O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi buxoro davlat universiteti

2.1.1- Lemma. Agar da aniqlangan funksiyalar biror nuqtaga nisbatan toq bo’lsa

masalaning yechimi nuqtada nolga teng bo’ladi.
2.1.2- Lemma. Agar da aniqlangan funksiyalar biror nuqtaga nisbatan juft bo’lsa, (A),(B) masala yechimining x bo’yicha hosilasi nuqtada nolga teng bo’ladi.
Bu lemmalarning isboti (A),(B) masala yechimini aniqlovchi

Dalamber formulasidan kelib chiqadi.
2.1.1- lemmadan foydalanib (2.1.1) tenglamaning (2.1.2) va
(2.1.6)
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimni topish mumkin.
Haqiqatdan ham, bu yerda funksiyalarni oraliqqa toq davom ettirib,

belgilashlar kiritsak (D) formula bilan aniqlangan u(x,t) funksiya

sohada (A) , (B) masalaning yechimi bo’ladi.
2.1.1-lemmaga asosan, bu funksiya uchun u(0,t)=0 tenglik bajariladi. Bundan tashqari t=0 va x>0 da tengliklar hosil bo’ladi.
Demak (D) formula funksiyalarga qaytsak (2.1.1), (2.1.2), (2.1.3) masalaning yechimi.
(E)
formula bilan aniqlanishi kelib chiqadi.
Soddalik uchun (2.1.1) tenglama uchun yarim chegaralangan sohada qo’yilgan quyidagi masalalarni, ya’ni sohada (2.1.1) tenglamaning (I chegaraviy shart), yoki (II chegaraviy shart), yoki (III chegaraviy shart), chegaraviy va (2.1.2) boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyani topish masalasi
yarim chegaralangan sohada berilgan masala ham bo’ladi.
(2.1.1), (2.1.2), (2.1.3) masalalarni yechish uchun davom ettirish usulidan foydalaniladi. Bunda funksiya yoki juft, yoki toq funksiyaga davom ettiriladi. Agar boshlang’ich berilgan funksiyalar nuqtaga nisbatan toq funksiyalar bo’lsa, , juft funksiyalar bo’lsa, bo’ladi. Chegaraviy masalalarni shartga qarab yoki toq yoki juft funksiyaga davom ettirib yechamiz. Yechishda Dalamber formulasidan foydalanamiz.
Shunga o’xshash issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasiga yarim chegaralangan sohada qo’yilgan masalalarni qaraylik. Quyidagi Koshi masalasi berilgan bo’lsin:
, , , (2.1.7)
. (2.1.8)
Yarim chegaralangan sohada issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasiga qo’yilgan masalalarni yechish uchun quyidagi lemmalar o’rinli.
2.1.3-Lemma. Agar aniqlangan funksiya nuqtaga nisbatan toq funksiya bo’lsa, u holda (2.1.7), (2.1.8)masalaning yechimi nuqtada nolga teng, ya’ni .
Isbot. Ushbu lemmaning isbotida (2.1.7), (2.1.8) masalaning yechimi beruvchi Puasson formulasidan foydalanamiz:
. (2.1.9)
nuqtada funksiyaning qiymatini aniqlaymiz:

chunki, lemma shartiga ko’ra, - toq funksiya, - juft funksiya. Toq va juft funksiyalar ko’paytmasi toq funksiya, aniq integralning xossalaridan biri: ya’ni simmetrik oraliq bo’yichia toq funksiyadan olingan integral nolga teng degan xossasiga ko’ra bizning integralimiz ham nolga teng.
Lemma isbotlandi.
2.1.4-Lemma. Agar aniqlangan funksiya nuqtaga nisbatan juft funksiya bo’lsa, u holda (2.1.7), (2.1.8) masalaning yechimidan bo’yicha olingan hosila nuqtada nolga teng, ya’ni .
Ushbu lemma ham yuqoridagi lemma kabi isbotlanadi.
Lemmalardan yarim chegaralangan sohada parabolik tipdagi tenglamalarga qo’yilgan masalalarni yechishda foydalanish mumkin.