O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

2.4.2-teorema. Agar G gruppa H₁, H₂, . . . , H_n normal qism gruppalarining ichki to‘g‘ri ko‘paytmasi shaklida ifodalansa, u holda
^{G ∼}= ^{H1 × H2 × · · · × Hn,}
ya’ni G gruppa ushbu normal qism gruppalarining tashqi to‘g‘ri ko‘paytmasiga izomorf bo‘ladi.
Isbot. Ixtiyoriy g ∈ G element yagona ravishda g = h₁h₂ . . . h_n, h_i ∈ H_i
ko‘rinishida ifodalanishidan foydalanib, f : G → H₁ × H₂ ×· · · × H_n akslantirishni
f (g) = (h₁, h₂, . . . , h_n)
kabi aniqlaymiz. Ushbu akslantirishning to‘g‘ri aniqlanganligi va o‘zaro bir qiy- matli moslik ekanligini osongina ko‘rsatish mumkin. Endi ushbu akslantirishning gomomorfizm ekanligini ko‘rsatamiz.

Ixtiyoriy a = a₁a₂ . . . a_n va b = b₁b₂ . . . b_n elementlarni olamiz, bu yerda a, b ∈ G va a_i, b_i ∈ N_i. U holda N_i ∩ N_j = {e} bo‘lganligi uchun a_i · b_j = b_j · a_j bo‘lib,
f (a · b) = f (a₁a₂ . . . a_n) · (b₁b₂ . . . b_n) = f (a₁b₁a₂b₂ . . . a_nb_n) =
= (a₁b₁, a₂b₂, . . . a_nb_n) = f (a) · f (b),
^{ya’ni f gomomorfizm bo‘ladi. Demak, G ∼}= ^{H1 × H2 × · · · × Hn.}
Yuqoridagi teoremadan gruppalarning tashqi va ichki to‘g‘ri ko‘paytmalari bir xil xususiyatga ega ekanligi kelib chiqadi. Shuning uchun keyinchalik ularni farq- lamasdan gruppalarning, shunchaki to‘g‘ri ko‘paytma deb ishlatiladi.
Quyida gruppalarning to‘g‘ri ko‘paytmasiga doir ba’zi tasdiqlarni keltiramiz.
2.4.1-tasdiq. Aytaylik, G va G₁ gruppalar va f : G → G₁ gomomorfizm berilgan bo‘lsin. Agar H a G uchun f akslantirish H ni G₁ ga o‘tkazuvchi izomorfizm bo‘lsa, u holda G = H × Kerf.
Isbot. f (H) = G₁ ekanligidan ixtiyoriy a ∈ G element uchun shunday h ∈ H element topilib, f (a) = f (h) bo‘lishi, ya’ni f (h⁻¹ · a) = e₁ ekanligi kelib chiqadi. Bu esa, h⁻¹ · a ∈ Kerf ekanligini anglatadi. Bundan foydalanib, qandaydir b ∈ Kerf element uchun b = h⁻¹ · a, ya’ni a = h · b deb yozish mumkin. Demak, G = H · Kerf ekanligini hosil qildik. Endi H ∩ Kerf = {e} bo‘lishini ko‘rsatamiz. Aytaylik a ∈ H ∩ Kerf bo‘lsin, u holda a ∈ Kerf ekanligidan f (a) = e₁ = f (e) tenglik kelib chiqadi. a, e ∈ H va f |_H : H → G₁ akslantirishning o‘zaro bir qiymatliligidan a = e ekanligiga ega bo‘lamiz, ya’ni H ∩ Kerf = {e}. Demak, G = H × Kerf .