42
43
Bu funksiya
( ;0) (0;
)
−∞
∪
+ ∞
oraliqda aniqlangan. Uning hosilasi:
2
1
1
)
('
x
x
f
−
=
;
f
ʹ(
x
) > 0, ya’ni
0
1
1
2
>
−
x
tengsizlikni oraliqlar usuli bilan
yechib, hosilaning (–
∞
; –1) va (1; +
∞
) oraliqlarda musbatligini topamiz.
Xuddi shuningdek,
0
)
('
<
x
f
, ya‘ni
0
1
1
2
<
−
x
tengsizlikni oraliqlar usuli
bilan yechib, bu tengsizlik (–1; 0) va (0; 1) oraliqlarda bajarilishini bilib
olamiz.
Javob:
funksiya (–
∞
; –1) va (1; +
∞
) oraliqlarda o‘sadi; funksiya (–1; 0)
va (0; 1) oraliqlarda esa kamayadi.
▲
Funksiyaning statsionar nuqtalari.
y = f
(
x
) funksiya (
a
;
b
) oraliqda
aniqlangan bo‘lsin.
1-ta’rif.
y
=
f
(
x
) funksiyaning hosilasi 0 ga teng bo‘ladigan nuqtalar
statsionar nuqtalar
deyiladi.
3-misol.
Funksiyaning statsionar nuqtalarini toping:
3
2
( ) 2
3
12 3
f x
x
x
x
=
−
−
+
.
Funksiyaning hosilasini topib, uni nolga tenglaymiz:
f
ʹ(
x
) = 6
x
2
–
– 6
x
– 12 = 0. Bu tenglamani yechib funksiyaning statsionar nuqtalari
x
1
= –1
, x
2
=2 ekanini topamiz.
Javob:
funksiyaning statsionar nuqtalari
x
1
= –1,
x
2
= 2.
▲
Funksiyaning lokal maksimum va lokal minimumlari.
Funksiyaning
lokal maksimum va lokal minimumlarini aniqlash
uchun hosiladan foyda-
lanamiz.
22- rasm.
3-teorema.
f
(
x
) funksiya (
a
;
b
) oraliqda aniqlangan va
f
′(
x
) mavjud;
(
a
;
x
0
) oraliqda
0
)
('
>
x
f
va (
x
0
;
b
)oraliqda
0
)
('
<
x
f
bo‘lsin,
x
0
∈(
a
;
b
)
.
U holda
0
x
nuqta
( )
x
f
funksiyaning lokal maksimumi bo‘ladi (22-
a
rasm).
44
45
4-teorema.
( )
x
f
funksiya (
a
;
b
)oraliqda aniqlangan va
f
′(
x
) mavjud;
(
)
0
;
x
a
oraliqda
0
)
('
<
x
f
va
(
)
b
x
;
0
oraliqda
0
)
('
>
x
f
bo‘lsin,
x
0
∈(
a, b
)
.
U holda
0
x
nuqta
( )
x
f
funksiyaning lokal minimumi bo‘ladi (22-
b
rasm).
3, 4-teoremalarni isbotsiz qabul qilamiz.
2-ta‘rif.
Funksiyaning lokal maksimum va lokal minimumlariga uning
ekstremumlari
deyiladi.
4-misol.
Funksiyaning lokal maksimum va
lokal minimum nuqtalarini
toping:
( )
3
3
3
+
−
=
x
x
x
f
.
Funksiyaning hosilasini topamiz:
( )
(
)(
)
1
1
3
3
3
2
+
−
=
−
=
′
x
x
x
x
f
. Hosila
barcha nuqtalarda aniqlangan va
1
±
=
x
nuqtalarda nolga aylanadi. Shuning
uchun
1
±
=
x
nuqtalar funksiyaning kritik nuqtalaridir. Oraliqlar usulidan
foydalanib (–
∞
; –1) va (1; +∞) oraliqlarda
0
)
('
>
x
f
, (–1; 1) oraliqda esa
0
)
('
<
x
f
ekanini aniqlaymiz. Demak,
1
−
=
x
lokal maksimum va
1
=
x
lokal
minimum nuqtalari ekan (23-rasm).
f
(
x
)=
x
3
–3
x
+3
23-rasm.
Javob:
1
−
=
x
lokal maksimum va
1
=
x
lokal minimum nuqta.
▲
Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari
bilan 10-sinfdan
tanishmiz.
f
(
x
) funksiya [
a; b
] kesmada aniqlangan va (
a
;
b
) da hosilasi mavjud
bo‘lsin. Uning eng katta qiymatini topish qoidasi shunday:
1) funksiyaning bu oraliqdagi barcha statsionar nuqtalari topiladi;
2) funksiyaning statsionar, chegaraviy
a
va
b
nuqtalardagi qiymatlari
hisoblanadi;
44
45
3) bu qiymatlarning eng kattasi funksiyaning shu oraliqdagi eng
katta qiymati deyiladi.
Funksiyaning eng kichik qiymati ham shu kabi topiladi.
5-misol.
( )
1
2
2
4
+
−
=
x
x
x
f
x
3
+ 4,5
x
2
– 9
funksiyaning [–4; 2]
oraliqdagi eng katta va
eng kichik qiymat larini toping.
Funksiyaning hosilasini topamiz:
( )
x
x
x
f
4
4
3
−
=
′
3
x
2
+9
x
. Hosilani nolga
teng lab, funksiyaning statsionar nuqtalarini topamiz:
f
′(
x
) = 3
x
(
x
+3) = 0 ,
x
1
= 0 va
x
2
= – 3 . Funksiyaning topilgan
x
1
= 0,
x
2
= –3 hamd a
a =
– 4 ,
b=
2 nuqtalardagi qiymatlarini topamiz:
f
( 0)=0
3
+4,5∙0
2
–9=–9,
f
(–3)=(3)
3
+4,5∙(–3)
2
–9=4,5,
f
(–4)=(–4)
3
+4,5∙4
2
–9=–1,
f
(2)=2
3
+4,5 ∙2
2
–9=17.
Demak, funksiyaning eng katta qiymati 17 va eng kichik qiymati –9 ekan.
Javob:
funksiyaning eng katta qiymati 17 va eng kichik qiymati –9.
▲
Hosila yordam
ida funksiyani tekshirish va grafigini yasash.
Funksiya
grafigini yasashni quyidagi ketma-ketlikda amalga oshiramiz.
Funksiyaning:
1) aniqlanish sohasini;
2) statsionar nuqtalarini;
3) o‘sish va kamayish oraliqlarini;
4) lokal maksimum va lokal minimumlarini hamda funksiyaning shu
nuqtalardagi
qiymatlarini topamiz;
5) topilgan ma’lumot
larga ko‘ra funksiyaning grafigini yasaymiz.
Grafikni yasashda funksiya grafigini koordinata o‘qlari bilan kesisish va
boshqa ayrim nuqtalarini topish maqsadga muvofiq.
6-misol.
f
(
x
)
= x
3
–
3
x
funksiyani hosila yordamida tekshiring va uning
grafigini yasang.
1. Funksiya (–∞; +∞) oraliqda aniqlangan.
2. Statsionar nuqtalarini topamiz:
f
′(
x
)=(
x
3
–3
x
)′ = 3
x
2
–3=0.
x
1
=1 va
x
2
= –1 statsionar nuqtalardir.
3. Funksiyaning o‘sish va kamayish oraliqlarini topamiz:
(–∞; –1)
U
(1; +∞) oraliqlarda
f
′(
x
) > 0 bo‘lgani uchun
f
(
x
) funksiya
shu oraliqlarda o‘sadi va (–1; 1) oraliqda
f
′(
x
) < 0 bo‘lgani uchun
f
(
x
) =
x
3
– 3
x
f u n k s iya (–1; 1) oraliqda kamayadi.
46
47
4.
x=
–1 bo‘lganda funksiya lokal maksimum
f
(–1)=(–1)
3
–3∙(–1) = 2 ga
va
x
=1 bo‘lganda
funksiya lokal minimum
f
(1)=1
3
–3∙1
=–2 ga ega.
5. Funksiyaning
Ox
o‘qi bilan kesisish nuqtalarini topamiz:
x
3
– 3
x
=
x
(
x
2
– 3 ) = 0 . Bundan
x
=0 yoki
x
2
–3=0 tenglamani hosil qilamiz.
Tenglamani yechib
x
1
= 0,
x
2
=
3
,
x
3
= –
3
funksiya grafigining
Ox
o‘qi
bilan
kesisish nuqtalarini topamiz. Natijada 24- rasmdagi grafikni hosil
qilamiz.
f
(
x
)=
x
3
–3
x
24-rasm.
Dostları ilə paylaş: