O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta'lim vazirligi buxoro davlat universiteti fizika – matematika fakulteti

1. Natural sonlar. Ma’lumki N={1,2,3,…}- barcha natural sonlar to’plamini ifodalaydi. Bu to’plamdan olingan ixtiyoriy natural n,m va p sonlar uchun quyidagi ikki tasdiqning o’rinli ekanligi ravshan:
1) n=m, m>n, n2) nAgar biror E to’plamning elementlari uchun yuqorida keltirilgan 1) va 2) munosabatlar (tasdiqlar) o’rinli bo’lsa, E to’plam tartiblangan to’plam deyiladi. Natural sonlar to’plami tartiblangan to’plamga dastlabki misol bo’la oladi.
Agar E tartiblangan to’plam bo’lib, unda shunday x₀ element mavjud bo’lsaki, ixtiyoriy xєE uchun x=x₀ yoki x>x₀(x0) bo’lsa, x₀ E ning eng kichik ( eng katta) elementi deyiladi. Tartiblangan to’plamda eng kichik(eng katta) element mavjud bo’lishi ham bo’lmasligi ham mumkin.
Natural sonlar to’plami elementlarini o’zaro taqqoslab, bu to’plam elementlari orasida eng kichik element mavjudligi va u 1 ekanligini topamiz. Ammo N to’plam elementlari orasida eng katta element mavjud emas. Haqiqatan har bir nєN uchun yana N ga tegishli n+1 son topiladi.
Ma’lumki natural sonlar to’plami N da ikkita amal qo’shish (n+m) va ko’paytirish(n·m) amallari kiritiladi va ular quydagi xossalarga ega bo’ladi.
1⁰. Kommutativlik: n+m=m+n, n·m=m·n
2⁰. Assotsiativlik: (n+m)+p=n+(m+p) , (n·m)·p=n·(m·p)
3⁰. Distributivlik: (n+m)·p=n·p+m·p
4⁰.N to’plamda shunday k element borki, k·n=n·k=n bo’ladi. Bu element
k=1 dir.
Ko’pgina masalalarni natural sonlar to’plamida hal qilib bo’lmaydi. Masalan, quyidagi sodda
x+2=1
tenglama natural sonlar to’plamida yechimga ega emas, ya’ni shu tenglamani qanoatlantiradigan natural son mavjud emas. Bu hol natural sonlar to’plamini kengaytirishni taqazo etadi.
2. Butun sonlar. Barcha manfiy sonlar, natural sonlar, nol soni va barcha natural sonlardan iborat to’plam butun sonlar to’plamini tashkil etadi va u odatda Z harfi bilan belgilanadi: Z={…,-n,…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…,n…}.
Ravshanki N sonlar to’plami Z ning qismi.
Butun sonlar to’plami natural sonlar to’plami kabi tartiblangan to’plam bo’ladi. Butun sonlar to’plamida eng kichik element ham eng katta element ham mavjud emas. Butun sonlar to’plamida qo’shish, ko’paytirish, amallari bilan birga qatorda ayirish amali ham kiritilgan va bu amallarga nisbatan 1-bandagi 1⁰ ,2⁰,3⁰,4⁰-xossalar bilan birga yana quyidagi xossalar ham o’rinlidir:
5⁰. Ixtiyoriy qєZ element uchun Z to’plamda shunday element –q mavjudki,
q+(-q)=0 bo’ladi.
6⁰. Ixtiyoriy qєZ element uchun q+0=0+q=q bo’ladi.
7⁰. Ixtiyoriy qєZ element uchun q·0=0·q=0 bo’ladi.
Z to’plam elementlari uchun kiritilgan qo’shish va ko’paytirish amallari N to’plam elementlari uchun kiritilgan shu amallarning Z ga tarqatilishidir.
Z to’plamda ham ko’pgina masalalar yechilavermaydi. Masalan ushbu sodda
2x+5=0
Tenglama Z to’plamda yechimga ega emas. Bu hol yuqoridagidek, butun sonlar to’plamini ham kengaytirish zarur ekanligini ko’rsatadi.