O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

3.1.2-misol. Tartibi 8 ga teng bo‘lgan ixtiyoriy abel gruppasi Z₈, Z₄ ⊕ Z₂ va
Z₂ ⊕ Z₂ ⊕ Z₂ gruppalardan biriga izomorf bo‘ladi.
Haqiqatdan ham, agar G gruppada ord(a) = 8 bo‘lgan element mavjud bo‘lsa, u ^{holda G ∼}= ^{Z8. Agar G gruppaning barcha elementlari uchun ord(a) < 8 bo‘lsa, u}
holda uning noldan farqli elementlari tartibi 4 yoki 2 ga teng bo‘ladi. Gruppaning tartibi 4 ga teng elementi mavjud bo‘lsa, u holda ushbu a ∈ G element tartibi ^{eng katta bo‘lgan element bo‘lib, G = ⟨a⟩ ⊕ B bo‘ladi, ya’ni G ∼}= ^{Z4 ⊕ Z2. Agar}
G gruppaning noldan farqli barcha elementlari uchun ord(a) = 2 bo‘lsa, u holda ixtiyoriy a ∈ G, a /= 0 element uchun G = ⟨a⟩⊕B bo‘lib, |B| = 4 bo‘lganligi uchun o‘z navbatida B qism gruppa ham B = C ⊕ D yoyilmaga ega bo‘ladi. Demak,
^{G ∼}= ^{Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2.}

n_i

Shunday qilib, tartibi pⁿ ga teng bo‘lgan abel gruppasi G = G₁ ⊕ G₂ ⊕ · · · ⊕ G_k kabi tartibi p ga teng bo‘lgan siklik gruppalarning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalanar ekan. Agar |G_i| = n_i sonlari uchun n₁ ≤ n₂ ≤ · · · ≤ n_k bo‘lsa, u holda n₁, n₂, . . . , n_k sonlari G gruppaning invariantlari deb ataladi. Yig‘indisi n ga teng bo‘lgan turli n₁, n₂, . . . , n_k invariantlarga turli abel gruppalari mos keladi. Demak, tartibi pⁿ ga teng bo‘lgan abel gruppalarining soni, turli invariantlarning soniga teng. Boshqacha qilib aytganda, tartibi pⁿ ga teng bo‘lgan abel gruppalarining soni n sonini n₁ ≤ n₂ ≤ · · · ≤ n_k sonlarining yig‘indisi ko‘rinishida n = n₁ + n₂ +
· · · + n_k kabi ifodalashlar soniga teng.
Yuqoridagi teorema va lemmalardan foydalanib, chekli abel gruppalarining tuzilishi va tasnifi haqida to‘liq ma’lumot beruvchi teoremani keltiramiz.