Yechish. Tenglama kesmada aniqlangan. kesmada uzluksiz bo‘lgan funksiyani qaraymiz. funksiyaning intervalda hosilasi mavjud.
.
faqat da nolga teng: . funksiya aniqlangan kesmada uzluksiz, shuning uchun eng katta va eng kichik qiymatlari sonlari orasida bo‘ladi.
bo‘lgani uchun ning eng katta qiymati bo‘ladi. Ravshanki, tenglama yagona ildizga ega.
Javob: .
8-misol. tenglamani yeching.
Yechish.Tenglamani
ko‘rinishda yozib olamiz. Bu tenglamaning ildizlari va funksiyalarning kesishish yoki urinish nuqtalari abssissalaridan iborat. Bu funksiyalar grafiklarining joylashishga ko‘ra ularning yektremum nuqtalarini topamiz.
funksiya nuqtada o‘zining eng kichik qiymati ga erishadi.
funksiya da aniqlangan va
bo‘lib, вa funksiya da uzluksiz bo‘lgani uchun funksiya oraliqda kamayuvchi. Demak, funksiya nuqtada o‘zining eng kichik qiymati, funksiya nuqtada o‘zining eng katta qiymati ga yerishadi.
Bundan ko‘rinadiki, ixtiyoriy учун va da .
Shunday qilib, berilgan tenglamaning ildizi va yagona.
va funksiyalar grafiklarining bir-biriga nisbatan joylashishini 9- rasmda ko‘ramiz.
9- rasm
3-§ KOSHI- BUNYAKOVSKIY – SVARTS TENGSIZLIGI YORDAMIDA BA`ZI NOSTANDART TENGLAMALARNI YECHISH.
Koshi- Bunyakovskiy – Svarts tengsizligi. Faraz qilaylik va - haqiqiy sonlarning istalgan ketma-ketliklari bo`lsin. U holda qo`yidagi tengsizlik o`rinli:
tenglik faqat
bo`lganda bajariladi.
Isboti. Tengsizlikni vektorlarning xossalaridan foydalanib isbotlaymiz.
Bu yerda va vektrlarni tanlab olamiz. Bundan ko`rinib turibdiki,
Bizga ma`lumki , vektorlarning skaliyar ko`paytmasi ularning uzunliklari ko`paytmalari hamda ular orasidagi burghak kosinusiga ko`paytmasiga teng, ya`ni
Bu yerda - burchak ikki vector orasidagi burchak. Endi ekanligini hisobga olsak, tengsizlikka ega bo`lamiz. Bu
tengsizlikning har ikkala tomonini kvadratga ko`tarib yuborsak,
yoki
tengsizlikka ega bo`lamiz. Tengsizlik faqat ikki vektorning mos elementlari proporsional bo`lgandagina bajariladi. Biz quyida tengsizlikda tenglik sharti bajarilishidan bir nechta nostandart tenglamalarni yechish usullarini keltirib o`tamiz.
