O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

2.3.1-natija. G/N faktor gruppaning barcha qism gruppalari K/N ko‘rinishida bo‘ladi, bu yerda N ⊆ K va K ≤ G. Bundan tashqari, K/N a G/N bo‘lishi uchun K a G bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Aytaylik, g : G → G/N tabiiy gomomorfizm bo‘lsin, ya’ni a ∈ G uchun g(a) = aN. U holda Kerg = N bo‘lib, 2.3.7-teoremaga ko‘ra G gruppaning N qism gruppasini o‘z ichiga oluvchi qism gruppalar oilasi bilan G/N to‘plamning qism gruppalari oilasi o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli g^∗ moslik mavjud. Ya’ni ixtiyoriy K ⊆ G/N qism gruppa uchun H ⊆ G, qism gruppa topilib,
K = g^∗(H) = {g(a) | a ∈ K} = K/N.

Teoremaning ikkinchi qismi esa 2.3.7-teoremadan to‘g‘ridan to‘g‘ri kelib chiqadi.

Quyidagi misolda moslik teoremasining izohini keltiramiz.
2.3.1-misol. Aytaylik, (Z, +) va (Z₁₂, +₁₂) gruppalar berilgan bo‘lib, f : Z → Z₁₂
epimorfizm f (n) = n kabi aniqlangan bo‘lsin. U holda Kerf = ⟨12⟩ bo‘lib,
Ω(Z, Kerf ) = {⟨12⟩, ⟨6⟩, ⟨4⟩, ⟨3⟩, ⟨2⟩, Z},

va
Ω(Z₁₂) = {⟨0⟩, ⟨6⟩, ⟨4⟩, ⟨3⟩, ⟨2⟩, Z}

bo‘ladi. f ^∗ : Ω(Z, Kerf ) → Ω(Z₁₂) akslantirish esa, quyidagicha aniqlanadi:
f ^∗(⟨12⟩) = ⟨0⟩, f ^∗(⟨3⟩) = ⟨3⟩,
f ^∗(⟨2⟩) = ⟨2⟩, f ^∗(⟨6⟩) = ⟨6⟩, f ^∗(⟨4⟩) = ⟨4⟩, f ^∗(Z) = Z₁₂.
Endi biz G gruppani o‘zini o‘ziga o‘tkazuvchi izomorfizmlarni, ya’ni avtomor- fizmlarni qaraymiz. Ma’lumki, avtomorfizmlar to‘plami Aut(G) kabi belgilanib, unda superpozitsiya amali binar amal bo‘ladi. Bundan tashqari, ∀f, g, h ∈ Aut(G) uchun
(f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h)
tenglik o‘rinli, ya’ni superpozitsiya amali uchun assosiativlik bajariladi. Ayniy akslantirish i_G ∈ Aut(G) esa birlik element vazifasini bajarsa, ∀f ∈ Aut(G) uchun f ⁻¹ avtomorfizm teskari element bo‘ladi. Demak, (Aut(G), ◦) gruppa bo‘lar ekan. Endi ushbu avtomorfizmlar gruppasining qism gruppasi bo‘ladigan ichki avto- morfizmlar tushunchasini kiritamiz. Ixtiyoriy a ∈ G element uchun θ_a : G → G

akslantirishni
θ_a(b) = a · b · a⁻¹, ∀b ∈ G
kabi aniqlaymiz. Ta’kidlash joizki, ushbu θ_a akslantirish avtomorfizm bo‘ladi.
Haqiqatdan ham, θ_a(c ·d) = a ·(c ·d)·a⁻¹ = (a ·c ·a⁻¹)·(a ·d ·a⁻¹) = θ_a(c)◦ θ_a(d) tenglikdan uning gomomorfizm ekanligi kelib chiqadi. Ixtiyoriy c ∈ G uchun c = θ_a(a⁻¹ · c · a) tenglikdan θ_a akslantirishning syurektiv ekanligi,
θ_a(c) = θ_a(d) ⇒ a · c · a⁻¹ = a · d · a⁻¹ ⇒ c = d
munosabatdan esa, inyektivligi kelib chiqadi. Demak, θ_a ∈ Aut(G).