1-§. To‘plamlar va ular ustida amallar

 
 

---

2-§. Munosabatlar. Binar munosabatlar. Ekvivalentlik munosabati. 
Tartiblangan to‘plamlar. 
 
2.1-ta’rif.
A to‘plamning B to‘plamga R munosabati deb 
A B

to‘g‘ri ko‘paytmaning 
R
A B
 
qism to‘plamiga aytiladi. Munosabatlar 
quyidagicha ifodalanadi: 
aRb
, agar 
,
R
A B
a b
 



. 
(Bu ta‘ririf binar munosabatlar uchun, ya‘ni ikkita to‘plam 
orasidagi munosabat) 
2.2-ta’rif.
Agar 
A=B 
bo‘lsa, u holda R munosabat A 
to‘plamdagi munosabat deyiladi. 
A to‘plamdagi turli munosabatlar orasida quyidagi munosabatlar 
ahamiyatli: 

umumiylik munosabati:
U
A B
 

to‘ldirish munosabati:
\
R
U R


teskari munosabat: 
{
,
:
,
}
a b
b a
R

 


ayniyat:
{
,
:
}
I
a a
a
A
 
 
2.3-ta’rif.
1
R
A B
 
va 
2
R
B C
 
munosabatlarning 
kompozitsiyasi deb
{
,
:
:
,
}
1
2
1
2
R
R
A C
a c
b
B aR b bR c
   
  
munosabatiga 
aytiladi.
A to‘plamdagi munosabatlar kompozitsiyasi deb A to‘plamdagi 
munosabatlarga aytiladi.
2.4-ta’rif.
A to‘plamidagi R munosabatlar darajasi uning o‘ziga 
bo‘lgan kompositsiyasiga 
...
...
n
R
R R
n marta

Nolinchi va birinchi darajali munosabatlar darajasini kiritish orqali 
quyidagi ta‘rifga ega bo‘lamiz: 
1
2
1
,
,
, ... ,
n
n
R
I R
R R
R R
R
R
R





Agar juftlik biror bir n quvvatli A to‘plamdagi R 
munosabatlar darajasiga taaluqli bo‘lsa, u holda bu juftlik n-1 dan yuqori 
bo‘lmagan R darajaga ham ham taaluqli bo‘ladi. 
1
2
(
, |
|
)
1
1
n
i
i
R
A
A
n
R
R
i
i








To‘plamda munosabatlar xususiyatlari: 
A to‘plamda R munosobat
ga teng bo‘lsin. 

---

To‘plamda munosabatlar asosiy xususiyatlarini qarab chiqamiz. 
Agar 
,
a
A a a
R
  

bo‘lsa, R refleksiv xususiyatga ega; 
Agar 
,
a
A a a
R
  

bo‘lsa, R antirefleksiv xususiyatga ega; 
Agar 
,
,
a a b
R b a
R
 
 

bo‘lsa, R simmetrik xususiyatga 
ega; 
Agar 
,
(
,
,
)
a b
A
a b
R b a
R
a
b



 

 
antisimmetrik 
xususiyatiga ega; 
Agar 
, ,
(
,
,
)
,
a b c
A
a b
R b c
R
a c
R



 



tranzitivlik 
xususiyatiga ega; 
Agar 
,
(
,
)
(
,
)
a b
A
a b
R yoki
b a
R






bo‘lsa, to‘liq (yoki 
chiziqli) bo‘ladi.
A to‘plamda R munosobat 
2
R
A

ko‘rinishda bo‘lsin. U holda, 
R refleksiv
I
R

R antirefleksiv 

R
I
  
R simmetrik 

1
R
R


R antisimmetrik 

1
R
R
I



R tranzitiv

R R
R

R to‘liq

1
R
I
R
U

 

bo‘ladi. 
Funksiyalar.
Funksiya matematikaning asosiy tushunchalaridan 
biri bo‘lib, 
A
to‘plamni 
B
to‘plamga bir qiymatli akslantiruvchi 
munosabatni ifodalab, 
:
f A
B

ko‘rinishda yoziladi. 
2.5-ta’rif: 
f
– munosabat
 A
to‘plam bilan 
 B
to‘plam o‘rtasidagi 
 
(
,
,
,
)
,
a b a
f
a c
f
b
c

  

 
ko‘rinishdagi munosabat bo‘lsin, u holda bunday munosabatga funksiya 
deyiladi va quyidagicha belgilanadi: 
:
f A
B

 yoki 
f
A
B


Agar 
,
a b
f


 
bo‘lsa, u holda 
( )
b
f a

 
bo‘ladi
, a 
funksiya 
argumenti deb
, b 
esa funksiya qiymati deb ataladi.
2.6-ta’rif: 
Agar 
1
( )
b
f a

va 
2
(
)
b
f a

ekanligidan 
1
2
a
a

kelib 
chiqsa, u holda 
:
f A
B

funksiya in‘yektiv deyiladi.
 
2.7-ta’rif:
Agar 
,
b
B
a
A
 
 
munosabatlaridan 
( )
b
f a

kelib 
chiqsa, u holda 
:
f A
B

funksiya syub‘yektiv deyiladi.

---

2.8-ta’rif:
Agar 
:
f A
B

funksiya bir vaqtning o‘zida ham 
in‘yektiv, ham syur‘yektiv bo‘lsa, u holda, funksiya biyektiv yoki o‘zaro 
bir qiymatli deyiladi,
Bir vaqtning o‘zida refliksivlik, simmetriklik va tranzitivlik 
shartlari bajariladigan munosabatga ekvivalentlik munosabati deyiladi. 
Agar 
R
ekvivalentlik munosabatida 
,
a b
R


bajarilsa, quyidagi 
belgilash ishlatiladi:
a
b

. 
2.9-ta’rif:
R
–
 A
to‘plamdagi ekvivalentlik munosabati bo‘lsin. 
A
to‘plamning
a 
elementi
 
bilan
R 
munosabatda bo‘lgan
 
to‘plamga, 
a
A

elementning ekvivalentlik sinfi deyiladi: 
[ ] { |
}
a
b a
b


Bunda quyidagi munosabatlar bajarilishi lozim:
 
[ ]
a
A a
 
 
, 
[ ] [ ]
a
b
a
b
 

, 
[ ]
[ ]
a
b
a
b
 

 
. 
2.10-ta’rif:
Birlashmasi 
A 
to‘plamga teng bo‘lgan, 
A
ning o‘zaro 
kesishmaydigan qism to‘plamlariga, to‘plamni bo‘laklash deyiladi.
 
{ }
i i I
B



, 
A
to‘plam qism to‘plamlarining biror to‘plami 
bo‘lsin.
,
A 
ni bo‘laklash deyiladi, agarda 

uchun quyidagi xossa o‘rinli 
bo‘lsa:
i
j
B
B

 
bunda
,
.
i
i I
i
j
B
A



Faktor to’plam. 
A 
to‘plamning,
R
ekvivalentlik munosabatiga 
nisbatan ekvivalentlik munosabatlar to‘plami faktorto‘plam deyiladi va 
/
A R
ko‘rinishda belgilanadi. 
Faktorto‘plam, 
A
to‘plamning barcha qism to‘plamalari 
to‘plamining qism to‘plami hisoblanadi: 
A
:
 
/
2
A
A R


2.1-misol.
Z
butun sonlar to‘plami uchun quyidagi 
R
munosabatni 
o‘rnatamiz: 
aRb
, agarda
 a-b,
5 ga qoldiqsiz bo‘linsa. 
Ushbu munosabat ekvivalentlik munosbatidir, chunki, bunda 
refleksivlik, simmetriklik, va tranzitivlik munosabatlari qoldiqli bo‘lish 
amalining xossalaridan kelib chiqadi. 
Z 
ning 
Z/R
faktor to‘plami quyidagi 5 ta ekvivalentlik sinfidan 
iborat bo‘ladi: 
/
{[0],[1],[2],[3],[4]}
Z R


---

Tartiblash munosabati. 
Tartiblash munosabati matematika, 
informatika va kundalik hayotda keng qo‘llaniladi. U yoki bu 
ob‘ektlalarni tartiblash tez-tez uchrab turadigan hodisa. 
Matemtikada, 
maksimum, 
minimum, 
funksiya 
monotonligi 
tushunchalarining asosini munosabat belgilaydi.
Informatikada, barcha saralash, qidirish va boshqa algoritmlar 
tartiblash munosabatiga tayanadi.
2.11-ta’rif:
Antisimmetrik tranzitv munosabat tatiblash 
munosabati deyiladi.
2.12-ta’rif:
Refleksiv tartiblash munosabati noqat‘iy tatiblash 
munosabati 
deyiladi.
2.13-ta’rif:
Antirefleksiv tartiblash munosabati qat‘iy tatiblash 
munosabati 
deyiladi. 
2.14-ta’rif:
Agar tartiblash munosabati to‘liq bo‘lsa, u to‘liq yoki 
chiziqli tartiblash deyiladi, aks holda qisman tartiblash deyiladi. 
Agar R – tartiblash munosabati bo‘lsa, u holda 
aRb
quyidagilarni 
bildiradi: 
a
b

qat‘iy tartib; 
a
b

noqat‘iy tartib; 
a
b

umumiy holda. 
2.15-ta’rif:
A 
to‘plamning 
a 
elementi tartiblash munosabiga nisbatan 
minimal element deyiladi, agarda unga nisbatan kichik element mavjud 
bo‘lmasa: 
:(
,
)
b
A b
a b
a
 

2.16-ta’rif:
 
A
va 
B 
tartiblangan to‘plamalar bo‘lsin. Agarda 
1
2
,
a a
A


uchun 
1
2
a
a

dan 
1
2
( )
(
)
f a
f a

kelib chiqsa, 
:
f A
B

funksiya monoton deyiladi. 
2.17-ta’rif:
Agarda 
1
2
,
a a
A


uchun 
1
2
a
a

dan 
1
2
( )
(
)
f a
f a

kelib chiqsa, 
:
f A
B

funksiya qat‘iy monoton deyiladi. 
2.2-misol:
А
={1,2,3,4} to‘plamda 
R
={<
x
; 
y
>: 
x
> 
y
} munosabat 
mavjud bo‘lsin. 
R
ning qiymatlari va aniqlanish sohasini toping. 
 
; 
munosabatlarni matrisalar usulida aniqlang. Munosabatlarning 
xossalarini keltiring.
Yechimi: 
Dastlab
 
А
to‘plamning
R
: 
R
= {<2, 1>, <3, 1>, <3, 2>, <4, 1>, <4, 2>, <4, 3>} munosabatga 
tegishli barcha elementlari tartiblangan juftliklarini hosil qilamiz. 
1

R
R
R
R


---

Munosabatning aniqlanish sohasi
D
R
={2,3,4}, qiymatlari sohasi 
E
R
= {1,2,3}. 
={<
у
; 
х
>: <
x
; 
y
>
R
}={<
x
; 
y
>: 
y
>
x
}={<
x
; 
y
>: 
x
<
y
}. 
={<
х
; 
у
>: <
x
; 
y
>
R
}={<
x
; 
y
>: 
x y
}. 
R
,
R
-1
; 
va 
munosabatlarning matrisalari quyida keltirilgan: 
; 
; 
;
. 
R
munosabat 
kompoiztsiyasining 
r
ij
elemuntlarini aniqlashni 
bir nechta misolda tushuntiramiz:
; 
; 
; 
; 
; 
R munosabat antirefliksiv hisoblanadi, sababi istalgan
x R
element uchun 
x
>
x
shart bajarilmaydi.
R
munosabat nosemmitrik, sababi istalgan
x
, 
y А
elementlar 
uchun, 
x
>
y
ekanligidan
y
>
x 
kelib chiqmaydi. 
R
antisimmetrik hamda tranzitiv xususiyatga ega sababi istalgan
x
, 
y
, 
z А
elementlar uchun: agar
x
>
y
va
y
>
z 
bo‘lsa, demak
x
>
z
.