O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti abdirashidov A., Babayarov A. I

Yechish.
Berilgan sistemani standart shaklda yozib olamiz:
 












0
1
7
,
0
)
,
(
0
)
1
(
)
,
(
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
1
x
x
x
x
f
x
x
x
tg
x
x
f
 
Bu funksiyalarning aniqlanish sohalari: 
D
f1 
= {–∞ < x
1
< ∞; –∞ < x
2
< ∞};
D
f2 
= {–1 ≤ x
1
≤ 1; –1,195 ≤ x
2
≤ 1,195}; 
Bu funksiyalarning qiymatlar sohalari: 
D
o
= {–1 ≤ x
1
≤ 1; –1,195 ≤ x
2
≤ 1,195}; 
Вu funksiyalarning grafiklarini Mathcad dasturida chizamiz (3.16-rasm). Grafi-
klardan ko‘rinadiki, misolda berilgan sistema 4 ta haqiqiy yechimga ega: 
D
I
= {0 < 
x
1
< 0,1; –1,3 < 
x
2
< –1,1}; 

---

146 
D
II
= {0,7 < 
x
1
< 0,9; 0,6 < 
x
2
< 0,8}; 
D
III
= {–0,1 < 
x
1
< 0; 1,1 < 
x
2
< 1,3}; 
D
IV
= {–0,9 < 
x
1
< –0,7; 0,6 < 
x
2
< 0,8}; 
3.16-rasm. 1-misolda berilgan tenglamalar sistemasi ildizining boshlang‘ich yaqin-
lashishini grafik usul bilan Mathcad dasturi yordamida aniqlash. 
Sistemaning barcha yechimlari uchun iteratsion jarayonning yaqinlashish formu-
lasini chiqaramiz. 
I-yechim uchun: 














)
1
(
)
1
7
,
0
(
3
1
2
1
2
2
2
2
1
1
1
x
x
tg
x
x
x
x
x
Xususiy hosilalarni aniqlaymiz: 
;
)
1
(
2
x
x
;
)
1
(
2
x
x
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2












x
x
tg
x
x
tg


Birinchi yechim uchun boshlang‘ich yaqinlashishni aniqlanish sohasidan unga 
yaqin bo‘lgan 
х
1
=0,1; 
х
2
=–1,2 nuqtani olib, yaqinlashish shartini tekshiramiz: 
1.
59
,
0
)
1
)
2
,
1
(
1
,
0
(
2
1
,
0
)
1
)
2
,
1
(
1
,
0
(
2
2
,
1
)
1
(
2
x
)
1
(
2
x
x
x
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2


























tg
tg
x
x
tg
x
x
tg


Ko‘rinadiki, yaqinlashish sharti bajarilayapti. Demak, hosil qilingan ekvivalent 
sistemadan birinchi yechimni aniqlashtirish uchun foydalanish mumkin. 

---

147 
II yechim uchun: 











)
1
(
)
7
,
0
1
2
1
2
2
2
1
x
x
tg
x
x
x
Xususiy hosilalarni aniqlaymiz: 
.
)
1
(
2
x
x
;
)
1
(
2
x
x
;
7
,
0
1
x
0,7
x
;
0
x
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
1






















x
x
tg
x
x
tg
x




Ikkinchi yechim uchun boshlang‘ich yaqinlashishni aniqlanish sohasidan unga 
yaqin bo‘lgan 
х
1
=0,7; 
х
2
=–0,7 nuqtani olib, yaqinlashish shartini tekshiramiz: 
1;
61
,
0
)
7
,
0
(
7
,
0
1
7
,
0
7
,
0
7
,
0
1
x
0,7
0
x
x
2
2
2
2
2
1
1
1


















x


1.
94
,
0
)
1
)
7
,
0
(
7
,
0
(
2
7
,
0
)
1
)
7
,
0
(
7
,
0
(
2
7
,
0
)
1
(
2
x
)
1
(
2
x
x
x
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2


























tg
tg
x
x
tg
x
x
tg


Ko‘rinadiki, yaqinlashish sharti bajarilayapti. Demak, hosil qilingan ekvivalent 
sistemadan ikkinchi yechimni aniqlashtirish uchun foydalanish mumkin. 
III yechim uchun: 












)
1
(
)
1
7
,
0
(
3
1
2
1
2
2
2
2
1
1
1
x
x
tg
x
x
x
x
x
Xususiy hosilalarni aniqlaymiz: 
.
)
1
(
2
x
x
;
)
1
(
2
x
x
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2










x
x
tg
x
x
tg


Uchinchi yechim uchun boshlang‘ich yaqinlashishni aniqlanish sohasidan unga 
yaqin bo‘lgan 
х
1
=–0,1; 
х
2
=1,2 nuqtani olib, yaqinlashish shartini tekshiramiz: 
1.
59
,
0
)
1
)
2
,
1
(
1
,
0
(
2
1
,
0
)
1
)
2
,
1
(
1
,
0
(
2
2
,
1
)
1
(
2
x
)
1
(
2
x
x
x
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2


























tg
tg
x
x
tg
x
x
tg


Ko‘rinadiki, yaqinlashish sharti bajarilayapti. Demak, hosil qilingan ekvivalent 
sistemadan uchinchi yechimni aniqlashtirish uchun foydalanish mumkin. 

---

148 
IV yechim uchun: 












)
1
(
)
1
7
,
0
(
3
1
2
1
2
2
2
2
1
1
1
x
x
tg
x
x
x
x
x
Xususiy hosilalarni aniqlaymiz: 
.
)
1
(
2
x
x
;
)
1
(
2
x
x
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2










x
x
tg
x
x
tg


To‘rtinchi yechim uchun boshlang‘ich yaqinlashishni aniqlanish sohasidan unga 
yaqin bo‘lgan 
х
1
=–0,7; 
х
2
=0,7 nuqtani olib, yaqinlashish shartini tekshiramiz: 
1.
94
,
0
)
1
)
7
,
0
(
7
,
0
(
2
7
,
0
)
1
)
7
,
0
(
7
,
0
(
2
7
,
0
)
1
(
2
x
)
1
(
2
x
x
x
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2


























tg
tg
x
x
tg
x
x
tg


Ko‘rinadiki, yaqinlashish sharti bajarilayapti. Demak, hosil qilingan ekvivalent 
sistemadan to‘rtinchi yechimni aniqlashtirish uchun foydalanish mumkin. Bu siste-
malarning MathCAD dasturi yordamidagi yechimlari quyidagilar: 
Bu natijalar shuni ko‘rsatadiki, dastur to‘g‘ri ishlayapti va nochiziqli 
tenglamalar sistemasining yechimlari to‘g‘ri topilgan. Aniqlikni oshirish bilan 
iteratsiyalar soni ham oshib boradi. Agar boshlang‘ich yaqinlashish aniq yechimga 
yaqinroq olinsa yaqinlashish tezligi ortadi va, tabiiyki, iteratsiyalar soni ham 
kamayadi. 
2-misol.
Quyidagi tenglamalar sistemasini Mathcad dasturi yordamida 
yeching: 

---

149 







.
44
,
13
2
2
y
x
y
x
Yechish.
Dastur matni quyidagicha: 
3.17-rasm. 
Mashqlar 
Amaliyotda mashina va apparatlarning texnologik va mexanik hisoblari, 
avtomatik boshqaruv tizimlari hisobi, qurilmalarning xos tebranishlari, gomogen 
kimyoviy reaksiyalarning muvozanatli konsentratsiyasi, matematik jarayonlarda ko‘p 
o‘zgaruvchili funksiyaning ektremumini topish va shu kabi masalalar ko‘pincha 

---

150 
nochiziqli tenglamalar sistemasini yechishga olib kelinadi. Shuning uchun quyidagi 
variantlarda ana shunday ba’zi amaliy masalalarning nochiziqli tenglamalari siste-
masi keltirilgan va ularni yuqorida tavsiflangan sonli usullardan foydalanib, ushbu 
topshiriqlar bo‘yicha yechish talab etiladi: 
1. Grafik usulda tenglamalar sistemaning ildizlarini ajrating va ildizlar uchun 
boshlang‘ich yaqinlashishni tanlang. 
2. Tenglamalar sistemasining yechimlarini oddiy iteratsiyalar, Zeydel, Nyuton 
va Broyden usullari bilan 0,00001 aniqlikda toping, bunda iterasiya funksiyalari
 

i
(
x
)
(
i
= 1,2,…) larni tanlashda yaqinlashishning yetarli shartini tekshiring. 
3. Yechish usullari natijalarini taqqoslang (aniqlik, iteratsiyalar soni). 
4. Barcha hisoblashlarni matematik paketlar (Maple, Mathcad, Matlab, Mathe-
matica) yordamida aniqlashtiring. Olingan natijalarni Pascal, Delphi va C++ dastur-
lari yoki MS Excel dasturi natijalari bilan ham taqqoslash tavsiya etiladi. 
№ 
Sistema 
№ 
Sistema 
1. 










.
0
1
,
0
4
2
2
2
y
x
y
x
2. 









.
0
,
0
1
3
2
2
y
x
y
x
3. 











.
0
1
,
0
)
(
4
)
(
2
2
2
2
2
2
2
y
x
y
x
y
x
4. 











.
0
13
,
0
7
2
2
xy
y
x
xy
y
x
5. 












.
0
7
,
0
20
2
5
3
2
2
2
2
y
xy
x
y
xy
x
6. 












.
0
13
7
4
,
0
20
2
2
2
2
2
y
xy
x
y
xy
x
7. 












.
0
4
2
2
3
,
0
3
2
2
2
2
y
x
y
xy
x
y
y
x
8. 












.
0
40
)
)(
(
,
0
16
)
)(
(
2
2
2
2
y
x
y
x
y
x
y
x
9. 













.
0
105
)
3
)(
2
)(
(
,
0
60
)
3
)(
2
)(
(
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
10. 











.
0
30
,
0
136
6
3
3
4
2
2
4
xy
y
x
y
y
x
x
11. 
















.
0
20
6
17
5
2
3
,
0
41
6
38
2
5
10
2
2
2
2
y
x
xy
y
x
y
x
xy
y
x
12. 










.
0
2
)
)(
8
(
,
0
19
3
3
y
x
xy
y
x
13. 











.
0
3
4
2
,
0
2
3
2
2
2
2
y
x
x
y
x
y
x
14. 











.
0
5
,
0
17
3
3
3
3
y
xy
x
y
y
x
x
15. 












.
0
85
)
)(
(
,
0
15
)
)(
(
2
2
2
2
4
4
2
2
y
x
y
x
y
x
xy
y
x
y
x
16. 















.
0
4
2
2
1
,
0
1
2
1
x
y
y
x
y
x
17. 
 







.
1
2
8
,
0
,
2
2
2
y
x
x
xy
tg
18. 












.
4
3
,
1
sin
2
2
y
x
xy
y
x

---

151 
19. 
 











.
0
ln
5
,
7
,
0
2
2
x
y
xy
tg
x
20. 










.
5
,
0
1
cos
,
1
2
6
,
0
2
2
x
y
y
x
21. 







.
0
sin
cos
,
0
2
sin
sin
y
x
y
x
22. 










.
1
5
,
0
sin
2
,
5
,
1
cos
y
x
y
x
23. 








.
0
1
,
1
cos
,
0
2
16
,
0
2
x
y
y
x
y
x
24. 












.
0
3
cos
,
0
5
,
0
1
cos
x
y
x
y
25. 








.
0
4
,
1
cos
,
0
6
,
1
sin
y
x
x
x
y
26. 












.
0
1
,
0
4
,
1
1
,
1
sin
2
x
y
x
y
x
27. 










.
0
4
3
cos
cos
,
0
)
cos(
2
)
cos(
y
x
y
x
y
x
28. 










.
0
1
3
2
,
0
17
3
2
2
/
2
y
x
y
x
29. 












.
0
2
10
,
0
10
1
40
3
1
40
3
x
e
y
e
y
x
30. 










.
0
3
2
,
0
1
log
2
log
2
2
y
x
y
x
x
y
31. 











.
0
lg
3
,
0
1
5
12
2
2
y
x
x
x
xy
x
32. 










.
0
1
3
4
,
0
5
,
2
log
log
y
x
x
y
y
x
33. 













.
0
,
0
6
tg
tg
,
0
3
tg
tg

z
y
x
z
y
z
x
34. 















.
0
4
3
,
0
189
9
4
,
0
9
3
2
2
2
2
2
y
xz
z
y
x
z
y
x
35. 


















.
0
3
)
(
,
0
2
)
(
,
0
4
)
(
2
2
2
2
2
2
y
x
z
x
z
y
z
y
x
36. 

















.
0
3
,
0
3
/
/
/
,
0
3
/
/
/
z
y
x
z
x
y
z
x
y
x
z
z
y
y
x
37. 
















.
0
3
,
0
5
,
0
37
2
2
z
y
x
y
x
y
x
38. 















.
0
7
,
0
10
8
,
0
2
2
2
2
2
2
2
yz
x
z
y
x
z
y
y
x
39. 

















.
0
22
25
,
0
11
10
,
0
13
4
15
2
2
2
z
y
z
y
x
z
y
x
40. 
















.
0
4
8
,
0
9
4
8
,
0
5
2
2
10
2
2
2
yz
z
y
z
y
y
x