O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

3.1.4-teorema. Ixtiyoriy chekli abel gruppasi siklik gruppalarning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalanadi. Agar G chekli abel gruppasi uchun
|G| = p^k1 p^k2 . . . p^kr

bo‘lsa, u holda

1. 
   
   2 r
   

1 ≤ c_1,1 ≤ c_1,2 ≤ · · · ≤ c_1,t1 , c_1,1 + c_1,2 + · · · + c_1,t1 = k₁,

1 ≤ c_2,1 ≤ c_2,2 ≤ · · · ≤ c_2,t2 , c_2,1 + c_2,2 + · · · + c_2,t2 = k₂,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 ≤ c_r,1 ≤ c_r,2 ≤ · · · ≤ c_r,tr , c_r,1 + c_r,2 + · · · + c_r,tr = k_r
shartni qanoatlantiruvchi

M
G =
i=1
t<sub>i

M</sub>
j=1


^Gi,j
, bu yerda G_i,j = ⟨a_i,j⟩, ord(a_i,j) = p^ci,j

i
yoyilma bir qiymatli aniqlanadi.

Isbot. Ixtiyoriy chekli gruppa primar komponentalarning yig‘indisi shaklida

ifodalanganligi uchun |G| = p^k1 p^k2 . . . p^kr
gruppani

1 2 r
r

i
G = ^M G_i, |G_i| = p^ki

i=1
kabi ifodalash mumkin. 3.1.3-teoremaga ko‘ra esa, G_i gruppalar siklik gruppalar- ning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalanadi. Demak, G_i,j siklik gruppalar topilib,

G_i =

G_i,j bo‘ladi, bu yerda
_Lt_i

j=1
Y

t_i
p^ki = |G_i,j|, 1 ≤ i ≤ r.
j=1

i

_L
Demak, ord(a_i,j) = |G_i,j| = p^ci,j
elementlar topilib, G_i,j = ⟨a_i,j⟩ bo‘ladi, ya’ni

L
r

G =
i=1
t_i


j=1
^Gi,j ^.

L

_L

Endi ushbu yoyilmaning teoremada berilgan shartlar asosida yagona ekan-

ligini ko‘rsatamiz. Faraz qilaylik, G =

|H_i,j| = p^di,j va
_r′ i=1
_t′_i


j=1
^Hi,j
yoyilma mavjud bo‘lib,

1 ≤ d_1,1 ≤ d_1,2 ≤ · · · ≤ d_1,t^′₁ , d_1,1 + d_1,2 + · · · + d_1,t^′₁ = k₁,

1 ≤ d_2,1 ≤ d_2,2 ≤ · · · ≤ d_2,t^′₂ , d_2,1 + d_2,2 + · · · + d_2,t^′₂ = k₂,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 ≤ d_r^′_,1 ≤ d_r^′_,2 ≤ · · · ≤ d_r^′_,tr^′ _′ , d_r^′_,1 + d_r^′_,2 + · · · + d_r^′_,t^′_r′ = k_r^′
bo‘lsin. U holda har bir p_i tub soni uchun primar komponentalarni alohida hisoblasak, r ta G(p_i) komponentalar hosil bo‘lib, r^′ = r ekanligi kelib chiqadi. Bundan tashqari,
^ti ^t′i
G(p_i) = ^M G_i,j = ^M H_i,j

ekanligidan

j=1
j=1

1 ≤ c_i,1 ≤ c_i,2 ≤ · · · ≤ c_i,tj ,
1 ≤ d_i,1 ≤ d_i,2 ≤ · · · ≤ d_i,t^′_j ,
munosabatlarni hisobga olsak, 3.1.3-teoremaga ko‘ra t^′_j

= t_j va d_i,j = c_i,j bo‘ladi.

Demak, 3.1.4-teoremaga ko‘ra ixtiyoriy chekli abel gruppasi siklik gruppalar-

1

2

k

^{ning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalanib, G ∼}= ^{Zpn1 ⊕ Zpn2 ⊕ · · · ⊕ Zpn}k ^{bo‘ladi, bu}
yerda p_i tub sonlar bo‘lib, ularning orasida o‘zaro tenglari ham bo‘lishi mumkin.

Ushbu pⁿ¹ , pⁿ² , . . . , p^nk
sonlari G gruppaning elementar bo‘luvchilari deb ata-

^{1 2} k
ladi. Endi elementar bo‘luvchilarni quyidagi tartibda joylashtirib chiqamiz:

1

1

1
p^n1,1 , p^n1,2 , p^n1,3 , . . . n_1,1 ≥ n_1,2 ≥ n_1,3 ≥ . . .

2

2

2
p^n2,1 , p^n2,2 , p^n2,3 , . . . n_2,1 ≥ n_2,2 ≥ n_2,3 ≥ . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

k

k

k
p^nk,1 , p^nk,2 , p^nk,3 , . . . n_k,1 ≥ n_k,2 ≥ n_k,3 ≥ . . .
Agar ushbu qatorlarning uzunliklari maksimumi s ga teng bo‘lsa, qolganlarini birlar bilan to‘ldirgan holda, barchasining uzunligi bir xil deb, ya’ni s ga teng deb olish mumkin. U holda

k

2

1
m_j = p^n1,j p^n2,j . . . p^nk,j , 1 ≤ j ≤ s

sonlari uchun m_j+1 | m_j munosabat o‘rinli bo‘lib, |G| = m₁m₂ . . . m_s bo‘ladi. Ushbu (m₁, m₂, . . . , m_s) sonlari esa G gruppaning invariant faktorlari deb ata- ladi.

i
Agar G_j = ⟨a_1,j⟩ ⊕ ⟨a_2,j⟩ ⊕ · · · ⊕ ⟨a_k,j⟩ deb olsak, bu yerda ord(a_i,j) = p^ni,j .

U holda p₁, p₂, . . . , p_k sonlari tub sonlar bo‘lganligi uchun, G_j gruppa ham sik- lik bo‘lib, |G_j| = m_j bo‘ladi. Shunday qilib, biz G gruppani tartibi invariant faktorlarga teng bo‘lgan abel gruppalarning to‘gri yig‘indisi shaklida ifodalash mumkinligini hosil qildik.
3.1.3-misol. Tartibi 32 ga teng bo‘lgan barcha abel gruppalarini toping.
Yechish. 32 = 2⁵ bo‘lganligi uchun 5 sonini barcha mumkin bo‘lgan yoyil- malarini qaraymiz.
5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1
bo‘lganligi uchun tartibi 32 ga teng bo‘lgan ixtiyoriy abel gruppasi quyidagi grup- palardan biriga izomorf bo‘ladi
Z₅,
Z₁₆ ⊕ Z₂,
Z₈ ⊕ Z₄,
Z₈ ⊕ Z₂ ⊕ Z₂,
Z₄ ⊕ Z₄ ⊕ Z₂,
Z₄ ⊕ Z₂ ⊕ Z₂ ⊕ Z₂,
Z₂ ⊕ Z₂ ⊕ Z₂ ⊕ Z₂ ⊕ Z₂.
Q
3.1.4-misol. Tartibi 20 ga teng bo‘lgan barcha abel gruppalarini toping.
Yechish. 20 = 2² · 5 ekanligidan, tartibi 20 ga teng bo‘lgan ixtiyoriy gruppa
G(5) va G(2) primar komponentalarning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalanib,
^{|G(5)| = 5 va |G(2)| = 4 bo‘ladi. O‘z navbatida G(5) ∼}= ^{Z5 bo‘lsa, G(2) esa}
Z₄ va Z₂ ⊕ Z₂ gruppalardan biriga izomorf. Demak, tartibi 20 ga teng bo‘lgan ixtiyoriy abel gruppasi Z₅ ⊕ Z₄ va Z₅ ⊕ Z₂ ⊕ Z₂ gruppalardan biriga izomorf. Q
3.1.5-misol. G = Z₅₀ ⊕ Z₂₀ ⊕ Z₈ gruppaning elementar bo‘luvchilarini toping.
^{Yechish. 50 = 52 · 2, 20 = 22 · 5 va 8 = 23 bo‘lganligi uchun Z50 ∼}= ^{Z25 ⊕ Z2
va Z20 ∼}= ^{Z4 ⊕ Z5 bo‘ladi. U holda
G ∼}= ^{Z52 ⊕ Z5 ⊕ Z23 ⊕ Z22 ⊕ Z2}
bo‘ladi. Demak, G gruppaning elementar bo‘luvchilari 5², 5, 2³, 2², 2 lardan iborat.
Q


3.1.6-misol. G = Z₂₄ ⊕ Z₃₆ ⊕ Z₁₀ gruppaning invariant faktorlarini toping.

· · ·
Yechish. 24 = 2³ 3, 36 = 2² 3² va 10 = 2 5 bo‘lganligi uchun gruppaning

elementar bo‘luvchilari 2³, 2², 2, 3², 3, 5 sonlaridan iborat. U holda

2^3,	2^2,	2
3^2,	3,	1
5,	1,	1

deb olsak, m₁ = 2³ ·3² ·5 = 360, m₂ = 2² ·3 = 12 va m₃ = 2 bo‘ladi. Ya’ni invariant faktorlari 360, 12, 2. Demak, G gruppa Z₃₆₀ ⊕ Z₁₂ ⊕ Z₂ gruppaga izomorf. Q

1. Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

   1. 
      
      Tartibi 9, 16 va 27 sonlariga teng bo‘lgan barcha abel gruppalarini toping.
      
   2. 
      
      Tartibi 15, 21, 22, 26, 33 va 35 sonlariga teng bo‘lgan barcha abel gruppalarini toping.
      
   3. 
      
      Tartibi 12, 18, 28, 36, 45 va 60 sonlariga teng bo‘lgan barcha abel gruppalarini toping.
      
   4. 
      
      Tartibi 63, 80, 180, 240 va 360 sonlariga teng bo‘lgan barcha abel gruppalarini toping.
      
   5. 
      
      Tartibi pq (p va q turli tub sonlar) ga teng bo‘lgan ixtiyoriy abel gruppasi
      

Z_p ⊕ Z_q gruppaga izomorf ekanligini isbotlang.

6. 
   
   G = Z₁₄₄ ⊕ Z₁₂ ⊕ Z₈ gruppaning elementar bo‘luvchilarini toping.
   
7. 
   
   G = Z₁₂₀ ⊕ Z₃₀ ⊕ Z₈ gruppaning elementar bo‘luvchilarini toping.
   
8. 
   
   G = Z₁₈₀ ⊕ Z₄₀ ⊕ Z₉ gruppaning elementar bo‘luvchilarini toping.
   
9. 
   
   G = Z₄₀ ⊕ Z₁₅ ⊕ Z₃₆ gruppaning invariant faktorlarini toping.
   
10. 
    
    G = Z₂₂ ⊕ Z₆₀ ⊕ Z₁₈ gruppaning invariant faktorlarini toping.
    
11. 
    
    G = Z₄₄ ⊕ Z₆₆ ⊕ Z₁₂ ⊕ Z₇₂ gruppaning invariant faktorlarini toping.
    
12. 
    
    Tartibi 540 ga teng bo‘lgan barcha abel gruppalarini toping.
    
13. 
    
    Tartibi 504 ga teng bo‘lgan barcha abel gruppalarini toping.
    
14. 
    
    Tartibi p³ ga teng bo‘lgan barcha abel gruppalarini toping.
    
15. 
    
    Tartibi p⁴ ga teng bo‘lgan barcha abel gruppalarini toping.
    

16. 
    
    Tartibi p³q² ga teng bo‘lgan barcha abel gruppalarini toping.
    
17. 
    
    Tartibi 120 ga teng bo‘lgan gruppaning tartibi uchga teng bo‘lgan nechta elementi mavjud.
    
18. 
    
    Tartibi 2⁴ · 3² · 5³ ga teng bo‘lgan nechta abel gruppasi mavjud.
    
19. 
    
    Tartibi 2³ · 3² · 5 · 7² ga teng bo‘lgan nechta abel gruppasi mavjud.
    

2.