Algebra va analiz asoslari

56
57
26–28
TAQRIBIY HISOBLASHLAR
y = f
(
x
) funksiya 
x
0
nuqtada chekli 
f 
′(
x
0
) hosilaga ega bo‘lsin. 
x
0
abssissali nuqtada 
y=f
(
x
) funksiya grafigiga o‘tkazilgan urinma 
tenglamasi 
y–f
(
x
0
)=
f 
′(
x
0
)(
x–x
0
) kabi yozilishini bilamiz.
x
0
nuqta yaqinida 
y = f
(
x
)
 
funksiya grafigini urinmaning mos 
kes masi bilan almashtirsa bo‘ladi (29-rasmga qarang):
y=f
(
x
)
y–f
(
x
0
)=
f 
′(
x
0
)(
x–x
0
)
f
(
x
0
)
f
(
x
0
+
∆
x
)
x
0
+
∆
x
x
0
29-rasm.
0
x x
−
orttirmani 
x
∆
deb belgilasak (ya’ni
0
x x
x
=
+ ∆
deb olsak) 
quyidagi taqribiy munosabatga ega bo‘lamiz:
(
)
0
0
0
( )
( )
( )
f x
f x
f x
x x
′
≈
+
−
, yoki 
(
)
( )
( )
x
x
f
x
f
x
x
f
∆
⋅
′
+
≈
∆
+
0
0
0
(1)
(1) taqribiy formula 
kichik orttirmalar formulasi
deb nomlanadi.
Izoh.
x
0
nuqta sifatida 
( ) ( )
0
0
,
f x
f x
′
qiymatlar oson hisoblanadigan 
nuqtani tanlab olish tavsiya etiladi. Shu bilan birga 
x
nuqta 
x
0
ga qancha 
yaqin bo‘lsa, bunday almashtirish aniqroq bo‘lishini qayd etamiz.
Endi biz kichik orttirmalar formulasiga tayangan holda taqribiy 
hisoblashlarni bajaramiz. 
1-misol.
 
f
(
x
)
 = x
7
–
2
x
6
+
3
x
2
–x+
3 funksiyaning 
x 
= 2,02 nuqtadagi 
qiymatini taqribiy hisoblang. 

---

56
57

x 
= 2,02 nuqtaga yaqin bo‘lgan 
x
0 
= 2 nuqtani olsak, bu nuqtada 
f
(
x
) funksiya qiymati osonlikcha topiladi:
0
( )
( 2) 13
f x
f
=
=
. 
Bu funksiyaning hosilasini topamiz: 
f x
x
x
x
'( )
=
−
+
−
7
12
6 1
6
5
. 
U holda 
f 
′(
x
0
) =
f 
′(2) = 75, Δ
x
=
x 
– 
x
0
=2,02 – 2=0,02 bo‘ladi. 
Demak, (1) formulaga ko‘ra 
f 
(2,02)=
f 
(2+0,02)≈13+75·0,02=14,5.
Kalkulator yoki boshqa hisoblash vositasi yordamida 
f 
(2,02)≈14,57995 qiymatni hosil qilishimiz 
mumkin. 
▲
2-misol.
 
1,02
ildizning qiymatini taqribiy hisoblang. 

( )
f x
x
=
funksiyani qaraymiz. Uning hosilasini topamiz:
f x
x
x
'( )
.
=
( )
′ =
1
2
x
0
= 1 deb olsak,
0
( )
(1)
1 1
f x
f
=
=
=
,
0
1 1
1
'( )
'(1)
2
2
1
f x
f
=
=
=
, 
0
1,02 1 0,02
x x x
∆ = −
=
− =
bo‘ladi. 
Demak, (1) formulaga ko‘ra 
1
1,02
1 0,02 1
0,02 1,01
2
=
+
≈ + ⋅
=
.
Kalkulator yoki boshqa hisoblash vositasi yordamida
1,02 1,0099504938...
≈
qiymatni hosil qilishimiz mumkin. 
▲
3-misol.
 
3
997
.
7
ning qiymatini taqribiy hisoblang.

3
( )
f x
x
=
funksiyani qaraymiz. Uning hosilasini topamiz:
2
3
1
'( )
3
f x
x
−
=
.
x
0
= 8 deb olsak, 
3
0
( )
(8)
8 2
f x
f
=
=
=
,
2
3
0
3 2
1
1
1
'( )
'(8)
8
3
12
3 8
f x
f
−
=
=
=
=
, 
7,997 8
0,003
x
∆ =
− = −
bo‘ladi. 
Demak, (1) formulaga ko‘ra 

---

58
59
3
3
0,003
7,997
8 ( 0,003) 2
1,9997
12
=
+ −
≈ −
=
.
Kalkulator yoki boshqa hisoblash vositasi yordamida
3
7.997 1,9997499687...
≈
qiy
matni hosil qilishimiz mumkin. ▲ 
4-misol.
sin 29° ning qiymatini taqribiy hisoblang.

( ) sin
f x
x
=
funksiyani qaraymiz. Uning hosilasini topamiz:
'( ) cos
f x
x
=
. 
0
6
x
π
=
deb olsak, 
0
1
( )
sin
6
6 2
f x
f
π
π
 
=
=
=
 
 
,
0
3
'( )
'
cos
6
6
2
f x
f
π
π
 
=
=
=
 
 
, 
29
180 6
180
x
π π
π
∆ =
− = −
bo‘ladi. 
Demak, (1) formulaga ko‘ra 
3
1
3
sin 29
sin(
(
)) sin
6
180
6
2 180 2
2 180
π
π
π
π
π
° =
+ −
≈
−
= −
≈ 0,484... .
Kalkulator yoki boshqa hisoblash vositasi yordamida
sin 29
0,4848096202...
≈

qiymatni hosil qilishimiz mumkin. 
▲
5-misol. 
Logarifmlarni hisoblash uchun kichik orttirmalar formulasini 
keltiramiz.

 f
(
x
)=ln
x
;
( )
x
x
f
1
=
′
. (1) ga ko‘ra, 
0
0
0
1
ln(
) ln
x
x
x
x
x
+ ∆ ≈
+
⋅ ∆
– 
kichik orttirmalar formulasini hosil qilamiz. 
Agar 
0
x
=1 va 
x
∆
=
t
bo‘lsa, ln(1+
t
) ≈ 
t
bo‘ladi. 
Bundan, masalan, ln1,3907= ln(1+0,3907) ≈ 0,3907 qiymatni olamiz.
Agar 
0
x
=0, ya’ni 
0
x x x
x
∆ = −
=
bo‘lsa, (1) kichik orttirmalar formulasi
f
(
x
)
≈
f
(0)
+
f 
′(0)
x
(2)
ko‘rinishni oladi. 
▲
Sinfda bajariladigan topshiriq.
 
(2) formulaga asoslanib, 
x
yetarlicha 
kichik bo‘lganda
sin
x
≈
x
, tg
x
≈
x
, 
e
x
≈
1
+x
, (1+
x
)
m
≈
1+
mx
, jumladan, 
x
x
2
1
1
1
+
≈
+
, 
3
1
1
1
3
x
x
+ ≈ +
taqribiy formulalarni hosil qiling. 

---

58
59
6-misol. 
30
1
0,997
ifodani taqribiy hisoblang.

 
(1+
x
)
m
≈ 1+
mx
formuladan foydalanamiz:
30
1
0,997
= (1–0,003)
–30 
≈ 1+(–30)(–0,003)=1+0,09=1,09.
Kalkulator yoki boshqa hisoblash vositasi yordamida
30
1
1,0943223033...
0,997
≈
qiymatni hosil qilishimiz mumkin. 
▲
(1+
x
)
m
≈ 1+
mx
taqribiy formuladan foydalanib ildizlarni tezkor 
hisoblash usulini taklif qilish mumkin.
Chindan ham, 
n
– natural son bo‘lib, 
B
soni 
n
A
ga nisbatan yetarlicha 
kichik bo‘lsin. 
U holda 
1
1
1
n
n
n
n
n
B
B
A
B A
A
A
nA




+ =
+
≈
+








yoki
1
n
n
n
B
A
B A
nA
−
+ ≈ +
.
Masalan, 
3
3
2
6
131
125 6 5
5,08.
3 5
=
+ = +
=
⋅
Kalkulator yoki boshqa hisoblash vositasi yordamida 
3
125 5,0788...
=
qiymatni hosil qilishimiz mumkin. 
(2) formulaga asoslanib, 
x
yetarlicha kichik bo‘lganda cos
x
ning qiymatini 
taqribiy hisoblaylik. (cos 
x
)ʹ
= – sin 
x
bo‘lgani uchun 
f
(
x
) ≈ 
f
(0)+
f
ʹ(0)
x 
formula cos
x
≈ cos0 – (sin0)
x
=1, ya’ni cos
x
≈1 ko‘rinishni oladi. 
Ravshanki, bunday “taqribiy” formula bizni qanoatlantirmaydi. Shu-
ning uchun, boshqacha yo‘l tutamiz. Asosiy trigo nometrik ayniyatdan
2
cos
1 sin
x
x
=
−
±
2
cos
1 sin
x
x
=
−
tenglikni hosil qilamiz. 
Yuqorida qayd etganimizdek, 
x
yetarlicha kichik bo‘lganda sin
x ≈ x
bo‘ladi. Demak, 
2
2
cos
1 sin
1
x
x
x
=
−
≈
−
.

---

60
61
Ravshanki,
 x
yetarlicha kichik bo‘lganda 
2
x
ham kichik bo‘ladi.
Demak, 
x
x
2
1
1
1
+
≈
+
formuladan 
2
2
1
1
2
x
x
−
≈ −
formula bevosita 
kelib chiqadi, ya‘ni 
2
cos
1
2
x
x
≈ −
formula o‘rinli bo‘ladi. 
7-misol.
 
cos44° ni taqribiy hisoblang.

cos(
x–y
)=cos
x
cos
y
+sin
x
sin
y 
bo‘lgani uchun
cos44
cos(
) cos cos
sin sin
4 180
4
180
4
180
π
π
π
π
π
π
° =
−
=
+
=
2 (cos
sin
)
2
180
180
π
π
=
+
.
2
1
cos
1
(
)
0,9998476...
180
2 180
π
π
≈ −
=
,
sin
0,0174532...
180 180
π
π
≈
=
. 
Demak, 
cos44
0,7193403...
° ≈
.
Kalkulator yoki boshqa hisoblash vositasi yordamida 
cos44°≈0,7193339... qiymatni hosil qilamiz.
?
Savol va topshiriqlar
1. Kichik orttirmalar formulasini yozing.
2. Kichik orttirmalar formulasining tatbiqiga oid misollar keltiring.
Mashqlar
91.
( )
f x
funksiyaning 
1
x
va 
2
x
nuqtalardagi qiymatini taqribiy 
hisoblang:
a) 
f
(
x
)=
x
4
+2
x
,
x
1
=2,016,
x
2
=0,97;
b) 
f
(
x
)=
x
5
–
x
2
,
x
1
=1,995,
x
2
=0,96;
d) 
f
(
x
)=
x
3
–
x
,
x
1
=3,02,
x
2
=0,92;
e) 
f
(
x
)=
x
2
+3
x
,
x
1
=5,04,
x
2
=1,98.
(1+
x
)
m
≈1+
mx
taqribiy formuladan foydalanib, sonli ifoda qiymatini 
hisoblang (
92–93
):
92.
a) 1,002
100
; 
b) 0,995
6
; 
d) 1,03
200
; e) 0,998
20
.
93.
a) 1,004; b) 25,012; d) 0,997; e) 4,0016.

---

60
61
Taqribiy formulalardan foydalanib, hisoblang (
94 – 97
):
94.
a) tg 44°; b) cos 61°; d) sin 31°; e) ctg 47°.
95.
a) 
cos
0,04 ;
6
π


+




b) 
sin
0,02 ;
6
π


−




c) 
sin
0,03 ;
6
π


+




d) 
tg
0,05 .
6
π


−




96.
20
40
3
5
1
1
1
1
a)
; b)
; d)
; e)
.
1,003
0,996
2,0016
0,994
20
40
3
5
1
1
1
1
a)
; b)
; d)
; e)
.
1,003
0,996
2,0016
0,994
20
40
3
5
1
1
1
1
a)
; b)
; d)
; e)
.
1,003
0,996
2,0016
0,994
;
20
40
3
5
1
1
1
1
a)
; b)
; d)
; e)
.
1,003
0,996
2,0016
0,994
97.
а) ln0,9; b) 
015
,
0
e
; d) 
20
40
3
5
1
1
1
1
a)
; b)
; d)
; e)
.
1,003
0,996
2,0016
0,994
( )
y f x
=
ning ko‘rsatilgan nuqtadagi taqribiy qiymatini hisoblang 
(