O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi buxoro davlat universiteti

II BOB. YUQORI CHASTOTALI MAYDONLAR.
2.1.O’tkazuvchan muhitda elektromagnit to’lqinlar.
O’tkazuvchanligi noldan farqli bo’lgan muhitda tarqalayotgan to’lqinlarni ko’ramiz. O’tkazuvchan muhitni bir jinsli, izotrop va ferromagnit emas deb ko’ramiz. Faraz qilamizki, yuqori chastotali maydonda Om qonunini o’rganish va o’tkazgichga maydonning kiruvchanlik chuqurligi to’lqin uzunligiga nisbatan katta.
Ma’lumki, metallarda maydonning kirish chuqurligi katta bo’lmagan chastotalarda ham nisbatan kichik. Shuning uchun elektromagnit to’lqinlarning metal ichida tarqalishi ma’noga ega emas.
Ammo, bunday qarash metallarga nisbatan o’tkazuvchanlik qiymati kichikroq bo’lgan muhitlar uchun o’rinli. Masalan: elektrolitlar va yarim o’tkazgichlar. Maksvell tenglamalari bu munosabatlarda quyidagi ko’rinishga ega:
(2.1.1)
(2.1.2)
(2.1.3)
(2.1.4)
Bu yassi monoxramatik to’lqinlarni ko’rish bilan chegaralanamiz.
O’tkazmas muhitlardagidek
(2.1.5)
yoki
(2.1.6)
(2.1.7)
(1) va (2) tenglamalarning yechilishini yassi monoxramatik to’lqinlar sifatida qidiramiz. Bu to’lqinlar x o’qining x yo’nalishi bo’ylab tarqalayotgan bo’lsin.
buni (1) ga qo’ysak,
(2.1.8)
Kompleks kattalikni k orqali belgilab,
(2.1.9)
P-k ning haqiqiy qismi, q- k ning mavhum qismi
unda (2.1.8) ni quyidagi ko’rinishda yozamiz.
(2.1.10)
(2.1.10)- tenglamaning yechimini quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:
(2.1.11)
-kompleks amplituda. Bunda magnit maydonning vektori
(2.1.12)
(2.1.9) dagi k ning qiymatlarini e’tiborga olsak,
(2.1.13)
xuddi shunday elektr vektor uchun yozish mumkin:
(2.1.14)
(2.1.13), (2.1.14) formulalar ko’rsatadiki, Maksvell tenglamalarining yechimi chastotasi , to’lqin soni p bo’lgan elektromagnit to’lqinlardir. To’lqin amplitudasi eksponensial qonun bo’yicha x chuqurlik bo’ylab kamayadi.
O’tkazuvchan maydonda maydonning so’nishi-yutilish-dissipativ jarayonlar bilan bog’langan. Maydonda ajralib chiqadigan Joul issiqligi unda yutilgan elektromagnit to’lqin energiyasiga teng.
Yassi to’lqinning tarqalish fazaviy tezligi ga teng.
(2.1.9) dan p va q ning qiymatlarini toppish qiyin emas,
(2.1.15)
(2.1.16)
bu tenglamalarni yechib,
(2.1.17)
(2.1.18)
Ildizning ishoralari shunday tanlanganki, p va q haqiqiy qiymatga ega bo’lsin.
Katta va kichik chastotalarning chegaraviy hollarini qaraymiz. Chegaraviy hollarning fizik ma’nosini aniqlash uchun to’liq tokni quyidagi ko’rinishda yozamiz:
(2.1.19)
Agar bo’lsa, o’tkazuvchanlik toki siljish tokiga nisbatan kichik bo’ladi.
Bu holda p va q uchun quyidagi ifodalar yoziladi:
(2.1.20)
U holda
(2.1.21)
(2.1.22)
p to’lqin soni ideal dielektrikdagi to’lqin soniga yaqin. q kattalik bilan xarakterlanadigan to’lqinning so’nishi chastotaga bog’liq emas.
To’lqinlar tarqalishining fazaviy tezligi ideal dielektriklarda to’lqinning tarqalish tezligiga mos.
(2.1.23)
uzunlikda to’lqin amplitudasi “ e” marta kamayadi.
(kichik yutilish)
Teskari chegaraviy holda, ya’ni da o’tkazuvchanlik toki siljish tokidan katta. Bu hol kichik chastotalar va o’tkazuvchanlikning katta qiymatlari uchun o’rinli.
(2.1.24)
ifodani kasrga yoysak,
(2.1.25)
(2.1.26)
(2.1.25) va (2.1.26) tenglamalar katta yutilish holidir. To’lqinlarning fazoviy tenglamasi
(2.1.27)
U chastotaga bog’liq, chunki dispersiya hodisasi kuzatiladi. Umumiy holda yutilish bo’lgan muhitda har doim dispersiya mavjud bo’ladi.
Gruppaviy tezlikni hisoblab o’tirmaymiz, chunki u uchun ifoda katta bo’ladi. ta’kidlash joizki, gruppaviy tezlik tushunchasi faqat kichik (bitta to’lqin uzunligida ) so’nishda, yutuvchi muhitda tarqaluvchi to’lqinlarda sodir bo’ladi.
Aytish lozimki, agar
(2.1.28)
bo’lsa, (2.1.10)-tenglama (2.1.17) ga aynan bo’ladi. (2.1.28) tenglama dielektrik singdiruvchanlikning o’tkazuvchan va demak, yutuvchi muhitdagi ifodasi. –kompleks kattalik bo’lgani uchun ham kompleks.
Ma’lumki, muhitning magnit singdiruvchanligi bo’lgani uchun va (2.1.28) ni (2.1.9) ga qo’ysak,
(2.1.29)
ga kelamiz. Ko’ramizki, kompleks dielektrik singdiruvchanlik maydon chastotasiga bog’liq. ni quyidagicha ifodalaymiz:
(2.1.30)
n-sindirish ko’rsatkichi, -yutilish koeffitsienti.
(2.1.31)
(2.1.32)’
Qayd qilamizki, uncha katta bo’lmagan chastotalarda va katta o’tkazuvchanlikda (2.1.25) va (2.1.26) larni quyidagicha yozish mumkin:
(2.1.33)
Magnit va elektr maydon kuchlanganliklarini ifodalovchi (2.1.25) formula yutuvchi muhit uchun ham o’z kuchida qoladi, agarda unda ni ga almashtirsak. Oxirgi kattalikni
(2.1.34)
ko’rinishida yozsak, u holda
(2.1.35)
Ko’ramizki, magnit kuchlanganligining absolyut kattaligi:
(2.1.36)
Magnit maydon kuchlanganligi elektr maydon kuchlanganligidan faza bo’yicha ga kechikadi.
Yutilishi kichik bo’lgan muhit hamda elektr va magnit maydonlar kuchlanganliklari nisbati
(2.1.37)
Elektr va magnit maydon energiyalari zichliklarining o’rtacha qiymatlarini topamiz:
;(2.1.38)
(2.1.39)

Magnit va elektr maydon energiyalari nisbati

(2.1.40)
O’tkazmas muhitdagi kabi, elektr va magnit maydon maydoni energiyalari zichligi bir biriga yaqin.
Yutilish katta bo’lgan muhitda :
(2.1.41)
Yutilishi katta bo’lgan muhitda magnit maydon hissasiga maydon to’la energiyasining asosiy qismi to’g’ri keladi.
2.2.Yorug’lik dispersiyasining kvant nazariysi.
Endi tez o’zgaruchi elektromagnit maydonlarni o’rganishga o’tamiz. Bunday maydonlarni o’zgarish davri (T) elektr va magnit qutblanish qaror topishining xarakterli vaqtidan (Ʈ) katta bo’liahi kerak degan shart bilan cheklanmaydi.
Vaqt o’tishi bilan o’zgaruvchi maydon albatta fazoda ham o’zgaruvchi bo’lishi kerak. Berilgan chastota ω da fazoviy davr-to’lqin uzunlik bilan aniqlanadi. chastota kattalashgan sari to’lqin uzunlik kamaya boradi va pirovardida u atom o’lchamlariga tenglashib qoladi. Bu holda atom o’lchamlari tartibidagi masofalar ahamiyat kasb eta boshlaydi va maydonni makroskopik nuqtai nazardan tavsiflab bo’lmay qoladi. Muhitning dispersiyasini inobatga olish zarurati paydo bo’ladi.
Hozirgi vaqtda atom va molekulalarning xossalarini belgilovchi qonunlar haqidagi tasavvurlarimizning kvantlar nazariyasi tufayli tubdan o’zgarib ketganligi munosabati bilan dispersiya nazariyasini ham qayta ko’rib chiqishga majburmiz. Ammo, bu tasavvurlarning tubdan qayta ko’rib chiqilganiga qaramasdan, dispersiya nazariyasining asosiy muhim xususiyatlari uning kvantlar nazariyasida saqlanib qolgan. Ammo, bunda dispersiya hodisasi izohlab beradigan nuqtai nazargina o’zgarib qolmay, balki dispersiyaning klassik nazariydagi eng sodda variantlar ko’zda tutmagan va kelgusi tajribalarda tasdiqlangan yangi tomonlari (manfiy absorbtsiya, yorug’likning kogerent bo’lmagan sochilishi) kashf etildi.
Dispersiyaning elektroniy nazariyasi asoslari bilan birmuncha batafsilroq tanishaylik. Kvant nazariyasi to’g’risida keyinroq bir qancha so’z aytiladi.
Yuqorida aytilganidek, yorug’lik bilan moddaning o’zaro ta’sirining mohiyati tushayotgan (birlamchi) to’lqin maydoni ta’sirida modda elektronlari (va ionlari) ning tebranishlari natijasida paydo bo’lgan ikkilamchi to’lqinlar bilan birlamchi to’lqinlarning interferensiyalanishidan iborat.
Muhitning dielektrik singdiruvchanligining yorug’lik to’lqini chastotasiga bog’liqligini tekshirganimizda masalani formal tarzda qarab chiqamiz, ma’lumki, yorug’lik to’lqinlari moddadagi elektr zaryadlarini siljitadi. Zeeman hodisasining ko’rsatishicha, atomning optik hayotida elektron bosh rol o’ynaydi; shuning uchun bundan keyin biz qulaylik maqsadida faqat elektron haqida gapiramiz;ammo barcha mulohazalarimiz atom takibidagi zaryadli boshqa zarralar uchun ham o’z kuchida qoladi. Xususan, uzun to’lqinlar sohasida sinish ko’rsatkichini tekshirganda qiyosan sekin (infraqizil) tebrana oladigan ionlar ta’sirini ham hisobga olish zarur.
Demak, sinish ko’rsatkichining to’lqin uzunlikka bog’lanishini keltirib chiqarish uchun dielektrik singdiruvchanlikning o’zgaruvchan elektr maydoni chastotasiga qanday bog’langanligini topamiz, so’ngra munosabatga asoslanib ni topamiz. Elektroniy nazariyaga muvofiq, dielektrikning molekula yoki atomlarini tarkibida elektronlar molekulalar ichida muvozanat vaziyatida masofa qadar siljib, atomni maydon bo’ylab yo’nalgn momentli elektr sistemasiga ( dipolga) aylantiradi. Amalda shunday chastotalar sohasi mavjudki, ular uchun bir tomondan dispersiya muhim bo’lsa, ikkinchi tomondan mydonni makroskopik tavsiflash mumkin bo’ladi. Ma’lumki, muhitda barqaror muvozanat holati turli releksatsiya mexanizmlari orqali o’rnatiladi. Bu borada elektron mexanizmi muhitning elektr qutblanishi va magnitlanishida eng tez mexanizmlardan hisoblanadi. Uning relaksatsiya vaqti atom xarakterli vaqtlar (a/υ) tartibida bo’ladi. bu yerda a atomlar o’lchami, υatomdagi elektron tezligi. Madomiki υ >> c ekan, bu vaqtlarga to’g’ri kelgan to’lqin uzunligi atom o’lchamlariga nisbatan hali yetarlicha katta bo’ladi. bunday to’lqinlar uchun maydonni makroskopik tavsiflash mumkin. ammo, metallarda past temperaturalarda bus hart bajarilsa ham, makroskopik nazariyadan foydalanib bo’lmaydi. Umuman olganda yuqori chastotali maydonlar masalasi ancha murakkab va chalkashdir. Har gal bunday masala ko’rilganda mhit va maydonni xarakterlovchi parametrlar nisbatini baholash lozim bo’ladi. bu masalani chuqurroq o’rganish alohida masala bo’lib, ushbu kitob doirasidan tashqarida yotadi. Bundan keyin λ >> a shart bajarilganda deb qaraymiz. Quyida bayon qilinadigan nazariya ham metallarga, ham dielektriklarga birday taalluqlidir. Chunki, maydonning chastotsi atom ichidagi elektronlarning harakatiga tegishli chastotalar (optik chastotalar) tartibida va undan yuqori bo’lganda metal bilan dielektrik o’rtasidagi farq deyarli yo’qoladi.
Umuman olganda muhitda harakatlanayotgan zaryad o’z energiyasini yo’qotishining bir necha mexanizmlari bor. Birinchidan, zaryadlangan zarracha atomlar bilan to’qnashish natijasida sekinlashadi. Bunda tormozlanish nurlanishi sodir bo’ladi. bu nurlanish massaaning kvadratiga teskari proparsional bo’ladi va og’ir zarrachalar uchun juda kichik. Muhitda harakatlanayotgan zaryad moddaning atomlari bilan ta’sirlashishi natijasida ularni qutblaydi. Ya’ni zaryad muhitda qandaydir maydon hosil qiladi. Bu maydon o’z navbatida zaryadga ta’sir qilib uning harakatini sekinlashtiradi. Bunda zaryad energiyasining kamayishi harakatni sekinlashtiruvchi kuchlarning ishiga teng bo’ladi. Bunday nurlanish qutblanish nurlanishi deyiladi. Chunki, sekinlashtiruvchi kuchni qutblanish maydoni hosil qiladi. Yana bir ko’rinishdagi nurlanish bor. Agar zaryadning harakat tezligi to’lqinning faza tezligidan katta bo’lsa, qutblangan soha zaryad ketidan yetib ulgurmaydi. Ya’ni uchib borayotgan zaryad o’z ortida qutblangan sohani qoldirib ketadi. Bu sohada paydo bo’lgan qo’shimcha energiya ko’ndalang to’lqin ko’rinishida tarqaladi. Makroskopik elektrodinamikaning asosiy tenglamalarini yozganimizda, maydonning o’zgarish chastotasiga qo’yilgan cheklovlar faqat bog’lanish tenglamalariga tegishli bo’lganligini inobatga olsak
(2.2.1)
(2.2.2)
(2.2.3)
(2.2.4)
Maksvell tenglamalardan foydalanish mumkin bo’ladi. Ammo, yuqori chastotalarda D, B va E, H orasidagi bog’lanishlar, dispersiya yo’q deb oldin olingan bog’lanishlardan tubdan farq qiladi.
Eng avvalo, D, B va E, H kattaliklarning biror vaqtdagi qiymatlari orasidagi birdan bir bog’lanish buziladi. Masalan, D(t) = εE(t) bog’lanish ma’noga ega bo’lmay qoladi. Chunki, muhitning elektr qutblanishi va magnitlanishi yuqori chastotalarda maydon o’zgarishining ketidan ulgurmaydi. Bu holda biror vaqtdagi D va B ning qiymati mos ravishda E(t) va H(t) ning oldingi barcha vaqtlardagi qiymatlari bilan aniqlanadi deb olish kerak bo’ladi. elektr maydon kuchlanganligi va elektr induksiya vektorlari orasidagi bog’lanishni ko’rib chiqamiz. Ilgarigidek maydon kuchsiz deb qaraymiz. Bu holda D va E orasidagi bog’lanish chiziqli bo’ladi. D(t) ning t vaqtdagi qiymati E(t) ning oldingi barcha vaqtlardagi qiymati bilan bog’lanishi eng umumiy holda quyidagi ko’rinishda yoziladi:
(2.2.5)
Bu yerda integral sababiyat prinsipiga ko’ra faqat t ga nisbatan o’tgan vaqtlar bo’yicha olinadi.
Har qanday o’zgaruvchi maydonni Furye integraliga yoyish bilan monoxramatik tashkil etuvchilarga ajratish mumkin, ya’ni
(2.2.6)
(2.2.7)
Bu ifodalarni * ga qo’yib, quyidagini topamiz:
(2.2.8)
bu yerda
(2.2.9)
formula bilan aniqlanadi. Vaqt bo’yicha integral (0, ) oralig’ida olinganligi uchun ε(ω) ning Furye tasviri bo’la olmaydi. Shunday qilib, davriy maydonlarda dielektrik singdiruvchanlik tushunchasini va ni bog’lovchi koeffitsient sifatida kiritish mumkin. Bu kattalik muhitning xossalari bilan bir vaqtda chastotaga ham bog’liq bo’ladi. dielektrik singdiruvchanlikning chastotaga bog’lanishi dispersiya qonuni deyiladi.
Funksiya ε(ω) umuman olganda yuqoridagi formulaga ko’ra kompleksdir, ammo ε(t) haqiqiy bo’lganligi uchun
(2.2.10)
Shartni qanoatlantiradi. Uning haqiqiy qismini , mavhum qismini esa bilan belgilaymiz:
(2.2.11)
ε(ω) ning ta’rifi * dan uning haqiqiy qismi chastotaning juft, mavhum qismi esa toq funksiya ekanligini ko’rish mumkin, ya’ni
,
Kompleks dielektrik singdiruvchanlik kabi kompleks magnit singdiruvchanlik μ(ω) ni kiritish mumkin.
Elektromagnit to’lqinlarni zaryadlarni sochilish masalasini oldin ko’rib chiqqan edik. Hozir bu masalani siyrak gazlarning dielektrik singdiruvchanligini hisoblash uchun yana bir marta ko’rib chiqamiz.
Siyrak gazda atomlar bir-biri bilan ta’sirlashmasligini nazarda tutsak, tashqi maydonda qutblanishi
P=Nd
Bilan aniqlanadi. Bu yerda P qutblanish vektori, N atomlar zichligi, d har bir atomning tashqi maydonda olgan dipol momenti.

Siyrak gazda elektr maydon tashqi maydonga teng bo’ladi. Shuning uchun

Bu ifodadan dielektrik singdiruvchanlik uchun quyidagi ifodani hosil qilamiz:

olingan formulalar tajribalarda yaxshi o’lchanadigan-muhitning sindirish ko’rsatkichi va nurlanishni yutish koeffitsientini aniqlaydi. Yutish koeffitsienti xususiy chastotada keskin maksimumga ega, sindirish ko’rsatkichi esa bu chastotada birga teng bo’ladi. Bu holda nurning sinishi to’g’risida gapirishning ma’nosi yo’qoladi.

2.2.1-chizma.Sindirish ko’rsatkichining chastotaga bog’liqlik grafigi.

Chastota juda katta bo’lganda ) geometrik optika qonunlari ishlay boshlaydi. Muhitning sindirish ko’rsatkichi <1. Bunday muhitning optik zichligi vakuumnikidan kichik bo’ladi. Bo’shliqdan bunday muhitga nur kelib tushganda to’la ichki qaytish hodisasi ro’y beradi.

Shu hol uchun elektromagnit to’lqinlarning gruppa tezligini hisoblaylik

Sindirish ko’rsatkichi va k=c/nω ni nazarda tutib dk/dω ni hisoblaymiz:

bundan

Biz ko’rayotgan holda n<1 bo’lganligidan bo’lishi kelib chiqdi.
Katta chastotalarda yorug’lik kvantining energiyasi atomdagi elektronlarning bog’lanish energiyasidan ancha katta bo’ladi. Bu holda elektronlarni bog’langanligining ahamiyati qolmaydi.
Real mikroskopik sistemalar-atom va molekulalar klassik fizika, xususan klassik elektrodinamika qonunlariga bo’ysunmaydi. Bunga qaramasdan, atomlar nurlanishning klassik garmonik ossilyator modeli nurlanishning asosiy xrakteristikalarini to’g’ri aniqlab berdi. Yuqorida ko’rilgan yorug’lik dispersiyasi masalasini kvant mexanika nuqtai nazaridan ko’rilganda dispersiya qonuni

formula bilan aniqlanadi. Ammo, o’ta yuqori chastotalarda har ikkala formula bir xil ko’rinishga o’tadi:

bundan ko’rinib turibdiki, qaralayotgan masala uchun o’ta yuqori chastotalarda nafaqat muhitlarning , hattoki masalaga yondashishning ham farqi qolmaydi.
Maksvell tenglamalarining ko’ndalang elektromagnit to’lqin ko’rinishidagi yechimi fazoviy dispersiya mavjud bo’lganda o’rinli bo’lmay qoldi. Bizga ma’lumki, muhitning bir jinsli emasigini xarakterlovchi masshtab to’lqin uzunligi tartibida bo’lganda dispersiya muhim bo’lib qoldi. Bunda fazoning biror nuqtasidagi induksiya fazoning shu nuqtasini qurshab olgan qismidagi maydonga bog’liq bo’ladi. Bu holda elektr maydon kuchlanganligi va induksiya orasidagi bog’lanish nolakal deyiladi.
Makroskopik elektrodinamikada fazoviy dispersiyani inobatga olish shart emas deb hisoblab kelingan. Haqiqatan ham, bir jinsli izotrop muhitlarda yuqori chastotali maydonlar nazariyasi fazoviy dispersiyani inobatga olinmaganda ham juda yaxshi natijalar beradi. Ammo, bir qator muhitlarda (masalan, metall va yarim o’tkazgichlardagi elektronlar gazi) xarakterli masofa tartibida bo’ladi. bunday muhitlarda fazoviy dispersiyani hisobga olish yangi effektlarga olib keladi. Bu holat plazmada ham muhim ahamiyat kasb etadi.
Magnit xususiyatiga ega bo’lmagan bir jinsli izotrop muhitda yuqori chastotali elektromagnit maydon masalasini ko’rib chiqamiz. Muhit erkin zaryadlar va toklardan holi bo’lsin. Maksvell tenglamalarini Furye metodi bilan yechamiz. Buning uchun tenglamalarga kirgan kattaliklarni Furye integraliga yoyamiz va ularni Maksvell tenglamalariga qo’yib, quyidagi algebraik tenglamalar sistemasini topamiz:




Bu yerda k to’lqin vektor, , , , mos kattaliklarning Furye tasvirlari. Shunday qilib, xususiy hosilali differensial tenglamalarni chiziqli algebraic tenglamalarga keltirdik. Bu tenglamalar , , , orasidagi bog’lanishlar bilan to’ldirildi.
Dielektrik singdiruvchanlik k ga bog’liq bo’lganligi uchun hatto izotrop muhitda ham skalyar kattalik bo’la olmaydi. Chunki, maydon ta’sirida muhitda uning tarqalish yo’nalishi qolgan yo’nalishlardan farq qiladi, ya’ni ajralgan yo’nalish paydo bo’ladi. shuning uchun boshida izotrop bo’lgan muhit maydon ta’sirida anizatrop bo’lib qoladi. Uni xarakterlovchi kattaliklar tenzor kattalikka aylanadi. Masala simmetriyasiga ko’ra, bu tenzorlar simmetrik bo’lishi kerak.
To’lqin vektori va Kroneker belgisi yordamida dielektrik singdiruvchanlikni aniqlovchi yagona simmetrik tenzor quyidagi ko’rinishda yoziladi:

Agar ajralgan yo’nalish sifatida z o’qini tanlasak, yuqoridagini quyidagi ko’rinishida yozish mumkin:

Shunday qilib, boshida izotrop bo’lgan muhit fazoviy dispersiya inobatga olinganda k ga nisbatan bo’ylama va ko’ndalang dielektrik singdiruvchanlik bilan aniqlanar ekan. Agar fazoviy dispersiyani inobatga olmasak, dielektrik singdiruvchanlik skalyar kattalikka o’tadi, ya’ni
yoki

Muhitni magnetik emas ( ) deb, dielektrik singdiruvchanlik tenzori orqali elektr maydon kuchlanganligi va elektr induksiya vektorlarining Furye tasvirlari uchun bog’lanish tenglamasini yozamiz:

(2.2.12)
Dispersiya qonunini topish uchun (2.2.12) tenglamani k ga vektor ravishda ko’paytiramiz:


Bu tenglamaning chap tomonidagi vektor ko’paytmani ochamiz:

(13.40) tenglamadan foydalanib bu tenglamani qayta yozamiz:

Bu tenglamani vektorlarning komponentlari orqali yozamiz:
(2.2.13)
Bu yerda (13.47) bog’lanish tenglamasi inobatga olindi. (2.2.13) notrivial yechimga ega bo’lishi uchun

bo’lishi talab qilinadi. Bu tenglama topilishi lozim bo’lgan dispersiya qonunini aniqlaydi. Elektromagnit to’lqin ta’sirida bo’lgan izotrop muhit uchun dielektrik singdiruvchanlik parallel va perpendikulyar komponentalarga ega bo’lishini, ya’ni (13.44)ni inobatga olib (13.50) ni ikkita tenglamaga ajratamiz:
(2.2.14)
(2.2.15)
Bu yerda to’lqin tarqalish yo’nalishi sifatida z o’qini tanladik. Bu holda

Topilgan dispersion tenglamalar o’zaro bog’liq bo’lmagan tenglamalar bo’lib, fazoviy dispersiyaga ega bo’lgan muhitda bir-biriga bog’liq bo’lmagan ikkita to’lqin jarayoni kechishini bildiradi. Ulardan biri ko’ndalang to’lqinni tarqalish jarayoni bo’lib (2.2.14) tenglama bilan aniqlanadi. ikkinchisi esa fazoviy dispersiyaga ega bo’lgan muhitga xos bo’lgan bo’ylama to’lqinning mavjudligiga ishora qiladi. Bu jarayon (2.2.15) dispersion tenglama bilan aniqlanadi. ko’ndalang to’lqinda elektr maydon kuchlanganligi ikkita komponentaga ega , ), bo’ylama to’lqinda esa faqat bitta ) komponenta bor. Shuni ta’kidlash lozimki, elektr induksiya vektori D
(2.2.16)
Tenglamaga ko’ra to’lqin tarqalish yo’nalishi k ga perpendikulyar yo’nalgan bo’ladi.
Bo’ylama to’lqinning paydo bo’lishi maydon ta’sirida muhitning qutblanishi bilan bog’liq. Fazoviy dispersiyaga ega bo’lgan muhitda zaryadlar muvozanatli, ammo notekis taqsimlangan bo’lsin deb faraz qilamiz. Muhit bir jinsli bo’lmaganligi uchun bu hol tabiiydir. Maydon ta’sirida zaryadlar taqsimotidagi muvozanat buziladi. Muvozanat holatdan chiqqan zaryadlar tebrana boshlaydi. Bu tebranishlar elastik muhitdagi tebranishlar bilan birday xossaga ega bo’ladi. bunday tebranishlar bo’ylama to’lqinlarning paydo bo’lishiga olib keladi.
Agar muhit bir jinsli bo’lsa, (2.2.16) tenglama quyidagi ko’rinishga o’tadi:

Demak, bunday muhitda chastotasi

Dispersion qonuniyat bilan aniqlanuvchi faqat ko’ndalang to’lqinlar tarqalishi mumkin.
Shaffof muhitda juda katta tezlikda harakatlanayotgan zaryadlangan zarracha ma’lum sharoitlarda o’ziga xos nur chiqarishi 1937-yilda P.A.Cherenkov va S.I.Vavilov tajribalarda kuzatgan. Bu hodisaga I.E.Tamm va I.M.Frank tomonidan nazariy talqin berilgan. Bu nurlanish zaryadlangan zarrachaning harakati bilan bog’liq bo’lgan tormozlanish nurlanishidan tamoman farq qiladi. Tormozlanish nurlanishi harakatdagi elektronning atomlar bilan to’qnashishi natijasida yuz beradi. Cherenkov hodisasida harakatdagi zaryad maydoni ta’sirida muhit nur chiqaradi. Bu ikki nurlanish orasidagi farq ayniqsa og’ir zarrachalar uchun yaqqol seziladi. Chunki, tormozlanish nurlanishining intensivligi zarracha massasining kvadratiga teskari proporsional bo’lganligi og’ir zarrachalar uchun juda kichik bo’ladi. Cherenkov nurlanishi esa zarrachaning massasiga bog’liq emas.
Umuman olganda muhitda harakatlanayotgan zaryad o’z energiyasini yo’qotishining bir necha mexanizmlari bor. Birinchidan, zaryadlangan zarracha atomlar bilan to’qnashish natijasida sekinlashadi. Bunda tormozlanish nurlanishi sodir bo’ladi. bu nurlanish massaaning kvadratiga teskari proparsional bo’ladi va og’ir zarrachalar uchun juda kichik. Muhitda harakatlanayotgan zaryad moddaning atomlari bilan ta’sirlashishi natijasida ularni qutblaydi. Ya’ni zaryad muhitda qandaydir maydon hosil qiladi. Bu maydon o’z navbatida zaryadga ta’sir qilib uning harakatini sekinlashtiradi. Bunda zaryad energiyasining kamayishi harakatni sekinlashtiruvchi kuchlarning ishiga teng bo’ladi. Bunday nurlanish qutblanish nurlanishi deyiladi. Chunki, sekinlashtiruvchi kuchni qutblanish maydoni hosil qiladi. Yana bir ko’rinishdagi nurlanish bor. Agar zaryadning harakat tezligi to’lqinning faza tezligidan katta bo’lsa, qutblangan soha zaryad ketidan yetib ulgurmaydi. Ya’ni uchib borayotgan zaryad o’z ortida qutblangan sohani qoldirib ketadi. Bu sohada paydo bo’lgan qo’shimcha energiya ko’ndalang to’lqin ko’rinishida tarqaladi. Nurlanishning bu manbai Cherenkov nurlanishi deb ataladi. Bu nurlanish zaryadning sekinlashishi bilan bog’liq bo’lmasdan muhitning nurlanishi ekanligini yana bir marta ta’kidlaymiz.
Shaffof muhitda tarqalayotgan elektromagnit to’lqinning to’lqin vektori va chastotasi orasidagi bog’lanish formula bilan aniqlanadi. bu yerda n-muhitning sindirish ko’rsatkichi bo’lib, shaffof muhitlar uchun haqiqiy bo’ladi. boshqa tomondan, zarrachaning harakat yo’nalishida maydonning Furye tasvirining chstotasi munosabat bilan aniqlanadi. Bu maydon muhitda erkin tarqalishi uchun va munosabatlar bir-biriga zid bo’lmasligi kerak. k > ekanligini inobatga olsak,

Shart bajarilishi lozimligi kelib chiqadi. Bu yerda zarrachaning tezligi. Shunday qilib, zarrachaning tezligi chastotali to’lqinning faza tezligidan katta bo’lganda shu chastotada nurlanish sodir bo’ladi.
Zarrachaning harakat yo’nalishi va nurlanish yo’nalishi orasidagi burchak bo’lsin. Ikki yo’l bilan olingan to’lqin vektorning harakat yo’nalishiga proyeksiyalari va ni taqqoslab, quyidagi tenglikni olamiz:

Bunga asosan har bir chastotadagi nurlanishga aniq burchak mos keladi. Nurlanish oldinga (zarrachaning harakat yo’nalishi ) bo’lib, yuqoridagi ifoda bilan aniqlanuvchi burchakli konusning sirti bo’ylab tarqaladi. Bunday nurlanishning burchak va chastota bo’yicha taqsimotlari bir-biri bilan aniq bog’lanishda bo’ladi.
Endi nurlanish maydonini hisoblashga o’tamiz. Hisoblashlarni soddalashtirish maqsadida, harakat davomida zarrachaning tezligi kattaligi va yo’nalishi bo’yicha o’zgarmaydi deb qaraymiz. Ya’ni uning tezligining o’zgarisshini inobatga olmaymiz. Muhitni shaffof deb hisoblaymiz. Bu holda dielektrik singdiruvchanlikning mavhum qismi nolga teng bo’ladi.
Zaryadlangan nuqtaviy zarrachaning tekis harakatiga mos keluvchi tok zichligini quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:
.
Bu hol uchun Maksvell tenglamalarini yozamiz:


Bu yerda deb olindi. Bu tenglamalarni yechish uchun Furye metodidan foydalanamiz. Yuqoridagi ikkala tenglamalarga kirgan barcha kattaliklarning o’rniga ularning Furye integrallarini qo’yamiz. Natijada Furye komponentalar ucchun quyidagi algebraik tenglamalarni olamiz:
,


Quyidagi tenglamani hosil qilamiz:

Bu yerda
(2.2.17)
Tok zichligining Furye komponentasi. Izotrop muhitlar uchun tenglamani quyidagicha yozamiz:

Buni vektor ko’rinishida ham yozish mumkin
(2.2.18)
Ushbu tenglamadan (kE) ni yo’qotish uchun unga k vektorni skalyar ravishda ko’paytiramiz. Bunda ifodaning chap tomonidagi birinchi had ikkinchi qavs hisobiga nolga teng bo’ladi. Natijada

Olamiz. Buni (2.2.18) ga qo’yamiz va hosil bo’lgan tenglamadan E ni topamiz:
(2.2.19)
Endi maydonning Furye tasviridan real maydon E(r,t) ga o’tamiz. Bunda maydonni ikki qissmga ajratamiz. Birinchi qism (2.2.19) ifodadagi birinchi had bilan bog’liq bo’lib quyidagiga teng bo’ladi:

Bu yerda tok zichligining Furye tasviri (5) ni inobatga olib bo’yicha integralni hisobladik. dielektrik singdiruvchanlik ning dagi qiymati. ni uchib ketayotgan zaryadlangan zarracha hosil qiladi. Bu maydon o’z navbatida zaryadga ta’sir ko’rsatadi. Bunda zaryad o’z energiyasini kamaytiradi. Bu enrgiya bo’ylama qutblanishni paydo bo’lishiga sarf bo’ladi.
Endi (8) ifodadagi ikkinchi hadni ko’rib chiqamiz. Bu holda ni hisoblashdagi amallarni bajarib ni aniqlaymiz:

Bu maydonning zarracha ustida bajarayotgan ishi va mos ravishda energiyaning kamayishi, Cherenkov nurlanishini aniqlaydi. Bunda muhitda ko’ndalang elektromagnit to’lqin hosil bo’ladi, ya’ni qutblangan muhit nurlanadi.
Fazoviy dispersiyani hisobga olish ikki xil tabiatga ega bo’lgan maydonlarni bir-biridan ajratish imkoniyatini berdi. Agar muhit fazoviy dispersiyaga ega emas deb qarasak, yuqorida olingan natijalar o’z kuchini saqlaydi. Faqat maydon uchun olingan ifodalarda

deb hisoblash kerak.

Cherenkov- Vavilov nurlanishining asosiy xossalari:

1. 
   Bu nurlanish uchun chegaraviy tezlik mavjud. Zarrachaning muhitdagi tezligi shartni qanoatlantirganda bunday nurlanish paydo bo’ladi;
   
2. 
   Nurlanish zarrachaning massasiga bog’liq emas;
   
3. 
   Nurlanish spektri elektromagnit to’lqinlarning ko’rish va ultrabinafsha sohasiga to’g’ri keladi. Bundan qisqa to’lqinlar uchun n<1 bo’lib qoladi va nurlanish bo’lmaydi;
   
4. 
   Berilgan nuqtada paydo bo’ladigan nurlanish uchi zarracha turgan nuqtada bo’lgan va burchagi
   

Konusning sirti bo’ylab zarrachaning harakat yo’nalishida tarqaladi.
Cherenkov-Vavilov nurlanishi hisobiga zarracha energiyasining kamayishi, hamma mexanizmlar hisobiga energiya yo’qotilishining faqat 0.1 foizini tashkil qiladi. Shunga qaramasdan, bu tipdagi nurlanishning yuqorida qayd qilingan xossalari uni barcha nurlanishlar ichidan ajratib olish imkonini beradi. Bu effect elementer zarrachalarni qayd qiluvchi o’ta sezgir asbob-Cherenkov sanog’ichini yaratilishiga asos bo’lgan.

Xulosa.
BMIning 2-bobida yuqori chastotali maydonlar tahlil qilinganbo’lib, o’tkazuvchan muhitda elektromagnit to’lqinlarning tarqalishi va yorug’lik dispersiyasining kvant nazariyasi tahlil etilgan. Maksvell tenglamalarining yechimi yassi to’lqin tenglamasi sifatida qaralgan. To’lqin tarqalishining fazaviy tezligi ideal dielektriklarda to’lqinning tarqalish tezligiga tengligi isbotlangan. Yutilish mavjud bo’lgan muhitlarda albatta dispersiya hodisasi yuz berishi isbotlangan. Yutish koeffitsienti kichik bo’lgan muhitlarda magnit maydon kuchlanganligining elektr maydon kuchlanganligiga nisbati sindirish ko’rsatkichiga taxminan teng bo’lishi ko’rsatilgan.

Yutish koeffitsienti katta bo’lgan muhitlarda maydon to’la energiysining asosiy qismini magnit maydon energiyasi tashkil etishi tenglamalarda isbotlangan.
Izotrop muhitda yuqori chastotali elektromagnit maydon masalasi ko’rib chiqilgan.
Shaffof muhitda tarqalayotgan elektromagnit to’lqinlarning vektori va chastotasi orasidagi bog’lanish kvant nuqtai nazaridan tahlil etilgan.


Xotima
BMIning 1-bobida elektromagnit maydon klassik nazariyasi o’rganilgan bo’lib, unda yorug’lik dispersiyasi tahlil qilingan. Optik elektronlarga ta’sir qiluvchi kuchlar xarakteri jihatidan bir-biridan farqli jihatlari ko’rsatilgan. Dispersiya tenglamasini keltirib chiqarishda tutib turuvchi kuch, tormozlovchi kuch va majburlovchi kuchlarning tenglamalaridan foydalanilib, Nyutonning harakat tenglamasi optik elektron uchun yozilgan. Yorug’lik to’lqinining elektr maydoni chastota funksiyasi sifati qaralgan.
Normal va anomal dispersiyaning klassik nazariyasi o’rganilgan.
BMIning 2-bobida yuqori chastotali maydonlar tahlil qilinganbo’lib, o’tkazuvchan muhitda elektromagnit to’lqinlarning tarqalishi va yorug’lik dispersiyasining kvant nazariyasi tahlil etilgan. Maksvell tenglamalarining yechimi yassi to’lqin tenglamasi sifatida qaralgan. To’lqin tarqalishining fazaviy tezligi ideal dielektriklarda to’lqinning tarqalish tezligiga tengligi isbotlangan. Yutilish mavjud bo’lgan muhitlarda albatta dispersiya hodisasi yuz berishi isbotlangan. Yutish koeffitsienti kichik bo’lgan muhitlarda magnit maydon kuchlanganligining elektr maydon kuchlanganligiga nisbati sindirish ko’rsatkichiga taxminan teng bo’lishi ko’rsatilgan.
Yutish koeffitsienti katta bo’lgan muhitlarda maydon to’la energiysining asosiy qismini magnit maydon energiyasi tashkil etishi tenglamalarda isbotlangan.
Izotrop muhitda yuqori chastotali elektromagnit maydon masalasi ko’rib chiqilgan.
Shaffof muhitda tarqalayotgan elektromagnit to’lqinlarning vektori va chastotasi orasidagi bog’lanish kvant nuqtai nazaridan tahlil etilgan.