O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

3.1.1-misol. Tartibi p² ga teng bo‘lgan siklik bo‘lmagan abel gruppasi Z_p ⊕ Z_p
ga izomorf bo‘ladi. Haqiqatdan ham, agar G siklik bo‘lmagan abel gruppasi uchun
|G| = p² bo‘lsa, u holda G gruppaning 0 dan farqli barcha elementlarining tartibi p
ga teng bo‘ladi. Ixtiyoriy noldan farqli a ∈ G element uchun 3.1.1-lemmaga ko‘ra,
shunday B qism gruppa topilib, G = ⟨a⟩ ⊕ B. Endi |B| = ^|G| = p ekanligidan B

^{Z ⊕}= _p
qism gruppaning ham siklikligi kelib chiqadi. Demak, G ^∼ |⟨a⟩| Z .
p
Quyidagi teoremada tartibi p^k ga teng bo‘lgan ixtiyoriy abel gruppasini ya- gona ravishda siklik gruppalarning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida yozish mumkinligini isbotlaymiz.
3.1.3-teorema. Aytaylik, G chekli abel gruppasi bo‘lib, |G| = p^k bo‘lsin, u holda quyidagilar o‘rinli.

1. 
   
   G gruppa siklik gruppalarning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida
   

G = G₁ ⊕ G₂ ⊕ · · · ⊕ G_r
kabi ifodalanadi, bu yerda |G₁||G₂| . . . |G_r| = p^k.

2. 
   
   Agar G gruppaning G = G₁ ⊕ G₂ ⊕ · · · ⊕ G_r va G = H₁ ⊕ H₂ ⊕ · · · ⊕ H_s yoyil- malari mavjud bo‘lib, |G₁| ≤ |G₂| ≤ · · · ≤ |G_r| va |H₁| ≤ |H₂| ≤ · · · ≤ |H_s| bo‘lsa, u holda s = r va |H_i| = |G_i|, 1 ≤ i ≤ r bo‘ladi.
   

Isbot. 1) Chekli abel gruppasi uchun |G| = p^k ekanligidan 3.1.1-lemmaga ko‘ra tartibi maksimal bo‘lgan a ∈ G element uchun G = ⟨a⟩ ⊕ B munosabat o‘rinli. O‘z navbatida B gruppa uchun ham |B| = p^l, l < k bo‘lganligi uchun B = ⟨b⟩ ⊕ C yoyilma mavjud. G gruppa chekli bo‘lganligi uchun, induktiv tarzda uni chekli sondagi ⟨a⟩, ⟨b⟩, . . . , ⟨c⟩ siklik gruppalarning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalanishi kelib chiqadi.
2) Dastlab s = r ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun
G[p] = {a ∈ G | pa = 0}
to‘plamni qaraymiz. Ushbu to‘plam ham G gruppaning qism gruppasi bo‘ladi. Tartibi p^ci ga teng bo‘lgan G_i siklik qism gruppalar uchun |G_i[p]| = p tenglik o‘rinli, chunki G_i[p] to‘plam noldan farqli ixtiyoriy elementining tartibi p ga teng

^{bo‘lgan siklik qism gruppadir, ya’ni Gi[p] ∼}= ^{Zp. Demak, biz}
|G[p]| = |(G₁ ⊕ G₂ ⊕ · · · ⊕ G_r)[p]| = |G₁[p] ⊕ G₂[p] ⊕ · · · ⊕ G_r[p]|
= |G₁[p]| + |G₂[p]| + · · · + |G_r[p]| = rp
tenglikka ega bo‘lamiz. Ikkinchi tomondan esa,
|G[p]| = |(H₁ ⊕ H₂ ⊕ · · · ⊕ H_s)[p]| = |H₁[p]| + |H₂[p]| + · · · + |H_s[p]| = sp.
Bundan s = r ekanligi kelib chiqadi.
Endi |G₁| ≤ |G₂| ≤ · · · ≤ |G_r| va |H₁| ≤ |H₂| ≤ · · · ≤ |H_s| bo‘lsa, |H_i| = |G_i|
ekanligini ko‘rsatamiz. Aytaylik, |G_i| = p^ci va |H_i| = p^di bo‘lib,
c₁ = d₁, c₂ = d₂, . . . , c_j−1 = d_j−1, c_j /= d_j
bo‘lsin. Umumiylikka ziyon yetkazmagan holda c_j < d_j deb olish mumkin. U holda c₁ ≤ c₂ ≤ · · · ≤ c_j ≤ · · · ≤ c_r ekanligini hisobga olsak, p^cj G_i = 0, 1 ≤ i ≤ j. Demak,
p^cj G = p^cj (G₁ ⊕ G₂ ⊕ · · · ⊕ G_r) = G_j+1 ⊕ G_j+2 ⊕ · · · ⊕ G_r.
Ikkinchi tomondan esa, p^cj H_i = 0, 1 ≤ i ≤ j − 1 ekanligidan
p^cj G = p^cj (H₁ ⊕ H₂ ⊕ · · · ⊕ H_r) = H_j ⊕ H_j+1 ⊕ H_j+2 ⊕ · · · ⊕ H_r.
Ya’ni, p^cj G gruppa bir tomondan r − j − 1 ta, ikkinchi tomondan esa r − j ta siklik gruppalarning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalandi. Bu esa, teoremaning birinchi qismida isbotlangan s = r ekanligiga zid. Demak, |H_i| = |G_i|.
Quyidagi misolda tartibi 8 ga teng bo‘lgan abel gruppalarining tasnifini kelti- ramiz.