O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi buxoro davlat universiteti

xu_xx-u_yy+ u_x=0 ;
.
Yechish. Dastlab, tenglamani kanonik ko‘rinishga keltiramiz. ifodaninig qiymatini hisoblaylik. , bo‘lgani uchun tenglama giperbolik. Yangi va o‘zgaruvchilkarga o‘tamiz :
,
almashtirish yordamida berilgan tenglamani kanonik ko‘rinishga keltiramiz. Kanonik ko‘rinishi quyidagicha:
.
Berilgan tenglamaninig umumiy yechimi :
.
Bu yechimlar orasidan Koshi shartlarini qanoatlantiruvchi yechimni topamiz. Bu uchun quyidagi tenglamalar sistemasini yechamiz :
.
Natijada yechimlarni olamiz, shu natijalarni keltirb umumiy yechimga qo‘ysak, Koshi masalasining yechimini olamiz :
.
Masala 1.2.2 sinfdan shunday funksiya topilsinki, bu funksiya da

tenglamani va quyidagi boshlang‘ich shartlarni qanoatlantirsin:

Bu yerda - berilgan funksiyalar.
Bu masalaga Koshining klassik masalasi deyiladi.
Agar quyidagi shartlar bajarilsa,
, , n=1;
, , n=2,3;
u vaqtda Koshining klassik masalasining yechimi mavjud, yagona va quyidagi formulalar orqali topiladi:
Dalamber formulasi bilan, agar n=1 bo‘lsa:
. (1.2.14)
Puasson formulasi bilan, agar n=2 bo‘lsa:
. (1.2.15)
Kirxgof formulasi bilan, agar n=3 bo‘lsa:
. (1.2.16)
bo‘lganda ushbu formulalarning o‘rniga quyidagi formuladan ham foydalansa bo‘ladi:
(1.2.17)
bu yerda - Laplas operatori bo‘lib, marta mos ravishda - funksiyalarga qo‘llanilgan.

Masala chegaralanmagan sohada berilgan. Uni (1.2.17) formuladan foydalanib yechamiz.
Yechish. funksiyaga keraklicha marta operatorni qo‘llaymiz: ;
.
Laplas operatorini keyingi qo‘llashlarda ham nol chiqadi, demak hisoblashni shu yerda to‘xtatamiz.
Xuddi shu hisoblashlarni funksiyalr uchun ham bajaramiz: ;
;
;
.
Hisoblashlarni (1.2.17) formulaga etib qo‘yamiz, natijada:

yechimni olamiz.
Masala 1.2.3 sinfdan shunday funksiya topilsinki, bu funksiya , da

tenglamani va quyidagi boshlang‘ich shartni qanoatlantirsin:

bu yerda - berilgan funksiyalar.
Bu masalaga issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasi uchun Koshining klassik masalasi deyiladi.
Agar funksiya va uning barcha ikkinchi tartibigacha hosilalari har bir sohada chegaralangan, funksiya chegaralangan bo‘lsa, u vaqtda Koshining klassik masalasining yechimi mavjud, yagona va quyidagi Puasson formulasi orqali topiladi:
. (1.2.18)
Quyidagi formuladan ham foydalansa bo‘ladi:
. (1.2.19)
Endi yuqoridagi formulalardan foydalanib, chegaralanmagan sohada berilgan quyidagi Koshi masalasini yechamiz:
u_t=4u_xx+t+e^t,
u|_t=0=2.
Yechish. Ushbu misolni yechish uchun (1.2.18) formuladan foydalanamiz. Bizning holimizda , , - berilganlar. Shu qiymatlarni (1.2.18) formulaga etib qo‘yamiz:
, (1.2.20)
bu yerda va .
Integralarni alohida-alohida hisoblaymiz.

demak, .
- bu integralni hisoblashda ham yuqoridagi kabi fikr yuritib, hisoblashlarni bajaramiz va quyidagi natijani olamiz:
.
Ikkala integralni etib (1.2.20) ga qo‘yamiz, natijada quyidagi yechimni olamiz:
.
Masala 1.2.4 Uchlari x=0 va x=l nuqtalarda mahkamlangan tor tebtanishi tenglamasi masalasi uchun Fur’ye yoki o‘zgaruvchilarni ajratish usulini bayon qilamiz. Bu masala quyidagi tenglamaga keladi:

Boshlang‘ich shartlar:

Chegaraviy shartlar:

Dastlab, tenglamaning xususiy yechimlarini quyidagi ko’rinishda qidiramiz:
,
bu funksiyalar aynan nolga teng emas va chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin.
Yuqoridagi funksiyani tenglama qo‘yib quyidagi oddiy differensial tenglamalarga kelamiz:
, ,
bu yerda .
Chegaraviy shartlar quyidagicha bo‘ladi:
.
Natijada biz Shturm-Liuvill masalasiga kelamiz.
Bu masalaning xos sonlari:

Va bu xos sonlarga quyidagi xos funksiyalar mos keladi:
.
bo‘lganda (5) tenglama quyidagi umumiy yechimga ega:
,
shuning uchun

funksiya har qanday va uchun berilgan tenglamani va chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.
Masalaning yechimini qator ko‘rinishida qidiramiz:

Agar bu qator tekis yaqunlashuvchii bo‘lib, uni hadma-had ikki marta differensiallash mumkin bo‘lsa, u vaqtda qator yig‘indisi berilgan tenglamani va berilgan chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.
va doimiy koeffisiyentlarni shunday aniqlaymizki qator yig‘indisi berilgan boshlang‘ich shartlarni qanoatlantirsin, quyidagi tengliklarga kelamiz: ,
,
ushbu formulalar va funksiyalarning (0,l) intervalda sinuslar bo‘yicha Furye yoyilmasini beradi. Bu yoyilmalarning koeffisiyentlari quyidagi formulalar bilan topiladi:


Quyidagi chegaralangan sohada berilgan masalani Fur’ye usulida yechamiz.
u_tt=u_xx+u, (0