O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi buxoro davlat universiteti

2.2.3-Masala. Yechim chegaralangan sohada berilgan issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasiga qo’yilgan quyidagi masalani qaraylik:


<sub>Yechish: Yechimni quyidagi ko’rinishda izlaymiz.




.
Natijada quyidagicha masalani hosil qilamiz.</sub>





Puasson formulasi

ya’ni ni toq funksiyaga davom ettiramiz.
da to’liq aniqlangani uchun quyidagi Koshi masalasini qaraymiz.

Puasson formulasiga asosan masalaning yechimi




Masala yechildi.


2.2.4- Masala. sohada bir jinsli bo’lmagan

tenglamaning

bir jinsli shartni qanoatlantiruvchi yechimni topish masalasini qaraylik.
Agar va funksiyalar sohada aniqlanganda edi bu masalaning yechimi.

bo’lar edi. Demak yechim x<0 qiymatlarda qiymatlarda aniqlash uchun tabiiyki , f(x,t) funksiya x<0 da ham aniqlash zarur. Shu maqsadda ushbu lemmani keltiramiz.

2.2.1- Lemma. Agar yuqoridagi integralda f(x,t) funksiya x o’zgaruvchiga nisbatan toq bo’lsa, ; juft bo’lsa bo’ladi.
Haqiqatdan ham, agar f(x,t) funksiya x=0 nuqtaga nisbatan:

1. 
   Toq bo’lsa (D) dan
   
2. 
   Juft bo’lsa ,
   

Kelib chiqishini tekshirib ko’rish oson. Demak berilgan masala yechimini yechish uchun f(x,t) funksiyani x o’zgaruvchi bo’yicha x=0 nuqtaga nisbatan toq davom ettiramiz.

va

Koshi masalasini qaraymiz. Uning yechimi esa

Quyidagi hollarni qaraymiz.
1)
Unda _{, bo’lib}

2) Bu holda



Shu sabali



va nihoyat,1) va 2) hollarni birlashtirib yozsak

_{Bu yerda
2.2.5-Masala.}
Chekli (0,l) oraliq uchun aralash masalalar quydagicha bayon qilinadi:
(*)
Tenglamaning sohada aniqlangan, uzluksiz va
(2.2.8)
Chegaraviy hamda
(2.2.9)
Boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechim topilsin. (*) Tenlamaning umumiy yechimi
(2.2.10)
ko’rinishda bo’ladi. (3) ni (2) shartga qo’yib quydagiga ega bo’lamiz:

(2.2.11) va (2.2.12) formulalardagi funksiyalar oraliqda aniqlangan bo’lgani uchun funksiyalar ham shu oraliqda aniqlangan bo’ladi.
Demak, (2.2.10) formuladan foydalanish uchun funksiyalarni yoki to’la ekvivalent bo’lgani sababli funksiyalarni 0Tengliklarni hosil qilamiz. Bunda orqali belgilab olsak,

tenliklarga ega bo’lamiz.
Agar (2.2.13) da bo’lsa, u holda funksiya oraliqda esa oraliqdad aniqlanadi. Shuningdek,

Yani funksiyalar davri teng
Shunday qilib, funksiyalar barcha haqiqiy lar uchun aniqlanadi. (2.2.9) boshlang’ich shartlarga ko’ra,

Bulardan darhol

Tenglik kelib chiqadi. Bu formulalar shuni ko’rsatadiki funksiyalar oraliqdan oraliqqa toqlik qonuni bo’yicha davr bilan davom ettiriladi.
Shuni takidlash lozimki,

yechimning ikkinchi tartibgacha hosilalari bilan uzluksiz bo’lishini taminlash uchun davom ettirilgan funksiyalar mos ravishda
<sub>sinflarga tegishli bo’lib, muvofiqlik

shartlarni qanoatlantirishi zarurdir.
2.2.6-Masala:

tenglamaning
sohada aniqlangan, uzluksiz va</sub>

chegaraviy hamda

boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini davom ettirish usulida toping.