48
49
74.
Funksiyani tekshiring va grafigini yasang:
1)
;
2
9
6
2
3
−
+
−
=
x
x
x
y
2)
;
1
3
2
5
1
3
5
+
−
=
x
x
y
3)
4
3
4
15
y x
x
=
−
+
.
75*.
Funksiya hosilasining grafigiga qarab (25, 26-rasmlar), quyida gilarni
toping:
1)
statsionar nuqtalarni;
2) o‘sish oraliqlarini;
3) kamayish oraliqlarini;
4)
lokal maksimumlarini;
5) lokal minimumlarni.
25-rasm.
26-rasm.
50
51
22–25
GEOMETRIK, FIZIK, IQTISODIY MAZMUNLI
EKSTREMAL MASALALARNI YECHISHDA
DIFFERENSIAL HISOB USULLARI
Geometrik mazmunli masalalar
1-masala.
To‘g‘ri to‘rtburchak shaklidagi yer maydoni atrofini 100 m
panjara bilan o‘rashmoqchi. Bu panjara eng ko‘pi bilan necha kvadrat mert
yer maydonini o‘rashga yetadi?
Yer maydonining eni
x
m va bo‘yi
y
m bo‘lsin (27-rasm).
Masala shartiga ko‘ra
yer maydoni-
ning perimetri 2
x
+2
y
=100. Bundan
y
= 50–
x
. Yer maydonining yuzi
S
(
x
) =
xy
=
x
(50–
x
)=50
x
–
x
2
. Ma-
sala
S
(
x
) funksiyaning eng katta qiy-
matini topishga keltirildi. Avval
S
(
x
)
funksiyaning statsionar nuqtasini to-
pamiz:
S
ʹ(
x
)=50–2
x
=0,
bundan
x
= 25.
(–
; 25) oraliqda
S
ʹ(
x
) > 0 va
(25; +
) oraliqda
S
ʹ(
x
) < 0 bo‘lgani uchun
S
(
x
) funksiya
x
=25 da eng kat-
ta qiymatga ega bo‘ladi va
S
(25)
=
625. Demak, 100
m panjara yordamida
eng ko‘pi bilan 625
m
2
yer maydonini o‘rash mumkin.
Javob:
625
m
2
.
▲
Umuman, perimetri berilgan barcha to‘g‘ri to‘rtburchaklar ichida yuzasi
eng kattasi kvadratdir.
2-masala.
Tomoni
a
cm bo‘lgan kvadrat shaklidagi kartondan usti
ochiq quti tayyorlashmoqchi. Bunda kartonning
uchlaridan bir xil kvadratchalar kesib olinadi.
Qutining hajmi eng katta bo‘lishi uchun uning
asos tomoni uzunligi necha santimetr bo‘lishi
kerak?
Kartonning uchlaridan bir xil kvad ratcha-
lar qirqib olinib, asosi
x
cm bo‘lgan
ochiq quti
yasal gan, desak (28-rasm), kesib olingan kvadrat-
cha ning to moni
2
x
a
−
cm bo‘ladi. Shuning uchun
ochiq qutining hajmi
3
2
( )
2
2
2
a x
x
ax
V x
x x
−
=
⋅ ⋅ = −
+
x
m
y
m
27-rasm.
28-rasm.
50
51
3
2
( )
2
2
2
a x
x
ax
V x
x x
−
=
⋅ ⋅ = −
+
cm
3
. Demak, berilgan masala
3
2
( )
2
2
x
ax
V x
= −
+
funk si
yaning
[0;
a
] kesmadagi eng katta qiymatini topishga keldi.
V
(
x
) funksiyaning
statsionar nuqtalarini topamiz:
2
3
( )
0
2
V x
x
ax
′
= −
+
=
.
Bu yerdan
0
1
=
x
,
a
x
3
2
2
=
statsionar nuqtalar topiladi. Ravshanki,
3
2
2
3
27
V
a
a
=
va
( ) ( )
0
0
3
2
=
=
>
a
V
V
a
V
. Demak,
( )
x
V
ning
[ ]
a
;
0
kesmadagi eng katta qiymati
3
2
27
a
bo‘ladi.
Javob:
ochiq qutining asos tomoni uzunligi
a
x
3
2
=
cm.
▲
Dostları ilə paylaş: