O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

2.2.5-misol. D₄ gruppaning markazini toping.
Yechish. Ma’lumki, ixtiyoriy gruppaning markazi uning qism gruppasi bo‘lib, D₄ gruppa oltita D₄, {e}, H₂ = {e, b²}, T₁ = {e, b, b², b³}, T₂ = {e, a, b², a · b²} va T₃ = {e, a · b, b², a · b³} normal qism gruppaga ega. Shuning uchun Z(D₄) markaz
ushbu oltita qism gruppalardan biriga teng bo‘ladi. a · b b · a, ekanligidan
a, b ∈/ Z(D₄) kelib chiqadi. Demak, Z(D₄) markaz D₄, T₁ va T₂ qism gruppalarga teng emas. Agar a·b ∈ Z(D₄) bo‘lsa, u holda b = a·(a·b) = (a·b)·a = (b³·a)·a = b³ bo‘lib, b² = e hosil bo‘ladi. Bu esa ziddiyat, demak Z(D₄) /= T₃. Ushbu
b² · a = b · (b · a) = b · (a · b³) = a · b⁶ = a · b²
tenglikdan b² elementning a bilan o‘rin almashishi kelib chiqadi. Bundan esa,
b² ∈ Z(D₄) ekanligini ko‘rish qiyin emas, demak, Z(D₄) = {e, b²}. Q

1. Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

   1. 
      
      D₃ diedr gruppasini S₃ gruppaga o‘tkazuvchi barcha izomorfizmlarni toping.
      
   2. 
      
      Q₈ gruppaning markazini toping.
      
   3. 
      
      GL₄(R) – to‘rtinchi tartibli teskarilanuvchu matritsalar gruppasining Q₈
      

gruppaga izomorf qism gruppasini toping.

4. 
   
   G gruppani G₁ gruppaga o‘tkazuvchi barcha gomomorfizmlarni toping:
   
   • 
     
     G = Z₄, G₁ = K₄.
     
   • 
     
     G = K₄, G₁ = Z₄.
     
   • 
     
     G = S₃, G₁ = Z₆.
     
   • 
     
     G = Z₆, G₁ = S₃.
     
   • 
     
     G = Z₈, G₁ = D₄.
     
   • 
     
     G = Z₈, G₁ = Q₈.
     
   • 
     
     G = Q₈, G₁ = D₄.
     
   • 
     
     G = D₄, G₁ = Q₈.
     
5. 
   
   G gruppani G₁ gruppaga o‘tkazuvchi barcha epimorfizmlarni toping:
   
   • 
     
     G = D₄, G₁ = K₄.
     
   • 
     
     G = Q₈, G₁ = Z₄.
     
   • 
     
     G = Q₈, G₁ = Z₂.
     
   • 
     
     G = D₄, G₁ = Z₂.
     

3. Izomorfizm haqidagi teoremalar

Ushbu mavzuda gruppalarning izomorfizmlari bilan bo‘g‘liq bo‘lgan, izomorfizm va moslik teoremalari deb nomlanuvchi natijalarni keltiramiz. Ushbu teoremalar gruppaning gomomorfizmlari va faktor gruppalar orasidagi bo‘glanishlarni ifo- dalovchi teoremalar hisoblanadi.
2.3.1-teorema. Bizga G gruppani G₁ gruppaga o‘tkazuvchi f : G → G₁ epi- morfizm berilgan bo‘lsin. Agar G gruppaning H normal qism gruppasi uchun H ⊆ Kerf munosabat o‘rinli bo‘lsa, u holda g : G → G/H syurektiv tabiiy go- momorfizm uchun f = h ◦ g shartni qanoatlantiruvchi yagona h : G/H → G₁ epimorfizm mavjud. Shuningdek, h inyektiv bo‘lishi uchun H = Kerf tenglik o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. h : G/H → G₁ akslantirishni ixtiyoriy aH ∈ G/H uchun h(aH) = f (a) ko‘rinishida aniqlaymiz. Dastlab, bu akslantirishning to‘g‘ri aniqlangan ekanligini ko‘rsatamiz. Ya’ni, aH = bH bo‘lsa, u holda b⁻¹ ∗ a ∈ H bo‘ladi. O‘z navbatida H ⊆ Kerf ekanligidan,
f (b⁻¹ ∗ a) = e₁ ⇒ f (a) = f (b) ⇒ h(aH) = h(bH) kelib chiqadi. Demak, h akslantirish to‘g‘ri aniqlangan.
Ixtiyoriy a element uchun (h ◦ g)(a) = h(g(a)) = h(aH) = f (a) tenglik o‘rinli ekanligidan, h ◦ g = f tenglik kelib chiqadi. Endi, h : G/H → G₁ akslantirishning epimorfizm bo‘lishini ko‘rsatamiz. f : G → G₁ akslantirish syurektiv bo‘lganligi uchun h : G/H → G₁ ham syurektiv bo‘ladi. Shuningdek,
h((aH) ∗ (bH)) = h((a ∗ b)H) = f (a ∗ b) = f (a) ∗₁ f (b) = h(aH) ∗₁ h(bH).
Demak, h akslantirish epimorfizm ekan.
Endi bu shartlarni qanoatlartiruvchi epimorfizm yagona ekanligini ko‘rsatamiz. Faraz qilaylik, boshqa h₁ : G/H → G₁ epimorfizm mavjud bo‘lib, f = h₁ ◦ g bo‘lsin. U holda, ixtiyoriy aH ∈ G/H element uchun

h(aH) = f (a) = (h₁ ◦ g)(a) = h₁(g(a)) = h₁(aH) tenglik o‘rinli. Demak, h = h₁.
Endi teoremaning ikkinchi qismini, ya’ni h inyektiv akslantirish bo‘lishi uchun H = Kerf bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlaymiz. Faraz qilaylik, h inyek- tiv akslantirish bo‘lsin. U holda Kerf ⊆ H ekanligi quyidagi munosabatlardan kelib chiqadi
∀a ∈ Kerf ⇒ f (a) = e₁ ⇒ h(aH) = e₁ = h(eH) ⇒ aH = eH ⇒ a ∈ H.
Shuningdek, teorema shartiga ko‘ra H ⊆ Kerf bo‘lganligi uchun H = Kerf tenglikni hosil qilamiz.
Endi H = Kerf tenglik o‘rinli bo‘lsa, h akslantirishning inyektiv bo‘lishini ko‘rsatamiz. Agar h(aH) = h(bH) bo‘lsa, u holda
f (a) = f (b) ⇒ f (b⁻¹ ∗ a) = e₁ ⇒ b⁻¹ ∗ a ∈ Kerf = H ⇒ aH = bH.
Demak, h inyektiv akslantirish.
Demak, 2.3.1-teoremada H = Kerf bo‘lsa, u holda h izomorfizm bo‘lar ^{ekan, ya’ni G/Kerf ∼}= ^{G1 munosabat o‘rinli bo‘ladi. Ushbu natija gruppalar}
nazariyasida muhim o‘rin egallab, uni gruppalar uchun gomomorfizmlarning asosiy teoremasi yoki gruppalar uchun izomorfizm haqidagi birinchi teo- rema deb nomlanadi.