O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

2.3.2-teorema (izomorfizm haqidagi birinchi teorema). Agar f akslantirish
^{G gruppani G1 gruppaga o‘tkazuvchi gomomorfizm bo‘lsa, u holda G/Kerf ∼}= ^{f (G)}
bo‘ladi.
2.3.1-teoremadan G gruppaning har bir G₁ gomomorf obraziga yagona N nor- ^{mal qism gruppa mos kelib, G/N ∼}= ^{G1 bo‘lishi kelib chiqadi. Masalan, S3 grup-}

paning uchta gomomorf obrazi, shuningdek uchta normal qism gruppasi mavjud. Uning gomomorf obrazlari S₃, Z₂ va Z₁ bo‘lsa, normal qism gruppalari esa, {e}, A₃ va S₃ lardan iborat bo‘lib,
^{S3 ∼}= ^{S3/{e}, Z2 ∼}= ^{S3/A3, Z1 ∼}= ^S3/S3.
2.3.3-teorema. Aytaylik, G₁ gruppa G gruppaning gomomorf obrazi bo‘lsin, u holda quyidagilar o‘rinli:

1. 
   
   Agar G siklik gruppa bo‘lsa, u holda G₁ ham siklik gruppa bo‘ladi.
   

2. 
   
   Agar G kommutativ gruppa bo‘lsa, u holda G₁ ham kommutativ gruppa bo‘ladi.
   
3. 
   
   Agar G gruppa chekli bo‘lib, G₁ gruppada tartibi n bo‘lgan element mavjud bo‘lsa, u holda G gruppada ham tartibi n ga teng bo‘lgan element mavjud.
   

Isbot. Teoremaning 1 va 2-qismlari isboti 2.1.1-teoremaning 6-qismidan kelib chiqadi. Shuning uchun, biz faqat teoremaning 3-qismini isbotlaymiz.
Aytaylik, a₁ ∈ G₁ elementning tartibi n ga teng bo‘lsin. Agar n = 1 bo‘lsa,

n
u holda e ∈ G biz qidirayotgan element bo‘ladi. Endi, n > 1 bo‘lgan holni qaraylik. f : G → G₁ akslantirish syurektiv bo‘lganligi sababli, f (a) = a₁ shartni qanoatlantiruvchi a ∈ G element topiladi. G gruppaning tartibi chekli bo‘lganligi sababli, ord(a) ham chekli bo‘lib, 2.1.1-teoremaning 7-qismidan ord(a₁) soni ord(a) ning bo‘luvchisi ekanligi kelib chiqadi, ya’ni n | ord(a). U holda ord(a) = nt, t ∈ N ⇒ t < ord(a) ⇒ a^t /= e. Agar b = a^t deb olsak, u holda b = e bo‘lib, 1.1.1-teoremaga ko‘ra

ord(b) = ord(a^t) = ^ord(a) = ^nt

EKUB(t, ord(a)) t
= n.