O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi buxoro davlat universiteti

Matematik fizika tenglamalari uchun asosiy masalalarning qo’yilishi.

Biror fizik jarayonni to‘la o‘rganish uchun, bu jarayonni tasvirlayotgan tenglamalardan tashqari, uning boshlang‘ich holatini (boshlang‘ich shartlarni) va jarayon sodir bo‘ladigan sohaning chegarasidagi holatini (chegaraviy shartlarni) berish zarurdir.
Matematik nuqtai nazardan bu narsa differensial tenglamalar yechimining yagona emasligi bilan bog‘liqdir.
Oddiy differensial tenglamalar kursidan ma’lumki, tartibli

tenglamaning yechimi ta ixtiyoriy o‘zgarmasga bog‘liqdir, ya’ni . Bu o‘zgarmaslarni aniqlash uchun noma’lum funksiya qo‘shimcha shartlarni qanoatlantirishi kerak.
Xususiy hosilali differensial tenglamalar uchun bu masala murakkabroqdir. Bu tenglamalarning yechimi ixtiyoriy o‘zgarmaslarga emas, balki ixtiyoriy funksiyalarga bog‘liq bo‘lib, bu funksiyalar soni tenglamalar tartibiga teng bo‘ladi. Ixtiyoriy funksiyalar argumentlarining soni yechim argumentlari sonidan bitta kam bo‘ladi.
Shunday qilib, aniq fizik jarayonni ifodolovchi yechimni ajratib olish uchun qo‘shimcha shartlarni berish zarurdir. Bunday qo‘shimcha shartlar boshlang‘ich va chegaraviy shartlardan iboratdir.
Jarayon sodir bo‘layotgan soha bo‘lib, uning chegarasi bo‘lsin. ni bo‘laklari silliq sirt hisoblaymiz.
Differensial tenglamalar uchun, asosan, 3 tipdagi masalalar bir biridan farq qiladi.

1. 
   Koshi masalasi. Bu masala, asosan giperbolik va parabolik tipdagi tenglamalar uchun qo‘yiladi; soha butun fazo bilan ustma ust tushadi, bu holda chegaraviy shartlar bo‘lmaydi.
   
2. 
   Chegaraviy masala elliptik tipdagi tenglamalar uchun qo‘yiladi; da chegaraviy shartlar beriladi, boshlang‘ich shartlar tabiiy bo‘lmaydi.
   
3. 
   Aralash masala giperbolik va parabolik tipdagi tenglamalar uchun qo‘yiladi; bo‘lib, boshlang‘ich va chegaraviy shartlar beriladi.
   

Matematik fizikaning juda ko‘p masalalarida yechimning mavjudligi, boshlang‘ich va chegaraviy masalalardagi berilgan funksiyalarning anchagina silliqligini talab qilish natijasida isbot qilinadi.
Matematik fizika tenglamalariga qo’yilgan Koshi masalasini va aralash masalalarini tekshirganimizda boshlang‘ich shartlar yetarli silliq bo‘lganda masalaning korrekt qo‘yilgan bo’ladi. Ammo fizik masalalarda hamma vaqt ham boshlang‘ich shartlardagi funksiyalar yetarli silliq bo‘lavermaydi. Agar boshlang‘ich shartlar uzluksiz va keraklicha marta differensiallanuvchi bo‘lmasa, mos boshlang‘ich va chegaraviy masalaning differensiallanuvchi yechimi mavjud bo‘lmasligi ham mumkin.
Bunday hollarda differensial tenglamalarning “umumlashgan yechimi” tushunchasini kiritish muhim ahamiyatga egadir.
Xususiy hosilalai differensila tenglamalar umumlashgan yechimlarining nazariyasi 1930 yillarda akdemik S.L.Sobolev tomonidan yaratilgan. Bunday yechimlar yoki regulayar yechimlar ketma-ketligining limiti sifatida, yoki integral ayniyatlar yordami bilan aniqlanadi. Misol tariqasida
(1.2.1)
tenglama uchun

Koshi masalasini tekshiramiz.
Agar funksiya kesmada uzluksiz differensiallanuvchi bo‘lsa, bu masalaning sohadagi yechimi
(1.2.2)
formula bilan aniqlanadi.
Endi funksiya kesmada uzluksiz, lekin differensiallanuvchi bo‘lmasin. Ma’lumki, bunday funksiyani segmentda uzluksiz hosilalarga ega bo‘lgan funksiyalar tekis yaqinlashuvchi ketma-ketligining limiti sifatida tasvirlash mumkin.
Bu holda (1.2.1) tenglama mos yechimlarining ketma-ketligi D sohada (1.2.2) funksiyaga tekis yaqinlashadi. Bu narsa esa (1.2.2) funksiyaning (1.2.1) tenglamaning umumlashgan ma’nodagi yechimi deb hisoblashga asos bo‘ladi.
1.2.1-Ta’rif. Agar biror differensial tenglamaning D sohada regulyar yechimlarining cheksiz ketma-ketligi mavjud bo‘lib, bu ketma-ketlik funksiyaga tekis yaqinlashsa, ya’ni
, ,
u holda funksiya D sohada berilgan tenglamaning umumlashgan yechimi deyiladi.
Ba’zan regulyar yechimlarning ketma-ketligi ga o‘rtacha yaqinlashganda ham, ya’ni
,
ni tekshirilayotgan differensial tenglamaning umumlashgan yechimi deyiladi.
To‘lqin tenglamasi uchun Koshi masalasining yechimini beruvchi formulalar bilan aniqlangan funksiya, masalan Dalamber formulasi bilan aniqlangan funksiya yoki Gursa masalasining yechimini beruvchi formula bilan ifodalangan funksiya berilgan va funksiyalar uzluksiz bo‘lgan holda mos ravishda Koshi va Gursa masalasining umumlashgan yechimi deyiladi.
Endi quyidagi aralash masalani qaraylik. Chetlari mustahkamlangan elastik membrana muvozanat holida (x,y) tekislikda egri chiziq bilan chegaralangan biror G soha bilan ustma-ust tushsin. U holda bu membrana tebranishlari
, (1.2.3)
to‘lqin tenglamasining

, (1.2.4)
boshlang‘ich shartlarni va
, , (1.2.5)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi bilan tasvirlanadi.
Bu masalaning yechimini ham, tor tebranishiga o‘xshash, Furye usuli bilan izlaymiz:
(1.2.6)
Bu ifoda (1.2.3) tenglamaning yechimi bo‘lishi uchun va funksiyalar mos ravishda
(1.2.7)
(1.2.8)
tenglamalarni qanoatlantirishi kerak, bu yerda
.
(1.2.8) tenglama Gelmgol’s tenglamasi deyiladi.
funksiyaning qiymatini (1.2.6) dan (1.2.4) chegaraviy shartga qo‘yib,
, , .
tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglik esa o‘z navbatida funksiya uchun
, (1.2.9)
chegaraviy shartlarga teng kuchlidir.
(1.2.8) Gelmgol’s tenglamasi uchun bir jinsli (1.2.9) Dirixle masalasi trivial bo‘lmagan yechimga ega bo‘lgan ning qiymati xos qiymat (son), bu songa mos bo‘lgan funksiya xos funksiya deyiladi.
Faraz qilaylik, G sohaning chegarasi bo‘lak-bo‘lak silliq Jordan egri chizig‘i bo‘lib, funksiya (1.2.8), (1.2.9) masalaning xos songa mos xos funksiyasi bo‘lsin.
Ushbu

ayniyatni G soha bo‘yicha integrallab va Gauss-Ostrogradskiy formulasini qo‘llab, (1.2.8) tenglama va (1.2.9) chegaraviy shartga asosan

tenglikni hosil qilamiz. Bundan xos son ekanligi kelib chiqadi.
Shuning uchun ham , - haqiqiy son, belgilashni kiritishimiz mumkin. Bunga asosan (1.2.7) tenglamaning umumiy yechimi, ma’lumki,
(1.2.10)
ko‘rinishga ega bo‘ladi, - ixtiyoriy haqiqiy o‘zgarmaslar.
(1.2.10) dan o‘z navbatida ning davrli davriy funksiya ekanligi kelib chiqadi.
G sohaga qo‘yilgan yetarli umumiy shartlarda (1.2.8), (1.2.9) masala xos sonlarining sanoqli to‘plami va bularga mos xos funksiyalari mavjud bo‘ladi.
xos songa mos (1.2.7) tenglamaning (1.2.10) yechimini , bunda va - ixtiyoriy haqiqiy o‘zgarmaslar, ko‘rinishda olib, (1.2.3) tenglama yechimlarining to‘plamini

ko‘rinishda yozib olish mumkin.
Agar va - va xos sonlarga mos xos funksiyalar bo‘lsa, u holda
, (1.2.11)
Buni isbotlash uchun ushbu

ayniyatdan foydalanamiz. Gauss-Ostrogradskiy formulasini qo‘llab,
, ,
,
tengliklarni e’tiborga olsak,

tenglikka ega bo‘lamiz. Bundan bo’lgani uchun (1.2.11) kelib chiqadi. (1.2.3), (1.2.4), (1.2.5) masalani yechimini
(1.2.12)
qatorning yig’indisi ko’rinishida qidiramiz.
funksiya (1.2.4) boshlang’ich shartlarni qanoatlantirishi uchun va koeffisiyentlar
,
shartlarni qanoatlantirishi zarur. Bu ikki tenklikni ga ko’paytirib, (1.2.11) tenglikni e’tiborga olsak, quyidagi formulalar kelib chiqadi:
,
,
bu yerda
.
son funksiyaning normasi.
To‘g‘ri burchakli membrananing tebranishida G soha , to‘g‘ri to‘rtburchakdan iborat bo‘lsin. Bunday membrananing kichik tebranishlari (1.2.3) tenglamaning (1.2.4) boshlang‘ich shartlarni va
, , , (1.2.13)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini topishdan iborat.
Endi elliptik tipdagi tenglamalarga qo’yilgan masalalarni qaraylik.
Parabolik turdagi tenglamalar o‘rganilganda nostansionar, ya’ni issiqlik tarqalish jarayoni vaqtga bog‘liq bo‘lgan maydonlar qaraladi.
Endi issiqlik tarqalish prossesini stasionar deb qaraymiz, ya’ni vaqt o‘tishi bilan maydondagi temperatura o‘garmaydi. Bunday maydonlar stasionar temperaturali maydonlar deyiladi.
a) Bir jinsli sterjenda issiqlik tarqalish jarayoni stasionar deb qaraylik, u holda issiqlik tarqalish tenglamasida , bo‘lib u holda tenglama
(a)
ko‘rinishga keladi. Agar sterjenda doim issiqlik manbaalari ta’sir etsa, tenglama
(b)
ko‘rinishda bo‘ladi.
b) Bir jinsli membranaga issiqlik tarqalish jarayoni stasionar deb qaraylik, u holda issiqlik tarqalish tenglamasi
(a1)
ko‘rinishga keladi. Agar membranaga doim issiqlik manbaalari ta’sir etsa, tenglama
(b1)
ko‘rinishda bo‘ladi.
d) Bir jinsli qattiq jism uch o‘lchovli fazoda qaralayotgan bo‘lib, issiqlik tarqalish jarayoni stasionar bo‘lsa, u holda issiqlik tarqalish tenglamasi
(a2)
ko‘rinishga keladi, agar unga doim issiqlik manbaalari ta’sir etsa, tenglama
(b2)
ko‘rinishda bo‘ladi.
Yuqorida keltirilgan (a), (a1), (a2) tenglamalar mos ravishda bir, ikki, uch o‘lchovli Laplas tenglamalari, (b), (b1), (b2) tenglamalar mos ravishda bir, ikki, uch o‘lchovli Puasson tenglamalari deyiladi.
S sirt bilan chegaralangan qandaydir D sohani qaraylik. D soha ichida u(x,y,z) temperaturaning stasionar tarqalish masalasi quyidagicha qo‘yiladi:
D soha ichida tenglamani va quyidagi chegaraviy shartlardan birtasini:
I. , S da (birinchi chegaraviy masala)
II. , S da (ikkinchi chegaraviy masala)
III. , S da (uchinchi chegaraviy masala)
qanoatlantiruvchi u(x,y,z) funksiya topilsin.
Laplas tenglamasiga qo‘yilgan 1-chegaraviy masala Dirixle masalasi, 2-chegaraviy masala – Neyman masalasi, 3-chegaraviy masala Puankare masalasi deyiladi.
Ko’rib turganimizdek, matematik fizika tenglamalariga qo’yilgan masalalar chegralangan yoki chegralanmagan sohada qo’yilgan va ularni yechish usullari keng o’rganilgan. Quyidagi masalalarda soha chegaralanmagan va chegaralangan hollarni misollarda qaraymiz.
Masala 1.2.1 Quyidagi Koshi masalasini yeching: