O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti abdirashidov A., Babayarov A. I

 
 
 

---

152 
Namuna misol.
Ushbu 

















0
22
25
;
0
11
15
;
0
13
4
15
2
2
2
z
y
z
y
x
z
y
x
nochiziqli tenglamalar sistemasining yechimlarini oddiy iteratsiyalar, Zeydel, 
Nyuton, Broyden usullari bilan 0,00001 aniqlikda toping. 
Yechish. 
Dastlab berilgan sistemani vektor fazoda vektor shakliga keltiramiz: 


.
0
22
25
;
0
11
15
;
0
13
4
15
))
,
,
(
),
,
,
(
),
,
,
(
(
)
,
,
(
)
(
2
2
2
3
2
1
T
z
y
z
y
x
z
y
x
z
y
x
f
z
y
x
f
z
y
x
f
z
y
x















F
x
F
Maple dasturi yordamida ushbu sistemaning haqiqiy yechimini topamiz: 


;
0
22
25
,
0
11
15
,
0
13
4
15
2
2
2
















z
y
z
y
x
z
y
x
fsolve
Buni uch o‘lchovli grafikda chizib ham ko‘rish mumkin (3.18-rasm): 




;
2
..
0
,
2
..
0
,
2
..
0
,
0
22
25
,
0
11
15
,
0
13
4
15
3
:
)
(
2
2
2




















z
y
x
z
y
z
y
x
z
y
x
d
ot
implicitpl
plots
with
Ushbu sistemani oddiy iteratsiyalar, Zeydel, Nyuton, Broyden usullari bilan 
0,00001 aniqlikda taqribiy yechamiz. 
1) 
Oddiy iteratsiyalar usuli
. Usul-
ning g‘oyasiga ko‘ra berilgan 
F
(
x
)=0 
sistemani 
x
= 
Ф
(
x
) ko‘rinishga keltira-
mizki, aniq yechim 
D
={(
x
,
y
,
z
)
T
: 0

x
,
y
,
z

2} sohaga tegishli, boshlang‘ich 
yaqinlashishni 
x
0
= (1.0, 0.8, 0.9)
T
deb 
olib, yechimni 10
-5
aniqlikda topish talab 
etilsin. 
Sistemaning tenglamalarini ushbu 























25
22
25
1
)
,
,
(
;
15
11
15
1
15
1
)
,
,
(
;
0
15
13
15
4
15
1
)
,
,
(
2
3
2
2
2
1
y
z
y
x
z
z
x
z
y
x
y
z
y
z
y
x
x



3.18-rasm. Uchta sirtning bir nuqtada 
kesishishini tasvirlovchi grafik. 
ko‘rinishga keltiramiz. Bu yerda aniq yechim 
D
= {(
x
,
y
,
z
)
T
: 0

x
,
y
,
z

2} sohaga 
tegishli. 
D
sohada olingan xususiy hosilalar: 

---

153 
;
0
1



x

;
3
.
0
15
2
1





y
y

;
3
.
0
15
4
1




z

;
3
.
0
15
2
2





x
x

;
0
2



y

;
1
.
0
15
1
2




z

;
0
3



x

;
2
.
0
25
2
3




y
y

.
0
3



z

Ko‘rinib turibdiki, barcha xususiy hosilalar qiymatlarining moduli 1 dan kichik, ya’ni 
3
.
0




K
x
j
i

(
K
– maksimal chegaraviy qiymat), demak 3 ta noma’lumli 3 ta 
nochiziqli tenglamalar sistemasi (
m
= 3) uchun 
q
= 
mK
= 3

0,3 = 0,9 < 1. Tanlangan
x
= 
Ф
(
x
) bog‘lanish orqali quyidagi iteratsion formulalarni qurishimiz mumkin: 























.
25
22
25
1
;
15
11
15
1
15
1
;
0
15
13
15
4
15
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
y
z
z
x
y
z
y
x
Bu hisoblashlarni 
5
1
10





n
n
x
x
shart bajarilgunga qadar davom ettirsak, 
quyidagi jadval natijalariga kelamiz: 
n 
x
n 
y
n 
z
n 



n
n
x
x
1
0 
1.000000000 
0.800000000 
0.900000000 
1 
1.064000000 
0.726666667 
0.905600000 
0.07333 
2 
1.072957037 
0.718233600 
0.901121778 
0.00896 
3 
1.072575174 
0.716658998 
0.900634380 
9.0

10
-5 
4 
1.072595827 
0.716681125 
0.900544005 
2.6

10
-5 
5 
1.072569612 
0.716672146 
0.900545273 
8.2

10
-5 
6 
1.072570809 
0.716675980 
0.900544759 
3.8

10
-6 
7 
1.072570305 
0.716675775 
0.900544978 
5.0

10
-7 
Bu yerda topilgan 
x
7
yechim yetarlicha aniqlikda. Bunda yaqinlashish tezligini 
quyidagicha baholash o‘rinli: 
351
.
0
9
.
0
1
9
.
0
07333
.
0
1
7
7
0
1
*
7











q
q
x
x
x
x
, chunki 
8
*
7
10
6
.
7





x
x
. 
2) 
Zeydel usuli
. Iteratsion jarayonni 
x
0
= (1.0, 0.8, 0.9)
T
boshlang‘ich yaqinlash-
ish bilan quyidagi formulalarda amalga oshiramiz (hisob natijalari quyidagi jadvalda 
keltirilgan): 

---

154 

























.
25
22
25
1
;
15
11
15
1
15
1
;
0
15
13
15
4
15
1
2
1
1
2
1
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
y
z
z
x
y
z
y
x
n 
x
n 
y
n 
z
n 



n
n
x
x
1
0 
1.000000000 
0.800000000 
0.900000000 
1 
1.064000000 
0.717860267 
0.900612934 
0.08214 
2 
1.072475225 
0.716693988 
0.900546011 
0.00848 
3 
1.072568918 
0.716676128 
0.900544987 
9,4

10
-5 
4 
1.072570352 
0.716675855 
0.900544971 
1,4

10
-6 
5 
1.072570374 
0.716675851 
0.900544971 
2,2

10
-8 
Bu yerda topilgan 
x
5
yechim yetarlicha aniqlikda. Bu yerda ham 
486
.
0
9
.
0
1
9
.
0
08214
.
0
1
5
5
0
1
*
5











q
q
x
x
x
x
, chunki 
10
*
5
10




x
x
. 
Demak, ushbu misolni yechishda Zeydel usulining yaqinlashish tezligi yuqo-
riroq ekan. Ammo bu ijobiy hol ba’zi nochiziqli tenglamalar sistemasini Zeydel usuli 
bilan yechishda kuzatilmasligi mumkin.
3)
Nyuton usuli
. Berilgan sistema uchun ushbu 


.
0
22
25
;
0
11
15
;
0
13
4
15
))
,
,
(
),
,
,
(
),
,
,
(
(
)
,
,
(
)
(
2
2
2
3
2
1
T
z
y
z
y
x
z
y
x
z
y
x
f
z
y
x
f
z
y
x
f
z
y
x















F
x
F
belgilashlarni yuqorida qabul qilgan edik, bu yerda 




















.
0
22
25
)
,
,
(
,
0
11
15
)
,
,
(
,
0
13
4
15
)
,
,
(
2
3
2
2
2
1
z
y
z
y
x
f
z
y
x
z
y
x
f
z
y
x
z
y
x
f
Boshlang‘ich yaqinlashishni 
x
0
= (1.0, 0.8, 0,9)
T
deb olib, yechimni 10
-5
aniq-
likda topamiz. 
Usul qoidalariga ko‘ra 
J
(
x
) – Yakob matritsasini quyidagicha yozamiz: 
.
25
2
0
1
15
2
4
2
15
)
,
,
(














y
x
y
z
y
x
J
Ushbu 
x
0
= (1.0, 0.8, 0,9)
T
boshlang‘ich yaqinlashish uchun
T
)
14
.
0
,
1
.
1
,
96
.
0
(
)
(
0


x
F

---

155 
va 
.
25
6
.
1
0
1
15
2
4
6
.
1
15
)
(
0














x
J
Endi
 
)
(
)
(
0
0
0
x
F
u
x


J
tenglamaning yechimi quyidagicha: 












00028552
.
0
0830388
.
0
07293361
.
0
0
u
va
.
90028552
.
0
71696122
.
0
07293361
.
1
0
0
1












