1-§. To‘plamlar va ular ustida amallar

U
ga, 
U
ni 

ga 
birdaniga almashtirish natijasida boshqa tenglikni hosil qilish mumkin 
bo‗lsa, u holda hosil qilingan tenglik dastlabki tenglikka
 ikki taraflama 
(qo‘shma) tenglik
deb yuritiladi. 
Biror tenglikka ikki taraflama hisoblangan tenglik uchun ikki 
taraflama tenglik dastlabki tenglik bilan bir xil bo‗ladi. Shuning uchun 
bu tengliklar 
o‘zaro
ikki taraflama (qo‘shma) tengliklar
deb 
nomlanadi. Masalan, nolning xossasini ifodalovchi 
A
A
 
va 
birning xossasini ifodalovchi 
A
A

U
tengliklar o‗zaro ikki taraflama 
(qo‗shma) tengliklardir. 
Ekvivalent tasdiqlar:
Ixtiyoriy 
va 
to‘plamlar uchun quyidagi tasdiqlar 
ekvivalentdir: 
1
)
 
A
B

; 2
)
 
A
B
A

; 3
)
 
A
B
B

.
1.7-misol: 


3,5,7,9,11,18
A

, 


1,5,8,9,10
В

, 


1, 2,3, 4,5
С

to‘plamlar berilgan, to‘plamlar kesishmasining assosiativlik qonunini 
isbotlang.
Yechimi: 




А
В
С
А
В
С

  

ayniyatni isbotlash uchun 




А
В
С
А
В
С

  

va 

 

А
В
С
А
В
С





qism 
to‘plam shartlarini bajarilishini ko‘rib chiqamiz. 
1.
Aytaylik


x
А
В
С



bo‘lsin, u holda quyidagilarga ega 
bo‘lamiz 
,
,
x
A
B
x
С
 




,
,
,
x
A
x
B
x
С


 

 

,
,
x
A
x
B
C


  

Bundan esa, 


x
А
В
С
 

kelib chiqadi 
A
B

---

2.
ikkinchi qarashlilik ham shunga o'xshash tarzda isbotlanadi:
Aytaylik


у А
В
С
 

bo‘lsin, bundan quyidagilarga ega 
bo‘lamiz 
,
,
у A
у B C


  

,
,
,
у A
у B
у С


 

 

,
.
у A
B
у С
 




natijada 


у
А
В
С



kelib chiqadi. Ayniyat isbotlandi.




А
В
С
А
В
С

  

tenglikni berilgan 
А
, 
В
, 
С
to‘plamlar 
misolida tekshirib ko‘ramiz:
 
1,5
В
С
 
, 

  
5
А
В
С



; 
 
5
A
B
 
, 


 
5
А
В
С

 
. Demak, 




А
В
С
А
В
С

  

. 
1.8-misol:
Koordinatalar tekisligida x
2
+y
2
≤1 va x
2
+(y-1)
2
≤1 
shartlarni qanoatlantiradigan koordinata tekisligining A va B nuqtalari 
to‘plamini aniqlang. 2-rasmdagi qaysi figuralar 
A
B

, 
А
to‘plamlarni 
ifodalaydi? 
Yechimi: 
Ikkala to'plam ham tekislikda radiusi 
R
= 1 teng bo'lgan 
doiralarni bildiradi, birinchi doira markazi koordinatalari (0, 0) nuqtada, 
ikkinchisining markazi esa (0, -1) nuqtada joylashgan. 
А, В, 
A
B

, 
А
to‘plamlarni ifodalovchi figuralar 2-rasmda keltirilgan. 
 
 
 

A 
 
B
A
B

А
2-rasm 
1.9-misol:
Istalgan 
А
, 
В
va 
С 
to‘plamlar uchun: 1) 
A
B

; 2) 
A
B
A

; 3) 
A
B
B

ifodalar tengligini isbotlang. 
Yechimi
: Birinchi shartdan ikkinchisi kelib chiqishini isbotlaymiz. 
A
B
A

ekanligidan 
A
A
B

kelib chiqishini qaraymiz. Agar
x
A

bo‘lsa, u holda 
x
B

bo‘ladi. Aslida,
A
B

ekanligidan 
x
A
B

kelib chiqadi. 
Ikkinchi shartdan uchinchisi kelib chiqishini qarab chiqamiz. 
A
B
A

ekanligidan 


A
B
A
B
B

deb olish mumkin. Yutilish 
qonuniga ko‘ra 


B
A
B
B

bo‘ladi va kommutativlik qonunini 
qo‘llab 
A
B
B

ga ega bo‘lamiz.
у 
1
1 х
х 
у 
1 
1
х х 
у 
1 
1
х х 
у 
1 
1
х х 

---

Endi uchinchi shartdan birinchisini kelib chiqishini isbotlaymiz. 
A
A
B

ekanligidan uchinchi shartga binoan 
A
B
B

bo‘lsa, demak 
A
B

. 
1.10-misol: 
Agar 
{1, 2,3, 4,5}
A

, 
{2,3, 4,5, 6}
B

,
{2,3, 6, 7}
A

, 
{2, 5, 6, 7,8}
D

, 
{1,...,8}
I

(
, , ,
I
A B C D

larga nisbatan universal) bo‘lsa,
A
C
A
B
C
A
C
D
      
to‘plam elementlarini aniqlang (yutilish qoidasini qo‘llab): 
Yechimi
:
To‘plamlar algebrasidagi 11)- va 2)-qoidalarga asosan,
(
)
(
)
A
C
A
B
C
A
C
U
B
    



deb yozish mumkin.
Yana 2)-qoidaga asosan, 
A
C
A
C
A
C
    
; 
U
B
U
 
va 
(
)
A
C
U
A
C


 
bo‘ladi. Natijada, berilgan ifoda
A
C
A
C
D
   
ko‘rinisni oladi. 11)- va 2)- qoidalarni yana bir 
bor qo‘llab 
(
)
(
)
A
C
A
C
D
A
C
U
D
   




; 
(
)
A
C
U
A
C


 
larni hosil qilamiz. 
Demak, natija 
{2,3}
A
C
 
. 
1.11-misol: 
Quyidagi ifodani soddalashtiring: 
A
B
C
A
B
C
A
B
      
; 
Yechimi
: 
Berilgan ifodaning 
A
B
C
A
B
C
    
qismini 
(
)
(
)
A
B
C
A
B
C
A
B
C
C
     



deb yozish mumkin. 
C
C
U
 
 
ekanligini hisobga olsak, 
(
)
A
B
U
A
B

  
bo‘ladi. 
Demak,
 
(
)
U
C
A
B
U

 

 
yechim bo‘ladi. 
1.12-misol: 
… nuqtalarni o‘rniga = yoki ≠ belgilarni qo‘ying. 
1) 
...
A
B
C
B
C A
C
   

; 
Yechimi
: 
2)-qoidaga asosan, 
(
)
(
)
B
C
B
C
B
C



 
; bo‘ladi. 
10)- qoidaga asosan 
(
)
(
)
(
)
A
B
C
A
B
A
C

ekanligidan
nuqtalar o‘rniga ≠ qo‘yishimiz kelib chiqadi.
To‘plamlarning Dekart ko‘paytmasi.
1.10-ta’rif. 
Tartiblangan 
1
2
,
,...,
n
A A
A
to‘plamlar elementlaridan 
tuzilgan 
n
o‘rinli barcha qism to‘plamiga shu 
to‘plamlarning Dekart 
ko‘paytmasi
 (qisqacha, 
Dekart ko‘paytmasi
) deb ataladi. 
Ba‘zan to‗plamlarning Dekart ko‗paytmasi iborasi o‗rniga 
to‘plamlarning to‘g‘ri ko‘paytmasi
iborasidan ham foydalaniladi. 
)
(
)
(
)
(
C
А
B
А
C
B
А







---

Tartiblangan 
1
2
,
,...,
n
A A
A
to‗plamlarning 
Dekart 
ko‗paytmasi 
1
2
...
n
A
A
A

 
yoki 
1
n
i
i
A


ko‗rinishda belgilanadi, ya‘ni 
1
2
1
2
1
...
{
,
,...,
|
,
1, }
n
n
i
n
i
i
i
A
A
A
A
a a
a
a
A i
n


 

 




. 
To‗plamlarning Dekart ko‗paytmasi tushunchasining aniqlanishida 
bu ko‗paytmada qatnashuvchi to‗plamlarning soni ham muhim 
hisoblanadi. 
n
ta to‗plamlarning Dekart ko‗paytmasi iborasi o‗rniga 
n
 
o‘rinli Dekart ko‘paytmasi
iborasi ham qo‗llaniladi. 
Tabiiyki, agar 
1
2
,
,...,
n
A A
A
to‗plamlarning birortasi bo‗sh to‗plam 
bo‗lsa, u holda ulardan foydalanib birorta ham qism to‘plam tuzish 
imkoniyati yo‗q. Demak, tarkibida hech bo‗lmasa bitta bo‗sh to‗plam 
qatnashgan 
1
2
,
,...,
n
A A
A
to‗plamlarning Dekart ko‗paytmasi ham
bo‘sh 
to‗plamdir, ya‘ni 
1
2
...
n
A
A
A

 
 
. 
Dekart ko‗paytmasidan to‗plamlar bilan bog‗liq murakkab 
tuzilmalarni hosil qilishda va ularda ko‗paytma tushunchasini aniqlashda 
foydalaniladi. To‗plamlarning to‗g‗ri ko‗paytmasi tushunchasidan 
foydalanib,