Algebra va analiz asoslari

42
43
18–21
HOSILA YORDAMIDA FUNKSIYANI 
TEKSHIRISH VA GRAFIKLARNI YASASH
Funksiyaning o‘sishi va kamayishi.
 
O‘suvchi va kamayuvchi funksiyalar 
bilan tanishsiz. Endi funksiyaning o‘sish va kamayish oraliqlarini aniqlash 
uchun hosila tushunchasidan foydalanamiz. 
1-teorema. 
y = f
(
x
) funksiya (
a; b
) oraliqda aniqlangan va hosilasi
mavjud bo‘lsin. Agar
 x
∈
(
a; b
) uchun
f
′(
x
) > 0
 
bo‘lsa, 
y = f
(
x
) funksiya
(
a; b
) ora liqda o‘suvchi funksiya bo‘ladi (20-rasm). 
2-teorema.
 
y = f
(
x
) funksiya (
a; b
) oraliqda aniqlangan va hosilasi
mavjud bo‘lsin. Agar
 x
∈ 
(
a; b
) uchun
f
′(
x
) < 0 bo‘lsa, 
y = f
(
x
) funksiya
(
a; b
) oraliqda kamayuvchi funksiya bo‘ladi (21-rasm). 
20-rasm. 
 
 
 
21-rasm.
1, 2- teoremalarni isbotsiz qabul qilamiz.
1-misol.
Funksiyaning o‘sish va kamayish oraliqlarini toping: 
3
2
( ) 2
3
12
3
f x
x
x
x
=
−
−
+
.

Bu funksiya 
( ;
)
−∞ + ∞
oraliqda aniqlangan. Uning hosilasi: 
2
'( ) 6
6 12 6(
2)( 1)
f x
x
x
x
x
=
−
−
=
−
+
.
0
)
('
>
x
f
, 
0
)
('
<
x
f
 
tengsizliklarni oraliqlar usuli bilan yechib, 
( ; 1)
−∞ −
va 
(2;
)
+ ∞
oraliqlarda funksiyaning o‘sishi hamda (–1;2) oraliqda funksiya-
ning kamayishini bilib olamiz.
Javob:
(–
∞
; –1)
va (2; +
∞
) oraliqlarida funksiya o‘sadi; (–1; 2) oraliqda 
esa funksiya kamayadi. 
▲
2-misol. 
Funksiyaning o‘sish va kamayish oraliqlarini toping: 
x
x
x
f
1
)
(
+
=
.

---

42
43

Bu funksiya 
( ;0) (0;
)
−∞
∪
+ ∞
oraliqda aniqlangan. Uning hosilasi:
2
1
1
)
('
x
x
f
−
=
; 
f 
ʹ(
x
) > 0, ya’ni 
0
1
1
2
>
−
x
tengsizlikni oraliqlar usuli bilan 
yechib, hosilaning (–
∞
; –1) va (1; +
∞
) oraliqlarda musbatligini topamiz. 
Xuddi shuningdek, 
0
)
('
<
x
f
, ya‘ni 
0
1
1
2
<
−
x
tengsizlikni oraliqlar usuli 
bilan yechib, bu tengsizlik (–1; 0) va (0; 1) oraliqlarda bajarilishini bilib 
olamiz. 
Javob:
funksiya (–
∞
; –1) va (1; +
∞
) oraliqlarda o‘sadi; funksiya (–1; 0) 
va (0; 1) oraliqlarda esa kamayadi. 
▲
Funksiyaning statsionar nuqtalari.
 
y = f
(
x
) funksiya (
a
;
 b
) oraliqda 
aniqlangan bo‘lsin. 
1-ta’rif.
 
y 
= 
f
(
x
) funksiyaning hosilasi 0 ga teng bo‘ladigan nuqtalar
statsionar nuqtalar
deyiladi.
3-misol.
Funksiyaning statsionar nuqtalarini toping: 
3
2
( ) 2
3
12 3
f x
x
x
x
=
−
−
+
.

Funksiyaning hosilasini topib, uni nolga tenglaymiz: 
f 
ʹ(
x
) = 6
x
2
– 
– 6
x 
– 12 = 0. Bu tenglamani yechib funksiyaning statsionar nuqtalari
x
1
= –1 
, x
2
=2 ekanini topamiz.
Javob:
funksiyaning statsionar nuqtalari
x
1 
= –1,
 x
2 
= 2. 
▲
Funksiyaning lokal maksimum va lokal minimumlari.
 
Funksiyaning
lokal maksimum va lokal minimumlarini aniqlash uchun hosiladan foyda- 
lanamiz. 
22- rasm.
3-teorema.
 
f 
(
x
) funksiya (
a
;
 b
) oraliqda aniqlangan va 
f
′(
x
) mavjud;
(
a
;
x
0
) oraliqda 
0
)
('
>
x
f
va (
x
0
; 
b
)oraliqda 
0
)
('
<
x
f
bo‘lsin, 
x
0
∈(
a
;
 b
)
.
U holda 
0
x
nuqta 
( )
x
f
funksiyaning lokal maksimumi bo‘ladi (22-
a 
rasm).

---

44
45
4-teorema. 
( )
x
f
funksiya (
a
; 
b
)oraliqda aniqlangan va 
f
′(
x
) mavjud; 
(
)
0
;
x
a
oraliqda 
0
)
('
<
x
f
va 
(
)
b
x
;
0
oraliqda 
0
)
('
>
x
f
bo‘lsin, 
x
0
∈(
a, b
)
.
U holda 
0
x
nuqta 
( )
x
f
funksiyaning lokal minimumi bo‘ladi (22-
b
rasm).
3, 4-teoremalarni isbotsiz qabul qilamiz.
2-ta‘rif. 
Funksiyaning lokal maksimum va lokal minimumlariga uning 
ekstremumlari
deyiladi.
4-misol.
Funksiyaning lokal maksimum va lokal minimum nuqtalarini 
toping:
( )
3
3
3
+
−
=
x
x
x
f
.

Funksiyaning hosilasini topamiz: 
( )
(
)(
)
1
1
3
3
3
2
+
−
=
−
=
′
x
x
x
x
f
. Hosila 
barcha nuqtalarda aniqlangan va 
1
±
=
x
nuqtalarda nolga aylanadi. Shuning 
uchun 
1
±
=
x
nuqtalar funksiyaning kritik nuqtalaridir. Oraliqlar usulidan 
foydalanib (–
∞
; –1) va (1; +∞) oraliqlarda 
0
)
('
>
x
f
, (–1; 1) oraliqda esa 
0
)
('
<
x
f
ekanini aniqlaymiz. Demak, 
1
−
=
x
lokal maksimum va 
1
=
x
lokal 
minimum nuqtalari ekan (23-rasm). 
f
(
x
)=
x
3
–3
x
+3
23-rasm.
Javob:
1
−
=
x
lokal maksimum va 
1
=
x
lokal minimum nuqta. 
▲
Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari 
bilan 10-sinfdan 
tanishmiz. 
f
(
x
) funksiya [
a; b
] kesmada aniqlangan va (
a
; 
b
) da hosilasi mavjud
bo‘lsin. Uning eng katta qiymatini topish qoidasi shunday: 
1) funksiyaning bu oraliqdagi barcha statsionar nuqtalari topiladi;
2) funksiyaning statsionar, chegaraviy 
a 
va
 b
nuqtalardagi qiymatlari
hisoblanadi;

---

44
45
3) bu qiymatlarning eng kattasi funksiyaning shu oraliqdagi eng 
katta qiymati deyiladi. 
Funksiyaning eng kichik qiymati ham shu kabi topiladi. 
5-misol. 
( )
1
2
2
4
+
−
=
x
x
x
f
 
x
3 
+ 4,5
x
2 
– 9
 
funksiyaning [–4; 2] oraliqdagi eng katta va 
eng kichik qiymat larini toping.

Funksiyaning hosilasini topamiz: 
( )
x
x
x
f
4
4
3
−
=
′
3
x
2
+9
x
. Hosilani nolga
teng lab, funksiyaning statsionar nuqtalarini topamiz: 
f 
′(
x
) = 3
x
(
x
+3) = 0 ,
x
1
= 0 va 
x
2
= – 3 . Funksiyaning topilgan 
x
1
= 0, 
x
2
= –3 hamd a
a =
– 4 ,
 
b=
2 nuqtalardagi qiymatlarini topamiz: 
f
( 0)=0
3
+4,5∙0
2
–9=–9,
f
(–3)=(3)
3
+4,5∙(–3)
2
–9=4,5, 
f
(–4)=(–4)
3
+4,5∙4
2
–9=–1, 
f
(2)=2
3
+4,5 ∙2
2
–9=17.
Demak, funksiyaning eng katta qiymati 17 va eng kichik qiymati –9 ekan. 
Javob:
funksiyaning eng katta qiymati 17 va eng kichik qiymati –9. 
▲
Hosila yordam
ida funksiyani tekshirish va grafigini yasash. 
Funksiya 
grafigini yasashni quyidagi ketma-ketlikda amalga oshiramiz.
Funksiyaning: 
1) aniqlanish sohasini;
2) statsionar nuqtalarini;
3) o‘sish va kamayish oraliqlarini;
4) lokal maksimum va lokal minimumlarini hamda funksiyaning shu 
nuqtalardagi qiymatlarini topamiz;
5) topilgan ma’lumot
larga ko‘ra funksiyaning grafigini yasaymiz.
Grafikni yasashda funksiya grafigini koordinata o‘qlari bilan kesisish va 
boshqa ayrim nuqtalarini topish maqsadga muvofiq.
6-misol. 
f
(
x
)
= x
3
–
3
x
funksiyani hosila yordamida tekshiring va uning 
grafigini yasang. 
1. Funksiya (–∞; +∞) oraliqda aniqlangan.
2. Statsionar nuqtalarini topamiz:
f
′(
x
)=(
x
3
–3
x
)′ = 3
x
2
–3=0.
x
1
=1 va 
x
2
= –1 statsionar nuqtalardir.
3. Funksiyaning o‘sish va kamayish oraliqlarini topamiz: 
(–∞; –1) 
U
(1; +∞) oraliqlarda 
f
′(
x
) > 0 bo‘lgani uchun 
f
(
x
) funksiya 
shu oraliqlarda o‘sadi va (–1; 1) oraliqda 
f
′(
x
) < 0 bo‘lgani uchun 
f
(
x
) =
x
3
– 3
x
f u n k s iya (–1; 1) oraliqda kamayadi.

---

46
47
4. 
x=
–1 bo‘lganda funksiya lokal maksimum 
f 
(–1)=(–1)
3
–3∙(–1) = 2 ga 
va 
x
=1 bo‘lganda funksiya lokal minimum 
f
(1)=1
3
–3∙1
=–2 ga ega.
5. Funksiyaning 
Ox
o‘qi bilan kesisish nuqtalarini topamiz: 
x
3
– 3
x
=
x
(
x
2
– 3 ) = 0 . Bundan
x
=0 yoki
 x
2
–3=0 tenglamani hosil qilamiz. 
Tenglamani yechib 
x
1
= 0, 
x
2 
= 
3
, 
x
3 
= – 
3
funksiya grafigining 
Ox 
o‘qi 
bilan
kesisish nuqtalarini topamiz. Natijada 24- rasmdagi grafikni hosil 
qilamiz.
f
(
x
)=
x
3
–3
x
24-rasm.