O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

Hosil qiluvchi elementlari soni chekli bo‘lgan abel gruppalari

Biz ushbu mavzuda cheksiz abel gruppalarini o‘rganamiz. Avvalgi mavzuda biz ixtiyoriy chekli abel gruppasi siklik gruppalarning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifoda- lanishini ko‘rsatgan edik. Biz hosil qiluvchi elementlari soni chekli bo‘lgan cheksiz abel gruppalarni o‘rganib, ularni ham siklik gruppalarning to‘g‘ri yig‘indisi shak- lida ifodalanishini ko‘rsatamiz. Ma’lumki, Z gruppa bitta hosil qiluvchiga ega bo‘lgan cheksiz siklik gruppa bo‘lsa, Z₂ ⊕ Z₆ ⊕ Z gruppa siklik bo‘lmagan gruppa bo‘ladi. Ushbu Z₂ ⊕ Z₆ ⊕ Z gruppaning hosil qiluvchi elementlari 3 ta bo‘lib, ular
(1₂, 0, 0), (0, 1₆, 0), (0, 0, 1).
Bizga G abel gruppasi va uning {a₁, a₂, . . . , a_k} elementlar to‘plami berilgan bo‘lsin. n₁a₁ + n₂a₂ + · · · + n_ka_k, n_i ∈ Z ifodaga bu elementlarning chiziqli kombinatsiyasi deb ataladi.


3.2.1-ta’rif. Agar G gruppaning a₁, a₂, . . . , a_k elementlarining chiziqli kombi- natsiyasi nolga tengligidan, ya’ni n₁a₁ + n₂a₂ + · · · + n_ka_k = 0 ekanligidan n₁ = n₂ = · · · = n_k = 0 bo‘lishi kelib chiqsa, u holda ushbu elementlar to‘plami chiziqli erkli deb ataladi. Agar a₁, a₂, . . . , a_k elementlar to‘plami chiziqli erkli bo‘lib, G gruppaning ixtiyoriy a ∈ G elementini ushbu elementlarning chiziqli kom- binatsiyasi orqali a = n₁a₁ + n₂a₂ + · · · + n_ka_k kabi ifodalash mumkin bo‘lsa, u holda X = {a₁, a₂, . . . , a_k} to‘plam G gruppaning bazisi deb ataladi.
Agar G gruppada bazis mavjud bo‘lsa, u holda u erkin abel gruppasi deb ataladi. Butun sonlar gruppasining chekli sondagi to‘g‘ri yig‘indisi Z⊕Z⊕· · · ⊕Z erkin abel gruppasi bo‘ladi. Chunki, ushbu gruppada chekli sondagi
(1, 0, 0 . . . , 0), (0, 1, 0 . . . , 0), . . . , (0, 0, 0, . . . , 1)

bazis mavjud. Lekin biz yuqorida ko‘rgan Z₂ ⊕ Z₆ ⊕ Z gruppa erkin abel gruppasi emas, chunki (1₂, 0, 0), (0, 1₆, 0), (0, 0, 1) elementlar to‘plami chiziqli erkli emas.
Ya’ni, hosil qiluvchi elementlari soni chekli bo‘lgan gruppalar har doim ham erkin abel gruppasi bo‘lavermaydi.

Quyidagi teoremada ixtiyoriy erkin abel gruppasi chekli sondagi siklik grup- palarning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalanishini ko‘rsatamiz.