O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi buxoro davlat universiteti

u|_x=0=0, u|_x=l=t,
u|_t=0=0, u_t|_t=0= .
Yechish. Chegaraviy shartlar noldan farqli bo‘lgni uchun, yechimni ko‘rinishda qidaramiz, bu yerda , . U holda , yechim esa
(*)
ko‘rinishda bo‘ladi. Yechimdagi funksiya quyidagi masalani qanoatlantiradi:
v_tt=v_xx+v+ , (0
v|_x=0=0, v|_x=l=0,
v|_t=0=0, v_t|_t=0=0.
Berilgan tenglamaning - xos sonlarini va xos funksiyalarini aniqlaymiz. Shunga asosan yechimni quyidagi ko‘rinishda qidiramiz:
.
Tenglamaning ozod hadi funksiyani Furye qatoriga yoyamiz:
.
- Furye koeffisiyentlarini quyidagi formula yordamida aniqlaymiz: .
Integralni bo‘laklab integralymiz. Natijada
.
Natijada noma’lum funksiya uchun quyidagi Koshi masalasini olamiz:

Bu masalani yechishda, dastlab, tenglamaning yechimini quyidagi ko‘rinishda qidiring:
,
bu yerda - berilgan tenglamaga mos bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi, - berilgan tenglamaning xususiy yechimi bo‘lib, o‘ng tomonga qarab tanlanishi mumkin, bizning holimizda,

ko‘rinishda qidirish mumkin.
Hosil bo’lgan masalani yechib, natijada masalaning yechimini aniqlaymiz:
.
funksiyani (*) ga etib qo‘yib, berilgan masalaning yechimini olamiz, ya’ni:
.
Masala 1.2.5 Qisqacha bir jinsli ingichka sterjenda issiqlik tarqalish masalasini ko‘rib chiqamiz, uning yon sirti issiqlik o‘tkazmaydi, x=0 va x=l chegaralarida esa nollik temperatura. Shu masala uchun Furye yoki o‘zgaruvchilarni ajratish usulini bayon qilamiz. Bu masala quyidagi tenglamaga keladi:
.
Boshlang‘ich shartlar:

Chegaraviy shartlar:
.
Dastlab, berilgan tenglamaning xususiy yechimlarini quyidagi korinishda qidiramiz:

bu funksiyalr aynan nolga teng emas va berilgan chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin.
Yuqoridagi funksiyani tenglama qo‘yib quyidagi oddiy differensial tenglamalarga kelamiz:
, ,
bu yerda .
Chegaraviy shartlar quyidagicha bo‘ladi:

Natijada biz Shturm-Liuvill masalasiga kelamiz.
Bu masalaning xos sonlari:

Va bu xos sonlarga quyidagi xos funksiyalar mos keladi:
.
bo‘lganda funksiya uchun tenglama quyidagi umumiy yechimga ega:
,
shuning uchun

funksiya har qanday uchun berilgan tenglamani va berilgan chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.
Masalaning yechimini qator ko‘rinishida qidiramiz:

Agar bu qator tekis yaqunlashuvchii bo‘lib, uni t had bo‘yicha bir marta x bo‘yicha ikki marta differensiallash mumkin bo‘lsa, u vaqtda qator yig‘indisi berilgan tenglamani va chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.
doimiy koeffisiyentlarni shunday aniqlaymizki qator yig‘indisi boshlang‘ich shartlarni qanoatlantirsin, quyidagi tengliklarga kelamiz:

Bu formula funksiyaning (0,l) intervalda sinuslar bo‘yicha Furye yoyilmasini beradi. Bu yoyilmaning koeffisiyentlari quyidagi formula bilan topiladi:

Quyidagi masalani Furye usulida yeching.
u_t=u_xx+u, 0
u|_x=0=0, u|_x=l=0,
u|_t=0=13x.
Dastlab, tenglamaning xususiy yechimlarini quyidagi korinishda qidiramiz:
,
bu funksiyalr aynan nolga teng emas va chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin.
Yuqoridagi funksiyani masaladagi tenglamaga qo‘yib quyidagi oddiy differensial tenglamalarga kelamiz:
,
,
bu yerda .
Chegaraviy shartlar quyidagicha bo‘ladi:
.
Natijada biz Shturm-Liuvill masalasiga kelamiz.
Bu masalaning xos sonlari:

Va bu xos sonlarga quyidagi xos funksiyalar mos keladi:
.
bo‘lganda funksiyaga nisbatan tenglama quyidagi umumiy yechimga ega:
,
shuning uchun

funksiya har qanday uchun berilgan masalani qanoatlantiradi.
Berilgan masalaning yechimini qator ko‘rinishida qidiramiz:
.
doimiy koeffisiyentlarni shunday aniqlaymizki qator yig‘indisi boshlang‘ich shartlarni qanoatlantirsin, quyidagi tenglikga kelamiz:
,
bu tenglik funksiyaning (0,l) intervalda sinuslar bo‘yicha Furye yoyilmasini beradi. Bu yoyilmaning koeffisiyentlari quyidagi formula bilan topiladi:

koeffisiyentlarni aniqlash uchun integralni bo‘laklab integrallaymiz, natijada: .
U vaqtda izlanayotgan yechim quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
.