O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

3.1.1-teorema. G abel gruppasi uchun quyidagilar o‘rinli:

1. 
   
   T (G) qism gruppa.
   
2. 
   
   T (G/T (G)) = {0}, ya’ni G/T (G) gruppa buralishga ega bo‘lmagan gruppa bo‘ladi.
   

Isbot. 1) Aytaylik, a, b ∈ T (G) bo‘lsin, u holda ord(a) = r va ord(b) = s,
ya’ni ra = 0, sb = 0 bo‘lib,

rs(a + b) = s(ra) + r(sb) = 0, r(−a) = −ra = 0

tengliklardan a + b ∈ T (G) va −a ∈ T (G) ekanligi kelib chiqadi. Demak, T (G)
qism gruppa.
2) Ixtiyoriy a + T (G) ∈ T (G/T (G)) element olsak, bu elementning tartibi chekli bo‘lganligi uchun
s(a + T (G)) = sa + T (G) = T (G)
bo‘lib, bundan sa ∈ T (G) ekanligi kelib chiqadi. U holda ord(sa) = r bo‘lib, (rs)a = r(sa) = 0 ekanligidan a ∈ T (G). Bu esa a + T (G) = T (G), ya’ni T (G/T (G)) = {0} ekanligini anglatadi.
Endi tartibi p tub sonining biror darajasidan iborat bo‘lgan elementlar to‘plamini, ya’ni
G(p) = {g ∈ G | ord(g) = p^k, k ≥ 1}
to‘plamni qaraymiz. Ushbu G(p) to‘plam ham G gruppaning qism gruppasi bo‘lishini ko‘rsatish qiyin emas. Chunki, agar a, b ∈ G(p) bo‘lsa, u holda ord(a) = p^s, ord(b) = p^m, ya’ni p^sa = 0, p^mb = 0. Agar t = max{s, m} deb olsak, u holda

p^t(a + b) = p^ta + p^tb = 0, p^s(−a) = −p^sa = 0,

tengliklardan a + b, −a ∈ G(p) ekanligi kelib chiqadi. Ushbu G(p) qism gruppalar

primar komponentalar deb ataladi.
Agar gruppa o‘zining davriy qismi bilan ustma-ust tushsa, ya’ni T (G) = G bo‘lsa, u holda u davriy gruppa deyiladi. Boshqacha aytganda, davriy gruppa ixtiyoriy elementining tartibi chekli bo‘lgan gruppadir.

M
3.1.2-teorema. Ixtiyoriy davriy gruppa primar komponentalarning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalanadi, ya’ni

G = G(p).
p


Isbot. Ixtiyoriy a ∈ G element olsak, u holda ord(a) < ∞. Aytaylik, ord(a) =

p

1

2

r

i

k_i
i
n = p^k1 p^k2 . . . p^kr bo‘lsin. Quyidagi belgilashni kiritamiz n = ⁿ , 1 ≤ i ≤ r.

i
Ta’kidlash joizki, n_ia ∈ G(p_i), chunki, p^ki (n_ia) = na = 0. Bundan tashqari, ushbu

n_i sonlari o‘zaro tub bo‘lganligi uchun t₁, t₂, . . . , t_r butun sonlari topilib,
t₁n₁ + t₂n₂ + · · · + t_rn_r = 1.
U holda a elementni quyidagicha yozish mumkin

a = 1 · a =
r

_Σ
i=1


t_in_i
· a =
Σi=1


t_i(n_ia),

r
bu yerda n_ia ∈ G(p_i). Demak, G gruppaning ixtiyoriy elementi G(p_i) qism grup- palar elementlarining yig‘indisi ko‘rinishida ifodalanadi.
Endi q ∈/ {p₁, p₂, . . . , p_k} uchun G(q) ∩ (G(p₁) + G(p₂) + · · · + G(p_k)) = 0

1

2

k
ekanligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy b ∈ G(p₁) + G(p₂) + · · · + G(p_k) element olsak, u holda ord(b) = p^s1 p^s2 . . . p^sk, s_i ≥ 0 bo‘ladi. G(q) gruppa esa, tartibi q sonining
darajalaridan iborat elementlardan tashkil topgan, hamda q ∈/ {p₁, p₂, . . . , p_k}

L
bo‘lganligi uchun G(q) ∩ (G(p₁) + G(p₂) + · · · + G(p_k)) = 0 kelib chiqadi. Demak,

G = G(p).
p
Biz endi chekli abel gruppalarini batafsilroq o‘rganamiz. Ta’kidlash joizki,
ixtiyoriy chekli gruppa davriy gruppa bo‘ladi, ya’ni chekli gruppalar uchun T (G) = G shart o‘rinli. Demak, 3.1.2-teoremaga ko‘ra ixtiyoriy chekli abel grup- pasi ham primar komponentalarning to‘g‘ri yig‘indisi shaklida ifodalanadi. Ya’ni

1

2

r
G chekli abel gruppasi uchun |G| = p^k1 p^k2 . . . p^kr
bo‘lsa, u holda

G = G(p₁) ⊕ G(p₂) ⊕ · · · ⊕ G(p_r)
yoyilma o‘rinli, bu yerda |G(p_i)| = p^ri. Bundan tashqari, ushbu yoyilma qo‘shiluvchilarning o‘rnini almashtirish aniqligida yagona bo‘ladi. Ya’ni agar

i
G = B₁ ⊕ B₂ ⊕ · · · ⊕ B_r bo‘lib, |B_i| = p^si bo‘lsa, u holda s_i = r_i va B_i = G(p_i)

bo‘ladi. Bu esa, chekli abel gruppalarini o‘rganish masalasi primar komponenta- larni o‘rganish masalasiga keltirilishini bildiradi. Demak, biz tartibi p^k (p – tub son) soniga teng bo‘lgan gruppalarni qarashimiz, ya’ni barcha elementining tartibi p sonining darajalaridan iborat bo‘lgan abel gruppalarini o‘rganamishimiz yetarli. Aytaylik, G gruppa uchun |G| = p^k bo‘lib, a ∈ G element tartibi eng katta bo‘lgan element bo‘lsin, ya’ni ∀b ∈ G uchun ord(a) ≥ ord(b). U holda ord(a) = p^s,
s ≤ k bo‘lib, s = k bo‘lgan holda G gruppa siklik bo‘ladi.