O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi buxoro davlat universiteti

Ishning hajmi va tuzilishi. Matematik fizika tenglamalarini o’rganishda soha asosan chegaralanmagan yoki, chegaralangan sohalar qaraladi, ularda qo’yilgan masalalar keng o’rganiladi, ammo yarim chegaralangan sohada qo’yilgan masalalar nisbatan kam o’rganiladi. Bitiruv malakaviy ishim yarim chegralangan sohada matematik fizika tenglamalariga qo’yilgan masalalar va ularni yechish uchun davom ettirish usulini o’rganishga bag‘ishlangan.
Bitiruv malakaviy ishi kirish qismidan, ikkita bob, xotima va foydalanilgan
adabiyotlar ro‘yxatidan iborat bo‘lib, jami 56 betni tashkil etadi.
I bob. Matematik fizika tenglamalari uchun asosiy masalalarning qo’yilishi.

1. 
   Xususiy hosilali differensial tenglamalar haqida umumiy ma’lumotlar.
   

Differensial tenglamalar deb, noma’lumi bir yoki bir necha o‘zgaruvchili funksiya va uning hosilalari qatnashgan tenglamalarga aytiladi.
Agar tenglamada noma’lum funksiaya ko‘p o‘zgaruvchining (o‘zgaruvchi 2 tadan kam bo‘lmasligi kerak) funksiyasi bo‘lsa, bunday tenglama xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.
Matematik fizikaning ko‘pchilik masalalari ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalarga keltiriladi. Bu tenglamalar, bizning asosiy o‘rganadigan mavzumiz bo‘lgani uchun, bularni sinflarga ajratish, turlarini aniqlash, kanonik ko‘rinishga keltirish bizning asosiy maqsadimiz hisoblanadi.
1.1.1-Ta’rif. erkli o‘zgaruvchining noma’lum funktsyasi va funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalari orasidagi bog‘lanishga, ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar deyiladi.
1.1.2-Ta’rif. fazoda ikkinchi tartibli xususiy hosilalari mavjud qandaydir funksiya berilgan bo‘lsin ( ). U holda
(1.1.1)
tenglama umumiy holda berilgan 2-tartibli xususiy hosilali tenglama deyiladi.
Bu yerda - qandaydir funksiya.
Xuddi shunga o‘xshash ko‘p erkli o‘zgaruvchili ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama quyidagi ko‘rinishda ifodalanadi:
(1.1.2)
1.1.3-Ta’rif. Xususiy hosilali differensial tenglama yuqori tartibli hosilalarga nisbatan chiziqli deyiladi, agarda u yuqori tartibli hosilalarga nisbatan ushbu ko‘rinishga ega bo‘lsa:
(1.1.3)
1.1.4-Ta’rif. Quyidagi ko‘rinishdagi tenglamalarga kvazichiziqli tenglamalar deyiladi:
(1.1.4)
1.1.5-Ta’rif. Tenglama chiziqli deyiladi, agarda u barcha xususiy hosilalarga va noma’lum funksiyaning o‘ziga nisbatan ham chiziqli bo‘lsa, ya’ni quyidagi ko‘rinishga ega bo‘lsa,
(1.1.5)
Ushbu tenglamada - (1.1.5) tenglamaning koeffitsiyentlari, - (1.1.5) tenglamaning ozod hadi deyiladi.
1.1.6-Ta’rif. Agar (1.1.5) tenglamada bo‘lsa, u holda (1.1.5) tenglama bir jinsli tenglama deyiladi. Aks holda, agar bo‘lsa, (1.1.5) tenglama bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglama deyiladi.

Biz (1.1.5) tenglamada va erkli o‘zgaruvchilarni teskari almashtirish natijasida, ya’ni

, (1.1.6)
berilgan chiziqli tenglamaga ekvivalent bo‘lgan va soddaroq ko‘rinishga ega bo‘lgan tenglamaga ega bo‘lishimiz mumkin. Haqiqatan va o‘zgaruvchilarni qanday tanlasak (1.1.5) tenglama soddaroq ko‘rinishga keladi degan savol tug‘iladi?
Buning uchun (1.1.5) tenglamada va erkli o‘zgaruvchilardan yangi va o‘zgaruvchilarga o‘tamiz:
(1.1.7)
(1.1.7) ifodalarni (1.1.5) tenglamaga keltirib qo‘yib, va o‘zgaruvchilarga nisbatan (1.1.5) tenglamaga ekvivalent bo‘lgan quyidagi tenglamani olamiz:
, (1.1.8)
bu yerda
,
,
.
- funksiya ikkinchi tartibli xususiy hosilalarga bog‘liq emas. Agar (1.1.5) tenglama chiziqli bo‘lganda, ya’ni ko‘rinishda bo‘lganda, funksiya quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

(1.1.8) tenglama sodda ko‘rinishga ega bo‘lishi uchun va o‘zgaruvchilarni shunday tanlaymizki, koeffitsient nolga teng bo‘lsin. Buning uchun ushbu birinchi tartibli
(1.1.9)
xususiy hosilali tenglamani qaraymiz. Faraz qilamiz, - funksiya bu tenglamaning qandaydir xususiy yechimi bo‘lsin. Agar deb qabul qilsak, u holda bo‘ladi.
Demak, yuqorida bayon qilingan masalaning yechimi yangi erkli o‘zgaruvchilarga o‘tish masalasi (1.1.9) tenglamani yechishga bog‘liq ekan.
Quyidagi lemmalarini isbotlaymiz.
1.1.1-Lemma. Agar funksiya ushbu
(1.1.9)
tenglamaning yechimi bo‘lsa, u holda munosabat, quyidagi oddiy
(1.1.10)
differensial tenglamaning umumiy yechimini ifodalaydi.
Isbot. funksiya (1.1.9) tenglamaning yechimi bo‘lgani uchun, shu tenglamani qanoatlantirishi kerak va
(1.1.11)
tenglik ayniyatni ifodalaydi. Bu tenglik va o‘zgaradigan sohaning barcha qiymatlarida o‘rinli. munosabat (1.1.10) tenglamaning umumiy yechimi bo‘la oladi. - oshkormas munosabatdan aniqlansin, ya’ni faraz qilaylik bo‘lsin, u holda oshkormas funksiyadan olingan to‘la differensial quyidagicha bo‘ladi:

bundan quyidagi tenglikni olamiz.
(1.1.12)
Bu tenglikda - erkli o‘zgaruvchi bo‘lmasdan va ga bog‘liq funksiyani ifodalaydi va uning qiymati ga teng bo‘ladi. Bundan esa funksiya (1.1.10) tenglamani qanoatlantirishi kelib chiqadi, chunki

kvadrat qavs ichidagi ifoda barcha va o‘zgaruvchilarning qiymatlarida nolga teng bo‘ladi. Shu bilan 1.1.1-lemma isbot bo‘ldi.


1.1.2-Lemma. Agar munosabat
(1.1.10)
oddiy differensial tenglamaning umumiy yechimi bo‘lsa, u holda funksiya (1.1.9) tenglamani qanoatlantiradi.
Isbot. Faraz qilamiz, munosabat (1.1.9) tenglamaning umumiy yechimini ifodalasin.
(1.1.9)
(1.1.9`) tenglama va ning barcha qiymatlarida o‘rinli ekanligini isbotlaymiz. Faraz qilamiz, nuqta sohaning qandaydir nuqtasi bo‘lsin. Agar biz bu ixtiyoriy nuqtada (1.1.9`) tenglama o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatsak, u holda nuqta ixtiyoriy bo‘lganligi sababli, bu tenglama ayniyatga aylanishi kelib chiqadi va funksiya (1.1.9`) tenglamaning yechimi bo‘ladi. nuqtadan (1.1.10) tenglamaning integral egri chizigini o‘tkazamiz va faraz qilamiz, va , u holda bo‘ladi. Bu egri chiziqning barcha nuqtalari uchun esa,

tenglikka ega bo‘lamiz. Bu tenglikda deb olsak,

ayniyatga ega bo‘lamiz. Shu bilan 1.1.2- lemma isbotlandi.