Auditoriya topshirig’i. sohada bir jinsli tor tebranish tenglamasi uchun quyidagi aralash masalalar yechilsin:
1.
2.
3.
Mustaqil yechish uchun misollar. sohada bir jinsli tor tebranish tenglamasi uchun quyidagi aralash masalalar yechilsin:
Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun birinchi chegaraviy masalani Fur’e metodi bilan yechish.
Tenglamani chegaraviy shartlarni va boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish talab qilinsin. Bu yerda boshlang’ich paytda sterjen temperaturasi funksiya orqali ifodalanadi. Butun tajriba davomida sterjen chekkalarida nol temperatura saqlanadi deb yuritiladi. (1) tenglamaning noldan farqli yechimini
ko’rinishda izlaymiz. (2) chegaraviy shartida barcha uchun ya`ni Aks holda bo’lib, shartimizga zid bo’ladi. (4) ni (1) ga qo’yib, noma`lumlarni ajratib
ni hosil qilamiz, ya`ni
bu oddiy differensial tenglamani umumiy yechimini topamiz
va larni (5) shartdan foydalanib topamiz.
Birinchisidan ikkinchisidan ekanligi kelib chiqadi. chunki, aks holda bo’lib, bo’lib qoladi. Bu shartga zid. Shuning uchun bo’lishi kerak, bundan, xos qiymatlarini topamiz. Ularga mos keladigan xos funksiyalar
tenglik bilan ifodalanadi. Topilgan ning ifodasini (8) ga qo’ysak,
(9) va (10) larni (4) ga qo’yib (1) tenglamani (2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini hosil qilamiz
bu yerda
(1) tenglama chiziqli va bir jinsli bo’lganligi uchun yechimlarning yig’indisi ham yechim bo’ladi
o’zgarmasni aniqlash uchun boshlang’ich (3) shartdan foydalanamiz.
bo’lganda,
bo’lib, funksiyani intervalda Fur`e qatoriga yoyilmasi mavjud deb faraz qilsak,
ga teng bo’ladi.
Shunday qilib, qo’yilgan masalaning yechimi
ko’rinishda ekanligini aniqladik. Bu yerda (14) formula yordamida topiladi.
Misol tenglamani chegaraviy va boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
Yechish:
Misol: sohada tenglamaning boshlang’ich va chrgaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.
Yechish:
Ikkinchi integralda almashtirish bajarib, ba`zi hisob kitoblardan keyin, ni bilan almashtirib, ushbu tenglikka ega bo’lamiz
Bo’llaklab integrallash natijasida
Ga ega bo’lamiz. Topilgan ni qiymatini (15) ga qo’yib, masala yechimini hosil qilamiz:
Agar, bo’lsa,
Agar, bo’lsa, va bo’lganligi uchun, yechimni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:
