O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

2.2.1-misol. Ikkita a, b hosil qiluvchi elementlarga ega bo‘lib,
ord(a) = 2, ord(b) = n, b · a = a · b⁻¹
bo‘lgan D_n = ⟨a, b⟩ gruppa n-darajali diedr gruppasi deyiladi, bu yerda n ≥ 3. Ta’kidlash joizki, D_n gruppa tartibi 2n ga teng bo‘lgan nokommutativ gruppa bo‘lib, uning elementlari quyidagilardan iborat
D_n = {e, b, b², . . . , bⁿ⁻¹, a, a · b, a · b², . . . , a · bⁿ⁻¹}.


^{Ma’lumki, D3 oltinchi tartibli gruppa bo‘lib, D3 ∼}= ^{S3 bo‘ladi. D4 esa} sakkisinchi tartibli nokommutativ gruppa hamda D₄ gruppaning elementlari

2 3 2 3
{e, b, b , b , a, ab, ab , ab }

bo‘lib, a² = b⁴ = e, ba = ab³, b²a = ab², b³a = ab. Demak,
ord(a) = ord(b²) = ord(ab) = ord(ab²) = ord(ab³) = 2, ord(b) = ord(b³) = 4. Quyidagi misolda GL₂(R) ikkinchi tartibli teskarilanuvchi kvadrat mat-
ritsalar gruppasining D₄ gruppaga izomorf bo‘lgan qism gruppasi mavjudligini ko‘rsatamiz.
2.2.2-misol. Aytaylik, G ⊆ GL₂(R) quyidagi matritsalardan hosil qilunivchi gruppa bo‘lsin
A = ^{0 1} , B = ^{0 1} .
1 0 −1 0
U holda ord(A) = 2 va ord(B) = 4. Bundan tashqari
_{BA =} 0 1 0 1 ₌ 1 0

−1 0 1 0

va
0 −1

_{AB3 =} 0 1 0 −1 ₌ 1 0 _.

1 0 1 0
0 −1

Demak, BA = AB³, bundan esa, G gruppa 4-tartibli diedr gruppasi bo‘lishi kelib chiqadi.
Endi S₄ o‘rin almashtirishlar gruppasining 4-tartibli diedr qism gruppasini ko‘rsatamiz.
2.2.3-misol. S₄ gruppaning a = (24) va b = (1234) elementlarini qaraylik. Ma’lumki,
a² = e, b² = (13) ◦ (24), b³ = (1432), b⁴ = e, b ◦ a = a ◦ b³.
Bundan esa, G = ⟨a, b⟩ gruppa 4-tartibli diedr gruppasi ekanligi kelib chiqadi.
Endi D₄ diedr gruppasining barcha qism gruppalarini aniqlaymiz. Lagranj teoremasiga ko‘ra, D₄ ning xos qism gruppalarining tartibi faqat 2 va 4 ga teng bo‘lishi mumkin. Tekshirish qiyin emaski,
H₁ = {e, a}, H₂ = {e, b²}, H₃ = {e, a · b}, H₄ = {e, a · b²}, H₅ = {e, a · b³}
gruppalar D₄ ning tartibi 2 ga teng qism gruppalari bo‘ladi. Uning tartibi 4 ga teng qism bo‘lgan qism gruppalari esa quyidagilardan iborat:
T₁ = {e, b, b², b³},

T₂ = {e, a, b², a · b²},

T₃ = {e, a · b, b², a · b³}.
Endi yana bir tartibi 8 ga teng bo‘lgan gruppa Q₈ kvaternion gruppasini qaraymiz.