O„zbekiston respublikasi oliy va o„rta maxsus ta‟lim vazirligi toshkent davlat iqtisodiyot universiteti

i
i
i
P
u
P
u
P
u
u
i
L
P
m
(20b) 
.
)
1
(
6
1
2
3
2
)
1
(
2
)
1
(
4
3
6
1
))
(
(
:
3
3
3
2
2
2
3
1
2
3
3






























i
i
i
i
P
u
P
u
u
P
u
u
P
u
u
i
L
P
m
(20 v) 
Uch tenglamaning hammasida ham u

[0,1] ekanligi nazarda tutiladi. (20) 
tenglamalarning u o‗zgaruvchi darajalarining yig‗indisi ko‗rinishida ifodalash 
mumkin: 
;
)
(
))
(
(
:
1
1
1







i
i
i
P
u
P
P
u
i
L
P
m
(21a) 




;
2
1
2
))
(
(
:
2
2
1
2
1
2
1
1



















i
i
i
i
i
i
i
P
P
u
P
P
u
P
P
P
u
i
L
P
m
(21b) 


.
2
1
2
2
1
3
1
2
1
2
1
3
1
3
1
4
3
2
1
))
(
(
:
3
3
2
1
3
1
2
3
2
1
3
3
2
1







































i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
P
P
P
u
P
P
u
P
P
P
u
P
P
P
P
u
i
L
P
m
(21v) 
Splaynlarning xossalarini tekshirish uchun (28) tenglamalardan foydalanish 
qulay. Masalan ular yordami bilan m = 2, m = 3 hollar uchun (26) tenglamaga 
o‗xshash ifodani olish mumkin. m = 1 hol uchun (27a) tenglama bunday xizmatni 
bajaradi. Shunday qilib,


;
2
1
))
(
(
:
2
1
1







i
i
i
P
u
P
P
u
i
L
P
m
(22a) 


;
6
1
))
(
(
:
3
1
3
1







i
i
i
P
u
P
P
u
i
L
P
m
(22b) 
Bu tenglamalarda p(L,i)=P
i+1
. Ikkinchi tomondan 
m = 2 bo‗lgan holda
)
(
2
1
)
)
1
((
1
i
i
P
P
L
i
P




(23a) 
m = 3 bo‗lgan holda
i
i
P
P
L
i
P
6
1
6
5
)
)
1
((
1




(23b) 
Agar m = 1 orientir-nuqtalar bir to‗g‗ri chiziqda yotsa, u holda 1-tasdiqdan 
kelib chiqadiki, talab qilishni splaynning qiymatlari ham shu to‗g‗ri chiziqda yotadi. 

---

72 
(23) tenglama ko‗rsatadiki, bu xulosa t

[t
i
, t
i+1
] bo‗lgan holda kuchga ega. Yopiq egri 
chiziqni qurish uchun p
-1 
= p
m
, p
-2 
= p
m-1 
va shu kabi, bundan tashqari t
-1 
= t
m
, t
-2 
= 
t
m-1 
va shu kabi qiymatlarni berish etarli. 
(23) tenglamadan kelib chiqadiki, orientir-nuqtalar bo‗yicha qurilgan splaynlar 
eng ko‗pi bilan m ta nuqtadan lokal bog‗liq bo‗lganligi bilan interpolyatsion 
splaynlardan farq qiladi.
4.3.4. Obyektlar shaklini tasvirlash va V-splaynlar 
Egri chiziq shaklini juda aniq tasvirlash muhim bo‗lgan amaliy masalalar ham 
tez-tez uchrab turadi. Bunday situatsiyaga oid misollardan biri kompyuter bilan 
tutashtirilgan foto nabor qurilmalar uchun simvollar ko‗rinishini sintez qilish xizmat 
qiladi. Ishlab chiqarilayotgan ayrim tizimlarda bu tipdagi simvollar unga mos kontur 
kodidan tashkil etilgan vektorlar yordamida beriladi. So‗ng olingan kontur to‗ldirish 
algoritmlarini biri to‗ldiriladi. Chiziqlarni tasvirlash uchun bu usul vektorlardan 
foydalanishga asoslanganligi sababli simvollarning qiyofasi silliq ko‗rinish uchun 
bunday vektorlar juda ko‗p berish talab qilinadi. Bu holda konturga tegishli 
nuqtalarni emas, balki faqat orientir-nuqtalarni berish bilan cheklanish mumkin 
bo‗lganligi sababli nuqtalar bo‗yicha egri chiziqlarni yasash uchun splaynlardan 
foydalanish bir necha qiziq imkoniyatlarni ochadi. Ko‗rsatilgan masalalarni echishda 
foydalanish maqsadga muvofiq bo‗lgan formulalar quyidagi misolda keltirilgan.
Misol 4 birlashtiruvchi nuqtalar o‗rtasidagi masofalar teng taqsimlangan hol 
uchun kvadratik splayn shaklini qaraymiz. (28b) tenglamadan kelib chiqadiki, p(iL) 
splaynning qiymati har doim (30a) tenglama bilan aniqlanadi, ya‘ni unga mos 
keluvchi splayn orientir-nuqtalardan tashkil etilgan ko‗p burchak tomonlarining 
o‗rtalari orqali o‗tadi. (27b) tenglamani differentsiallash quyidagi natijani beradi: 
.
)
2
(
2
1
1
2











i
i
i
i
i
P
P
u
P
P
P
P
u
(24) 
Bu tenglmamga u = 0 yoki u = 1 qiymatlarni qo‗yish ko‗rsatadiki, 
normallashtirilgan u o‗zgaruvchining bu qiymatlariga mos splayn orientir-nuqtalarda 

---

73 
yasalgan ko‗pburchakning tomonlariga urinadi. (23b) tenglama hadlarini qayta 
guruhlashtirish quyidagi ifodaga olib keladi: 
2
2
1
1
2
2
1
)
1
)(
(
2
1
)
(
2
)
(
2
1
)
(











u
p
p
p
u
u
u
p
p
u
p
i
i
i
i
i
(25) 
u
2 
+ 2(u – u
2
) + (u – 1)
2 
yig‗indi birga teng bo‗lgani uchun, talab qilingan 
splayn ko‗pburchak uchlaridan tashkil etilgan uchburchakning ichida yotadi. Bu 
ko‗pburchakning o‗zi orientir-nuqtalar va bu uchga ikki yaqin tomonlarning o‗rta 
nuqtalari bo‗yicha yasalgan. 
Bu misolda qurilgan splaynning joylashishiga qo‗yilgan cheklanishlar 2-
tasdiqda aniqlanganlarga nisbatan yanada qattiqroq bo‗ladi. Shunday qilib, teng 
oraliq tugunlarda joylashgan kvadratik splaynni obyektning shaklini aniq tasvirlash 
talab qilingan amaliy masalarni echishda foydalanish maqsadga muvofiq. Masalan, 
juda kam sondagi eksperimental nuqtalarga tayanib, obyektning silliq ko‗rinishini 
(qiyofasini) qayta hosil qilish talab qilinganda. Boshlang‗ich orientir-nuqtalarni 
joylashishi va ular bo‗yicha qurilgan splayn tashkil etgan harflarningko‗rinishi 
(qiyofasi) ko‗rsatilgan.
Bu harflar tasvirining tashqi konturi 12 nuqta va ikki ichki konturi 8 nuqta 
bo‗yicha aniqlangan. Bunda ichki konturning har biri uchun 4 nuqtadan 
foydalanilgan. Bu munosabatda kvadratik splaynlar kubik splaynlarga nisbatan 
ustunroq bo‗lib, ular uchun orientir-nuqtalarning ko‗p burchagi bilan talab qilingan 
egri chiziq o‗rtasidagi bog‗liqlik juda ham qattiq emas. Nazariy jihatdan qandaydir 
berilgan egri chiziqni bir xil aniqlik darajasida appraksimatsiya qilish uchun 
kvadratik splaynlardan foydalanilganda kubik splaynlardan foydalanishga nisbatan 
ko‗p tugunlarni soni hech qanday ahamiyatga ega emas. Ushbu izohning to‗g‗riligiga 
ishonch hosil qilish uchun berilgan V harfining (yoki unga o‗xshash biror harfning) 
konturini kubik splayn yordami bilan qurishga harakat qiling. Obyektning shakli 
nuqtalar talab qilingan egri chiziqqa o‗tkazilgan urinmalar bilan berilgan amaliy 
masalalarni echishda kubik splaynlardan foydalanish qulay. 

---

74