Algebra va analiz asoslari

39–42
):
39. 
1
)
1
(
2
−
=
+
x
x
f
.
40*.
.
1
)
1
(
3
)
(
x
x
f
x
f
=
⋅
+
41. 
4
)
3
(
2
−
=
+
x
x
f
.
42*. 
x
x
f
x
f
=
+
)
1
(
)
(
2
.
Hosilani toping (
43–44
):
43.
1) 
5
)
2
3
(
)
(
−
=
x
x
f
; 2) 
x
e
x
f
sin
)
(
=
; 3) 
7
)
3
4
(
)
(
x
x
f
−
=
;
4) 
x
x
f
2
sin
)
(
=
; 5) 
3
)
9
2
(
1
)
(
+
=
x
x
f
; 6) 
)
1
4
ln(
)
(
−
=
x
x
f
;
7) 
5
4
)
(
−
=
x
x
f
; 8) 
f
(
x
)=(2
x
–1)
10
; 9)
x
x
f
8
cos
)
(
=
.
44*.
 
1) 
e
sin
x
·tg
.
1
)
1
(
3
)
(
x
x
f
x
f
=
⋅
+
; 2) 3
ctg
x
·log
a
cos
x
;
3) 
lncos
x
;
4) (
x
2 
– 5
x 
+ 4)
3
·10
tg
x
; 5) 7
log3
x 
∙ 
(
x
3 
– 2
x 
+ 1)
3
; 6) 3
cos
x
·(
x
2 
– 8
x 
+ 4)
2
;
7) ctg
x 
· ln(
x
2 
+ 
x
); 8) 
x
2
cos
30
x 
+ 4; 9) 5ln
x 
· ctg
x
.

---

34
35
13–14
FUNKSIYA GRAFIGIGA O‘TKAZILGAN 
URINMA VA NORMAL TENGLAMALARI
Urinma tenglamasi.
 
y = f
(
x
) funksiyaga grafigining (
x
0
;
 f
(
x
0
)) nuqtasidan 
o‘tuvchi urinma tenglamasini topamiz (19-rasm). Urinma to‘g‘ri chiziq 
bo‘lgani uchun uning umumiy ko‘rinshi 
y = k x
+
b
bo‘ladi. Hosila ning 
geometrik ma’nosiga ko‘ra 
k
=tg
a
=
f
′
(
x
0
), ya’ni urinma teglamasi 
y=f
′
(
x
0
)
x+b
ko‘rinishini oladi. Bu urinma (
x
0
;
 f
(
x
0
)) nuqtadan o‘tgani 
uchun 
f
(
x
0
)=
f
′
(
x
0
)
x
0
+ b
bo‘ladi, bundan 
b = f
(
x
0
)
– f
′
(
x
0
)
x
0
. Topilgan 
b
ni urinma tenglamasiga qo‘yib, 
y=f
′
(
x
0
)
x+f
(
x
0
)
–f
′
(
x
0
)
x
0
yoki
y – f
(
x
0
) 
= f 
′
(
x
0
)(
x – x
0
) (1)
tenglamani hosil qilamiz. 
y – f
(
x
0
) 
= f
′
(
x
0
)(
x – x
0
) tenglama (
x
0
;
 f
(
x
0
)) nuqtada 
y = f
(
x
) funksiyaga 
o‘tkazilgan urinma tenglamasi bo‘ladi.
19-rasm. 
1-misol. 
f
(
x
) 
= x
2 
– 
5
x
funksiya grafigiga 
x
0
=
2 abssissali nuqtada o‘tka-
zilgan urinma tenglamasini yozing. 

Avval funksiyaning va funksiyadan olingan hosilaning 
x
0
=
2 nuqtadagi 
qiymatini topamiz:
f
(
x
0
) = 
f
(2) = 2
2 
– 5·2 = –6,
f 
ʹ(
x
) = 2
x 
– 5,
f 
ʹ(2) = 2·2 – 5 = –1.
Topilganlarni (1) tenglamaga qo‘yib, urinma tenglamasini hosil qilamiz:
( )
(
)
6
1
2 yoki 4.
y
x
y
x
− − = − ⋅ −
= − −
Javob:
y = 
– 
x 
– 4. 
▲

---

34
35
2-misol.
f
(
x
)
=x
3
–
2
x
2
funksiya grafigiga 
x
0
=
1 abssissali nuqtada 
o‘tkazilgan urinma tenglamasini yozing. 

Avval funksiyaning va funksiyadan olingan hosilaning 
x
0
=
1 nuqtadagi 
qiymatini topamiz:
f
(
x
0
)=
f
(1)=1
3
–2·1
2
=–1,
f 
ʹ(
x
)=3
x
2
–4
x
,
f 
ʹ(1)=3·1
2
–4·1= –1.
Topilganlarni (1) tenglamaga qo‘yib, urinma tenglamasini hosil 
qilamiz:
y
–(–1) = – 1 (
x
– 1 ) yoki
 y = –x.
Javob:
y = –x.
▲
Agar 
y=f
(
x
) funksi
ya grafigining 
x
0 
abssissali nuqtasida o‘tkazilgan 
urinma 
y=kx+b
to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘lsa, 
f 
'(
x
0
) 
= k
bo‘ladi. Bu 
shart orqali funksiyaning berilgan to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘lgan urinmasi
topiladi.
3-misol.
 f
(
x
) 
= x
2 
– 
3
x + 
4
funksiya uchun 
y = 
2
x – 
1 to‘g‘ri chiziqqa pa-
ral lel bo‘lgan urinma tenglamasini yozing.

Urinmaning berilgan to‘g‘ri chiziqqa parallellik shartiga ko‘ra,
f 
′(
x
0
)
=
2 yoki 2
x
0
–
3=2 tengla 
mani hosil qilamiz. Bu tenglamada 
x
0
=
2,5 bo‘lgani uchun urinma abssissasi 
x
0
=
2,5 bo‘lgan nuqtadan 
o‘tadi. Hisoblashlarni bajaramiz:
f
(
x
0
) 
= f
( 2,5) 
= 
2,5
2 
– 3·2,5 + 4 = 6,25 – 7,5 + 4 = 2,75
f
′(
x
0
) 
= f
(2,5) 
= 
2.
Endi urinma tenglamasini topamiz:
y –
2,75=2(
x–
2,5) yoki
y=
2
x–
2,25.
Javob:
y = 
2
x 
– 2,25.
 
▲
 
4-misol.
f 
(
x
)
=x
3 
– 2
x
2 
+ 3
x – 
2 funksiya grafigiga
x
0
= 
4 abssissali nuqtada 
o‘tkazilgan urinma tenglamasini tuzing va urinma bilan 
Ox 
o‘qining musbat 
yo‘nalishi tashkil qilgan burchakning sinusini toping.

Avval funksiyaning va funksiyadan olingan hosilaning 
x
0 
= 
4 nuqtadagi 
qiymatini topamiz:
f
(
x
0
)=
f
(4)=3·4
3
–2·4
2
+3·4–2=170,
f 
ʹ(
x
)=3
x
2
–4
x
+3,
f 
ʹ(4)=3·4
2
–4·4+3= 35.
Topilganlarni (1) tenglamaga qo‘yib, urinma tenglamasini hosil qilamiz:
y – 
170 = 35(
x – 
4) yoki
y = 
35
x 
+ 30.
Hosilaning geometrik ma’nosiga ko‘ra tgα=35, bundan

---

36
37
2
2
2
2
1
1
tg
35
35
sin
.
1
1226
1 ctg
1
1 35
1
tg
tg
α
α =
=
=
=
=
+
α
+
α
+
+
α
tg
tg
.
Javob: 
y=
35
x
+30;
35
sin
.
1226
α =
▲
5*-misol. 
f
(
x
)
=x
2 
parabolaga abssissasi 
x
0
bo‘lgan 
A
nuqtada o‘tka- 
zilgan urinma 
Ox
o‘qini 
1
2
0
x
nuqtada kesib o‘tadi. Shu da’voni isbotlang.

f 
ʹ(
x
) = 2
x
,
f
(
x
0
)=
x
0
2
, 
f 
ʹ(
x
0
) = 2
x
0
. 
Urinma tenglamasi (1) ga ko‘ra 
y
= 2
x
0 
⋅
x
–
x
0
2
bo‘ladi. Uning 
Ox
o‘qi 
bilan kesisish nuqtasi 
x
0
2
0
;






ekani ravshan. Bundan 
y
=
x
2
parabolaga 
abssissasi 
x
0
bo‘lgan 
A
nuqtada o‘tkazilgan urinmani yasash usuli kelib 
chiqadi: 
A
nuqta va 
x
0
2
0
;






nuqta orqali o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq 
y=x
2
parabolaga 
A
nuqtada urinadi.
Normal tenglamasi.
 
y=f 
(
x
) funksiya grafigiga 
x 
= 
x
0
abssissali nuqtada 
o‘tkazilgan urinmaga 
x 
= 
x
0 
nuqtada perpendikular bo‘lgan
y 
– 
f
(
x
0
)
0
0
1
( )
(
)
( )
y f x
x x
f x
−
= −
−
′
(2)
to‘g‘ri chiziqqa 
y = f
(
x
) funksiya grafigining 
x
0
abssissali nuqtasida 
o‘tkazilgan normal deyiladi (19- rasm).
6-misol.
f
(
x
) = 
x
5 
funksiya grafigiga 
x
0 
= 1 abssissali nuqtada o‘tkazilgan 
normal tenglamasini tuzing.

Hosila formulasiga ko‘ra 
f
ʹ(
x
) = 5
x
4
bo‘ladi. Funksiya va uning 
hosilasining 
x
0
=1 nuqtadagi qiymatlarini hisoblaymiz: 
f
(1)=1
5
=1 va 
f
′(1) = 5·1
4 
= 5. Bu qiymatlarni normalning tenglamasiga qo‘yamiz va 
1
1
( 1)
5
y
x
− = −
−
yoki
1
6
5
5
y
x
= −
+
tenglamani hosil qilamiz.
Javob: 
1
6
5
5
y
x
= −
+
. 
▲

---

36
37
Eslatma: 
f
(
x
)=
x
5 
funksiya grafigiga 
x
0
=1 abssissali nuqtada 
o‘tkazilgan urinma tenglamasi 
y
=5
x
–4 bo‘ladi (isbotlang!). Urinma 
va normalning burchak koeffitsiyenti ko‘paytmasi 5·(
1
1
( 1)
5
y
x
− = −
−
)= –1 ekaniga 
e’tibor bering.
?
Savol va topshiriqlar
1. 
y
=
f
(
x
) funksiya grafigiga 
x
0
abssissali nuqtada o‘tkazilgan urinma 
tenglamasini yozing.
2. 
y
=
f
(
x
) funksiya grafigiga 
x
0
abssissali nuqtada o‘tkazilgan normal 
tenglamasini yozing.
3. Berilgan funksiyaning biror to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘lgan 
urinmasi qanday topiladi? Misolda tushuntiring.
Mashqlar
45.
Funksiya grafigiga abssissasi 
x
0
=
1;
 x
0
=–2; 
x
0
=0 bo‘lgan nuq- 
tada o‘tkazilgan urinma tenglamasini yozing:
1) 
f
(
x
)
=
2
x
2
–
5
x
+1;
 
2) 
f
(
x
)
=
3
x–
4;

3) 
f
(
x
)
=
6;

4) 
f
(
x
)
=x
3
–
4
x
;
5)
f
(
x
)
=e
x
;

 
6) 
f
(
x
)=2
x
;
7) 
f
(
x
)
=
2
x
+
ln2;
8) 
f
(
x
)
=
sin
x
; 9) 
f
(
x
)
=
cos
x
;
10) 
f
(
x
)
=
cos
x–
sin
x
; 11) 
f
(
x
)
=e
x
x
; 
12)
f
(
x
)
=x
·sin
x.
46.
Funksiya uchun 
y=
7
x–
1 to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘lgan urinma 
tenglamasini yozing:
1) 
f
(
x
)
=x
3
–
2
x
2
+
6; 
2) 
f
(
x
)
=
4
x
2
–
5
x+
3; 3) 
f
(
x
)
=
8
x–
4
 .
47. 
Berilgan 
f
(
x
) va 
g
(
x
) funksiyalarning urinmalari parallel bo‘ladigan 
nuqtalarni toping:
1) 
( )
( )
2
3
5
4,
4
5;
f x
x
x
g x
x
=
−
+
=
−
( )
( )
2
3
5
4,
4
5;
f x
x
x
g x
x
=
−
+
=
−
2) 
( )
( )
8
9,
5
8;
f x
x
g x
x
=
+
= − +
( )
( )
8
9,
5
8;
f x
x
g x
x
=
+
= − +
3) 
( )
( )
7 11,
7 9;
f x
x
g x
x
=
+
=
−
( )
( )
7 11,
7 9;
f x
x
g x
x
=
+
=
−
4)
( )
( )
3
2
,
;
f x
x g x
x
=
=
–8,
( )
( )
3
2
,
;
f x
x g x
x
=
=
+5;
5)
( )
( )
3
2
,
5
7;
f x
x
x g x
x
=
+
=
−
( )
( )
3
2
,
5
7;
f x
x
x g x
x
=
+
=
−
6)
( )
( )
4
3
,
;
f x
x g x
x
=
=
+11,
( )
( )
4
3
,
;
f x
x g x
x
=
=
+10.

---