O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

2.4.1-ta’rif. Agar G gruppada H va K normal qism gruppalar berilgan bo‘lib, G = H · K va H ∩ K = {e} bo‘lsa, u holda G gruppa ushbu normal qism grup- palarning ichki to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida ifodalanadi deyiladi.
Ta’kidlash joizki, agar gruppaning ixtiyoriy H va K normal qism gruppalari uchun H ∩ K = {e} shart o‘rinli bo‘lsa, u holda ∀h ∈ H va ∀k ∈ K uchun h · k = k · h bo‘ladi. Haqiqatdan ham, H va K larning normalligidan foydalansak, (k⁻¹ · h · k) · h⁻¹ = k⁻¹ · (h · k · h⁻¹) element H ∩ K gruppaga tegishli ekanligi kelib chiqadi. Demak, (k⁻¹ · h · k) · h⁻¹ = e, bundan esa h · k = k · h hosil bo‘ladi.
Bundan tashqari, G gruppa H va K normal qism gruppalarning ichki to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida ifodalansa, ixtiyoriy g ∈ G elementni yagona ravishda g = h · k, h ∈ H, k ∈ K ko‘rinishida ifodalash mumkin. Ushbu ifodaning mavjudligi ta’rifdan bevosita kelib chiqsa, uning yagonaligi esa quyidagi mulo- hazalardan kelib chiqadi. Faraz qilaylik, g = h · k = h₁ · k₁, h, h₁ ∈ H, k, k₁ ∈ K bo‘lsin, u holda h⁻₁ ¹ · h, k₁⁻¹ · k ∈ H ∩ K = {e} ekanligidan h₁ = h va k₁ = k kelib chiqadi.
Ushbu mulohazalardan foydalanib, G gruppa o‘zining bir nechta H₁, H₂, . . . , H_n normal qism gruppalarining ichki to‘g‘ri ko‘paytmasi shakl- idagi yoyilishi ta’rifini quyidagicha kiritamiz.
2.4.2-ta’rif. Agar G gruppaning ixtiyoriy g ∈ G elementini h_i ∈ H_i(H_i a G) ele- mentlarning ko‘paytmasi ko‘rinishida g = h₁·h₂· . . . ·h_n yagona ravishda ifodalash mumkin bo‘lsa, u holda G gruppa H₁, H₂, . . . , H_n normal qism gruppalarining ichki to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida ifodalanadi deyiladi.

T
Ta’kidlash joizki, G gruppa H₁, H₂, . . . , H_n normal qism gruppalarining ichki to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida ifodalanishi uchun G = N₁ · N₂ · . . . · N_n va N_i (N₁ . . . N_i−1N_i+1 . . . N_n) = {e} bo‘lishi zarur va yetarli.

Endi tashqi va ichki to‘g‘ri ko‘paytmalar orasidagi bog‘lanishni kelti- ramiz. Agar G gruppa H₁, H₂, . . . , H_n normal qism gruppalarning ichki to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida ifodalansa, u holda G gruppani ushbu normal qism grup- palarning tashqi to‘g‘ri ko‘paytmasi sifatida qarash mumkin. Ya’ni quyidagi teo- rema o‘rinli.