O’zbekiston Respublikasi mustaqillikka erishgandan so’ng barcha sohalarda bo’lgani kabi ta’lim sohasida ham muhim isloxotlar amalga oshirildi

m ф 0 bo’lganda berilgan tenglama kvadrat tenglama bo’ladi. Bu holda tenglama yechimga ega bo’lishi uchun uning diskriminanti manfiy bo’lmasligi kerak. Ya’ni, D — b² — 4ac — (3m)² + 4 • m(m + 2) — 9m² + 4m² + 8m —

₈

• 
  13m² + 8m — m(13m + 8) > 0 bo’lishi kerak. Bundan m < —— va m>
  

0. 
   (m — 0 da tenglama yechimga ega emasligi ravshan) kelib chiqadi. Bu shartlarni e’tiborga olsak, berilgan tenglamaning ildizlari:
   

x₁₂ — [—3m ± ^m(13m + 8)]bo’ladi.

Javob: me (—rc>; — -8 и (0; +ro)bo’lsa, x₁₂ — ^ [—3m ± ^m(13m + 8)].

1. 
   ax² — x + 3 — 0 tenglama a ning qanday qiymatlarida yagona yechimga ega bo’ladi?
   

- 32 -



Yechish: Agar a — 0 bo’lsa, berilgan tenglama 0 • x² — x + 3 — 0 yoki —x + 3 — 0 ko’rinishga keladi va u x — 3 ga teng yagona yechimga ega bo’ladi.

Agar а Ф 0 bo’lsa, u holda berilgan tenglama kvadrat tenglama bo’ladi va

u D — 1 — 12a — 0 bo’lganda yagona yechimga ega bo’ladi. Demak,

1

1 — 12a — 0,a — -.

2

Javob: 0 yokA

1. 
   a(a — 3)x² + (2a + 6)x — 3a — 9 — 0 tenglama a ning qanday qiymatlarida bittadan ortiq ildizlarga ega bo’ladi?
   

Yechish: Agar a — 0 bo’lsa, berilgan tenglama 6x — 9 — 0 ko’rinishga keladi va uni ildizi x — 1,5 bo’ladi.

Agar a — —3 bo’lsa, berilgan tenglama 0 — 0 ko’rinishga keladi. Bu esa berilgan tenglamaning cheksiz ko’p ildizlarga ega ekanligini bildiradi.

Agar а Ф 0 va а Ф —3 bo’lganda berilgan tenglamani har ikkala qismini hadma-had a + 3 ga bo’lamiz. Natijada ax² + 2x — 3 — 0 kvadrat tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglama bittadan ortiq ildizlarga ega bo’lishi uchun uning diskriminanti noldan katta bo’lishi, ya’ni D — 4 — 12a > 0 bo’lishi kerak.

—

Undan esa a> —- kelib chiqadi. a^0 shartni e’tiborga olsak, berilgan

tenglama {—3} U (—-; 0) U (0; +ro) da bittadan ortiq ildizlarga ega bo’lishini aniqlaymiz.

1. 
   (a — \)x² + x + (a — 2)(a² + 4) — 0 tenglamaning ildizlari a ning qanday qiymatlarida qarama-qarshi ishorali bo’ladi?
   

Yechish: Dastlab tenglamani har ikkala qismini hadma-xad a — 1(a Ф 1)

ga bo’lamiz. Natijada x² +'^ + ⁽~~~[~~⁾ — 0 keltirilgan kvadrat tenglama hosil bo’ladi. Bu tenglamaning ildizlari qarama-qarshi ishorali bo’lishi uchun

(&—2)(q.²+4) 9

— < 0 bo’lishi kerak (Viet teoremasiga asosan). Bu yerda a² + 4 > 0

bo’lganligi uchun oxirgi tengsizlik^{(a 22} < 0 tengsizlikka teng kuchli. Uni

u——


- 33 -



yechib 1 < a <2 ni topamiz. Demak, ae(1; 2) bo’lganda berilgan tenglamaning ildizlariqarama-qarshi ishorali bo’ladi.

Javob: ae(1; 2).

1. 
   m ning qanday qiymatlarida 3x² + (3m — 15)x — 27 — 0 tenglamaning ildizlari qarama-qarshi sonlar bo’ladi?
   

Yechish: ax² + bx + с — 0 kvadrat tenglamaning ildizlari qarama-qarshi sonlar bo’lishi uchun uning ikkinchi hadining koeffitsienti nolga teng va ozod hadi manfiy bo’lishi kerak. Berilgan tenglamada с — —27 < 0 bo’lgani uchun biz b — 3m — 15 — 0 dan m ni aniqlashimiz kerak. Undan esa m — 5 kelib chiqadi.

Javob: 5.

1. 
   a ning qanday qiymatlarida (a² — a — 6)x² — (a² + 2a — 15)x + +(a² — 2a —3) — 0 tenglama cheksiz ko’p yechimlarga ega bo’ladi?
   

Yechish: Kvadrat tenglama ikkitadan ortiq ildizlarga ega bo’lishi mumkin emas. Demak, x² oldidagi koeffitsient nolga teng bo’lishi, ya’ni a² — a — 6 — 0 bo’lishi kerak. Buni yechib a₁ — —2 va a₂ — 3 larni topamiz.

a₁ — —2 bo’lganda berilgan tenglama 0 • x² + 15x + 5 — 0 yoki

₁

15x + 5 — 0 bo’lib, undan x — —- kelib chiqadi.

a₂ — 3da 0-x² + 0- x + 0 — 0, ya’ni 0 — 0 ga ega bo’lamiz. Demak, bu holda tenglama cheksiz ko’p yechimlarga ega.

Javob: 3.

1. 
   kx² +2(k — 12)x + 2 — 0 tenglama к ning qanday eng katta butun qiymatida ildizlarga ega bo’lmaydi?
   

Yechish: Agar к — 0 bo’lsa, u holda —24x+ 2 — 0tenglama hosil bo’ladi ₁

va u ^x — — ga teng ildizga ega bo’ladi.

Agar к ^ 0 bo’lsa, u holda berilgan tenglama kvadrat tenglamadan iborat bo’ladi. Kvadrat tenglama ildizlarga ega bo’lmasligi uchun uning diskriminanti noldan kichik bo’lishi, ya’ni D — b² — 4ac — 4(k — 12)² — 8k — 4k² — —104k + 576 < 0 bo’lishi kerak. Hosil bo’lgan kvadrat tengsizlikni yechamiz:

• 
  34 -
  

4к² — 104k + 576 < 0,к² — 26k + 144 < 0,8 < к < 18. Bu tengsizlikni qanoatlantiruvchi eng katta butun son 17 ga teng.

Javob: 17.

1. 
   к ning qanday qiymatlarida 2x² + mx + m² — 5 = 0 tenglamaning har ikkala ildizi birdan kichik bo’ladi?
   

Yechish: Bu yerda biz quyidagi teoremadan foydalanamiz:

Teorema: f(x) = ax² + bx + cfunksiya biror x₀ dan kichik bo’lgan ikkita x₁ va x₂ ildizlarga ega bo’lishi uchun bir vaqtda quyidagi shartlar bajarilishi kerak:

D = b² — 4ac > 0, b x₁ + x₂

• 
  X0,
  

2a 2

/Ы > 0.

Demak, f(x) = 2x² + mx + m² — 5 bo’lib, unda a = 2,b = m va с =


m² — 5. Bularni e’tiborga olsak,


m² — 2 • 4 • (m² — 5) > 0,

— -< 1,

4

^2 • 1² + m • 1 + m² — 5 > 0.


yoki


'—7m² + 40 > 0,

m > —4,

W² + m — 3 > 0.

40

m² <—,

• 
  m> —4,
  

—V13 — 1 V13 — 1


m <


2


m >


2


Oxirgi sistemadan


140 -Vl3-l\ 1^Т3-1_ш 40

6. 
   ' 2 /1 2 ’ J 7
   

1. 
   к ning qanday qiymatlarida x² + 2(k — 3)x + 9 = 0 tenglamaning har ikkala ildizi (-6;1) oraliqda bo’ladi?
   

Yechish: Bu yerda biz quyidagi teoremadan foydalanamiz:

Teorema: f(x) = ax² + bx + c funksiya p va q sonlari orasida yotuvchi x₁ va x₂ ildizlarga ega bo’lishi uchun quyidagi shartlar bajarilishi kerak:


- 35 -



(D — b² — 4ac > 0,

f⁽v) > 0,

f⁽q⁾ > 0,
b

{ ^V<^—~a<^q
Demak, f(x) — x² + 2(k — 3)x + 9 bo’lib, undan

a — 1, b — 2(k — 3), с — 9. Bularni yuqoridagi sistemaga qo’yamiz:

4(k — 3)² — 36>0,
f(—6) — (—6)² + 12(k — 3)x + 9>0,( ^{4k2 — 24k} > ⁰,

^{f(1) — 12} +3_k ^— ^ + ⁹ > ⁰, ^{{ 8}2—l²4^k>0°
—6<—⁽ , < 1.


~6<3 — k<1.


2 • 1


fk < 0, к > 6 27

^k <

4

к <—2 V 2 < к <9


27


Oxirgi sistemadan (6;—) ni topamiz.

1. 
   a ning qanday qiymatlarida x² — 2x — a² — 0 tenglamaning ildizlaridan biri —1 dan kichik va ikkinchisi 1 dan katta bo’ladi?
   

Yechish: Dastlab tenglamaning diskriminantini topamiz:


D — b² — 4ac — (—2)² — 4 • 1 • (—a.)² — 4 + 4a². Bu ifoda a ning har qanday qiymatlarida musbat. Demak, berilgan tenglama ikkita har xil haqiqiy ildizlarga ega.

Ma’lumki, у — x² — 2x — a² uchhadning grafigi paraboladan iborat bo’lib, D > 0 bo’lganligi uchun u OX o’qini ikkita nuqtada kesib o’tadi. Dastlab parabola uchining koordinatalarini topamiz. Buning uchun undan to’la kvadrat ajratamiz: у — x² — 2x — a² — (x — 1)² — 1 — a² —— (x — 1)² — (1 + a²). Demak, parabolaning uchi C(1;—1 — a²) nuqtada. Bundan esa tenglamaning katta ildizi birdan katta bo’lishi kelib chiqadi. Tenglamaning kichik ildizi x₁ ning qiymati —1 dan kichik bo’lishi uchun funksiyaning x — —1 dagi qiymati manfiy bo’lishi kerak. Ya’ni, (—1')² — 2 • (—1) — a² < 0,3 — a² < 0,3 < a². Bundan esa a < —J3 va a> kelib chiqadi.

• 
  36 -
  

Javob: ае(—ю; — J3) U (V3; +го).

1. 
   a parametrning qanday qiymatlarida
   

x² + (2a — 1) + a² + 2 — 0 tenglamaning ildizlaridan biri ikkinchisidan ikki marta katta bo’ladi?

Yechish: Viet teoremasidan foydalanamiz va x₁ — 2x₂ shartni e’tiborga olamiz.

(Xi + X2 — 1 — 2a .(ЗХ2 — 1 — 2a ^{ x₁ • x₂ — a² + 2 ^yokil2x| — a² + 2

1_—2a

Birinchi tenglamadan x₂ — —— ni topamiz va uni ikkinchi tenglamaga

qo’yamiz: 2(¹~2^)² — a² + 2,^{2(1 4}^+^{4a )} — _a² + 2,2 — 8a + 8a² — 9a² + 18,

a² + 8a + 16 — 0, (a + 4)² — 0,a + 4 — 0, a — —4.

Javob: —4.

1. 
   a parametrning qanday qiymatlarida 4x² — 28x + a — 0 tenglama ildizlari kvadratlarining yig’indisi 22,5 ga teng bo’ladi?
   

Yechish: Dastlab berilgan tenglamaning har ikkala tomonini hadma-had 4

n Q

ga bo’lamiz. Natijada x² — 7x + ~ — 0 keltirilgan kvadrat tenglama hosil bo’ladi. Viet teoremasiga asosan x₁ + x₂ — 7 va x₁ • x₂ — -.

4

Birinchi tenglikni har ikkala tomonini hadma-had kvadratga ko’taramiz va x₁ • x₂ — - ekanligini e’tiborga olamiz.

(x₁ + x₂)² — 49, xf + x₂ + 2x₁x₂ — 49, xf + x₂ — 49 — 2x₁x₂, xf + x₂ —

a a

• 
  49 —2^—,49 —— — 22,5,98 — a — 45, a — 53.
  

42

Lekin a — 53 da berilgan tenglama yechimga ega emas (buni tekshirib ko’rishni o’quvchiga havola qilamiz). Bu yerda biz Viet teoremasini qo’llashda uchrab turadigan xatolikka duch keldik. Bunda biz ildizlar haqida gapirishdan avval ular mavjudmi yoki yo’qmi degan savolga javob berishimiz kerak. Ya’ni, eng avvalo berilgan tenglama a < 49 bo’lgandagina yechimga ega bo’lishini,


- 37 -





so’ngra yuqoridagi ishlami bajarishimiz kerak edi. Bu xulosalardan yuqorida
berilgan shartni qanoatlantiruvchi a ni mavjud emasligi kelib chiqadi.

Javob: ae0.

1. 
   a ning qanday qiymatlarida
   x² — (3a + 2)x + (2a² + +a — 3) = 0 tenglamaning har ikkala ildizi 1
   dan katta bo’lmaydi?
   

Yechish:

(3a + 2) ± *J(3^+~2y²+~4('2a²+~a—~3)


Xi,2 =


2