O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi buxoro davlat universiteti

1.1.7 - Ta’rif: (1.1.10) tenglama (1.1.5) tenglamaning xarakteristik tenglamasi deyiladi.
1.1.8 - Ta’rif: (1.1.10) tenglamaning integrallari esa (1.1.5) tenglamaning xarakteristikalari deyiladi.
Faraz qilamiz, , bu yerda (1.1.10) tenglamaning umumiy integrali. Biz oldidagi koeffitsientni nolga aylantiramiz. Agar (1.1.10) tenglamaning boshqa umumiy integralini ifodalasa va ga bog‘liq bo‘lmasa, biz deb olsak, oldidagi koeffitsientni nolga aylantiramiz.
(1.1.10) tenglama quyidagi ikkita tenglamaga ajraladi:
(1.1.11)
(1.1.12)
Ildiz ostidagi ifodaning ishorasi
(1.1.5)
tenglamaning tipini aniqlaydi.
Agar nuqtada bo‘lsa, (1.1.5) tenglama giperbolik tipga qarashli, agar nuqtada bo‘lsa, berilgan (1.1.5) tenglama elliptik tipga qarashli, agar nuqtada bo‘lsa, parabolik tipga qarashli deyiladi.
Quyidagi tenglik sohaning barcha nuqtalarida o‘rinli bo‘ladi, ya’ni
,
Bundan o‘zgaruvchilar almashtirilganda ham tenglama tipining invariantligi saqlanishi ko‘rinib turibti, chunki - yakobian noldan farqli.
Barcha nuqtalarida tenglama bir xil tipga tegishli bo‘lgan sohani qaraymiz. sohaning har bir nuqtasidan ikkita xarakteristika o‘tadi, aynan, giperbolik tipdagi tenglamalar uchun ikkita haqiqiy va o‘zaro farqli xarakteristikalar elliptik tenglamalar uchun esa ikkita kompleks va o‘zaro farqli xarakteristikalar, parabolik turdagi tenglamar uchun esa, ikkita haqiqiy va o‘zaro ustma-ust tushadigan xarakteristikalar o‘tadi.
Bu hollarning har birini alohida-alohida qaraymiz.

1. 
   Giperbolik turdagi tenglamalar uchun va (1.1.11) va (1.1.12) tenglamalarning o‘ng tomoni haqiqiy va o‘zaro farqli. Bu tenglamalarning umumiy yechimlari va bo‘lib, haqiqiy xarakteristikalar oilasiga ega bo‘ladi. Faraz qilamiz, , . U vaqtda (1.1.8) tenglamani oldidagi koeffitsientga bo‘lib, ushbu ko‘rinishga keltiramiz:
   

(1.1.13)
bu yerda .
(1.1.8) tenglamaning (1.1.13) ko‘rinishi giperbolik turdagi tenglamaning kanonik ko‘rinishi deyiladi.
Ko‘pincha giperbolik turdagi tenglamalarning ikkinchi kanonik ko‘rinishidan foydalaniladi.
Ikkinchi kanonik ko‘rinishga keltirish uchun quyidagicha yangi almashtirish kiritishga to‘g‘ri keladi:
, yoki , (1.1.14)
bunda va lar yangi o‘zgaruvchilar. Natijada biz ushbu tengliklarga ega bo‘lamiz:
, , (1.1.15)
Bundan (1.1.9) tenglama quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:
(1.1.16)
bu yerda .

2. 
   Parabolik tenglamalar uchun bo‘lib, (1.1.11) va (1.1.12) tenglamalar ustma-ust tushadi va biz bitta umumiy integralga: ga ega bo‘lamiz. Bu holda , deb qabul qilamiz. Bu yerda funksiya funksiyaga bog‘liq bo‘lmagan ixtiyoriy funksiya. O‘zgaruvchilarni bunday qabul qilish natijasida
   

,
chunki tenglik tenglikdan olinadi. Bundan esa quyidagi kelib chiqadi

(1.1.8) tenglamani oldidagi koeffitsientga bo‘lish natijasida, parabolik turdagi tenglamlarning kanonik ko‘rinishini keltirib chikaramiz:
(1.1.17)
bu yerda .
Agar (1.1.17) tenglamaning o’ng tomonida qatnashmasa, u holda bu tenglama parametrga bog‘liq oddiy differensial tenglama bo‘lib koladi.

3. 
   Elliptik turdagi tenglamalar uchun bo‘lib, (1.1.11) va (1.1.12) tenglamalarning o’ng tomoni kompleks bo‘ladi. Faraz qilamiz (1.1.11) tenglamaning kompleks integrali bo‘lsin. U holda funksiyaga kushma funksiya (1.1.12) qo’shma tenglamaning umumiy integralini ifodalaydi. Kompleks o‘zgaruvchilarga o‘tamiz,bu uchun faraz qilamiz,
   

, .
Bu holda elliptik turdagi tenglama giperbolik turdagi tenglama qaysi ko‘rinishga kelgan bo‘lsa o’sha ko‘rinishga keladi.
Kompleks o‘zgaruvchilar bilan ish ko’rmaslik uchun, quyidagi yangi va o‘zgaruvchilarni kiritamiz:
, , chunki , .
Bu holda

( va x.k. ekanligidan foydalanamiz)
ya’ni va .
(1.1.8) tenglamani oldidagi koeffitsientga bo‘lib quyidagi tenglamani olamiz:
(1.1.18)
bu yerda
Shunday qilib, ifodaning ishorasiga qarab (1.1.5) tenglama quyidagi kanonik ko‘rinishlarga keltirilishi mumkin ekan.
(giperbolik turda), yoki .
(elliptik turda), .
(parabolik turda) .
1.1.9-Ta’rif. Agar nuqtada bo‘lsa, (1.1.5) tenglama giperbolik tipga qarashli, agar nuqtada bo‘lsa, berilgan (1.1.5) tenglama elliptik tipga qarashli, agar nuqtada bo‘lsa, parabolik tipga qarashli deyiladi.
Shunday qilib, ifodaning ishorasiga qarab (1.1.5) tenglama quyidagi kanonik ko‘rinishlarga keltirilishi mumkin ekan.
(giperbolik turda), yoki .
(elliptik turda), .
(parabolik turda) .
Ko‘p erkli o‘zgaruvchili ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama qanday kanonik ko‘tinishga keltiriladi. Shu masalani qarab chiqaylik. Ko‘p o‘zgaruvchili chiziqli ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama quyida berilgan bo‘lsin :
(1.1.19)
U holda ushbu tenglamaning xarakteristik ko‘rinishi kvadratik forma bo‘ladi:
.
Har bir fiksirlangan nuqtada kvadratik formani uncha qiyin bo‘lmagan affin almashtirishlari yordamida kanonik ko‘rinishga keltirish mumkin:
(1.1.20)
Bu yerda 1, -1, 0 qiymatlarni qabul qiladi. (1.1.20) dagi manfiy va nol koeffisiyentlar ni kanonik ko‘rinishga keltirsh usuliga bog‘liq emas. Shunga asosan (1.1.19) tenglama klassifikasiyalanadi:
1.1.8-Ta’rif. (1.1.19) chiziqli tenglama o‘zi aniqlangan qandaydir sohada elliptik, giperbolik yoki parabolik deyiladi, agar har bir nuqtada (1.1.20) dagi koeffisiyentlar mos ravishda: hammasi noldan farqli va bir xil ishorali; hammasi noldan farqli va har xil ishorali; yoki va nihoyat hech bo‘lmasi bittasi (hammasi emas) nol bo‘lsa.

2.