,v))n|/|r(u+u, v)-r(u,v)|)0

Lekin oxirgi ifodani surat va maxrajini u ga бo’либ, u0 da limitga o’tsak,

(|r_u(u,v)n|/|r_u(u,v)|)0

ni topamiz.

Demak, r_u(u,v)n=0. Bundan r_un kelib chiqadi. Bu esa r_u vektorni  tekislikka parallel ekanini ko’rsatadi. Xuddi shuningdek r_vn=0 dan r_v n ni yoki r_v// ekanini topamiz.

Agar r_u va r_v vektorlarni 0 dan farqli va [r_u, r_v]0 ekanini etiborga olsak, urinma tekislikning yagonaligi kelib chiqadi. Shuningdek urinma tekislikning mavjud ekandigini xam ko’rsatish oson.

Urinma tekislikning tenglamalari.