U dalaboyev vektor va tenzor

r
i
- I. 
-t - 
ta 
*■
 
- >
I 
- f
r 
Hr r 9 
He r 8 r Hr rsind p
Shunday 
qilib, 
sferik 
koordinatalar 
sistemasida 
Lame
koeffitsiyentlari va ortonormallashgan bazis
Hr =\,He =r,Hp = rsin0,
(6.4)
er =
{sin 
6
cos 

sin 
6
sin 

cos 
6}, ee =
{cos 
0
cos 

cos 
6
sin 

sin 
8},
ep = {-sin
ko'rinishda bo‘ladi.
(6.5)
6.2. Egri chiziqli koordinatalar sistemasida vektor analizning
asosiy amallari
Ortogonal koordinatalar sistemasida gradient
Ortonormallashgan 
e„ ev,ew
bazisli egri chiziqli koordinatalar siste- 
masida 
f(u,v,w)
skalyar maydon berilgan boMsin. 
b =
grad/ vektorni 
shu bazis bo'yicha yoyamiz
grad/ 
= b= bue,
+ 
bvev + bwew.
Ortonormallashgan bazisda vektor komponentalari vektoming bazis 
vektordagi proeksiyasiga teng:
&„=Pr*grad/ = («„grad/) =
.grad/- = ^ ( { / , / , / } ,{ / ; ,/ ; , / } ) =
Xuddi suningdek,
83
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

*v=_ L £ ,
‘ 
Hv 8v 
H ,d w
Shunday qilib,
grad f
=
-----—
e„ + -----— 
e 
+ ----- —e„
S 
J 
Hu du 
Hv dv 
Hwdw
(6.6)
Xususan, silindrik koordinatalarda
df -
1 
8f ^
g™d 
f = -f-e + - f - e + f - e ,
op 
pu
oz
(6.7)
Sferik koordinatalarda
. , 5 / ,
1 3 /_
1 
a / ,
grad 
f = — e. + -~r-e„ +
--------
—em
8r 
r 86 
rsm 6 8
(6.8)
1-misol.
Silindrik koordinatalar sistemasida berilgan
u = p + zcos
skalyar maydonning gradientini hisoblang.
[> (6.7) formuladan va silindrik koordinatalar sistemasidagi Lame
kooeffisientlaridan gradt/ 
= ep -  ~S'ng>e(0 + cos
 
kelib chiqadi.
Ortogonal koordinatalarda vektor chiziqlari
Biror ortogonal koordinatalar sistemasida 
a = a j, + ave, + a j w,
vektor 
maydon berilgan boMsin. Vektor chiziqlari shunday chiziqki, uning har 
bir nuqtasida 
d? 
urinma vektor 
d 
vektor tnaydonga kolleniar boMadi. 
dr 
=
/;' 
du 
+
/;' 
dv 
+ 
rj dw, 
r„' = 
ru' e, = Hueu,
rv' = 
H J V, 
r j
= 
Hwew
munosabatlardan
dr =(Hudu)eu +(Hvdv)ev +(Hwdv)ew
kelib chiqadi.
dr
va 
a
vektoming koleniarligidan
Hudu ^ Hvdv _ Hwdw
°v 
a w
(6.9)
(
6
.
10
)
Demak, 
a
maydonning vektor chiziqlarini topish uchun (6.10) 
differensial tenglamalar sistemasi kelib chiqdi.
2-misol.
Silindrik koordinatalar sistemasida berilgan 
a = p
maydonning vektor chiziqlarini toping.
t >
 
(6.10) 
tenglamalar 
sistemasidan
H d p Hd
H 
dz
.
—
— = —
— = - ^ — • 
(6.2)va 
ap = 0,ar = pq>, 
ax = 
z,
dan
foydalanamiz,
vektor chiziqlarining differensial tenglamasidan
84
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

P = C„
dp pd
, 
. dq> dz
= 
= 
=>dp =
0, — = —
0 
ptp 
z 

z
= 
c2
Yani vektor chizqlari spirallardan iboratdir.^
Ortogonal koordinatalarda chiziqli integral.
a
vektor maydon va uning chiziqli integralini kocraylik |(5dr).
L
a
va 
dr
vektorlami ortonormallashgan 
eu,ev,ew
bazisda yoyaylik: 
5 = 
aueu
+ 
avev + a J H
., dr =(Hudn)eu + (Hvdv)ev + (Hwdw)ew.
Unda
J(ac/r) = |
auHudu +avHvdv
+ 
awHwdw.
(6.11)
L 
L
3-misol.
Silindrik koordinatalarda berilgan 
a = ps\n
maydonning 
x2 +y2 = R1, z = h
chiziq bo‘yicha sirkulyatsiyasini toping. 
t> (6.11) formulani silindrik kordinatalarda yozamiz 
J(a 
,dr) =
J 
afiHpdp +aJHfid
L 
L
Berilganchiziqda 
p = R,z = h
bo‘lgani uchun, 
dp = Q,dz = Q,
afiHp = —p 1! p = —R*h,
J
(a,dr
) = J
avHfid
= - /?7?J 
d
◄
L 
L
0
Ortogonal koordinatalarda oqint
Orientirlangan 
S
sirtdagi 
a
vektor maydoh oqimi 
Q = jj(a,n)d
s
formula orqali beriladi; bu yerda 
h
Ssirtga o'tkazilgan normal vektor.
S
sirt u' = vt'0 sirtning biror bo'lagi bo‘lgan holni qaraymiz. Bunday 
sirtning parametrik tenglamasi 
r =r(u,v,w0),(u,v)eS
boMadi. Oqim
formuladan aniqlanadi. Agar 
J vektor yonalishi 
h
yo‘nalishi bilan
mos tushsa «+» ishorasi bilan qarama-qarshi yo‘nalgan bo‘lsa «-» 
ishorasi bilan olinadi. Integral ostidagi ifodada 
ru - r u'e u = Hueu, rv = HJev,
va ortonormallashgan bazisda 
[eu,ev] = ew,
va 
(aej) = aw
bo‘ladi. Unda
(a>[K'>K' ) = {a,[Hueu,Hvev]) = (aew)HuHw=>
85
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

(
6
.
12
)
Q = ±jf(a*H. H X . ., dlldv-
S
Bu yerda agar 
n
vektor yo'nalishi 
ew
vektor yo‘nalishi bilan mos 
kelsa «+» ishora bilan, aks holda «-» ishora bilan olinadi. (6.12) formula 
sirtning biror qismidan o'tadigan oqimni aniqlaydi.
Xuddi shuningdek, 
S
sirt 
u = u0
sirtning biror qismi boMsa, oqim
Q = ±JJ(auH,Hw)u^dvdiv.
(6.13)
S
formuladan aniqlanadi; agar /1 bilan 
eu
mos kelsa «+» ishora bilan, 
mos kelmasa «-» ishora bilan olinadi.
1 
—
misol. a = pep-co%qjer + :e.
vektor maydonning 
x2 
+ y 2 
= 4,
r = 0, 
r = 3 sirtlar bilan chegaralangan yopiq sirtning tashqi tomonidan 
o'tuvchi oqimni toping (6.8 -rasm).
>
a
sirt crj, 
ct
2
va er,- x2 + 
y2 
= 4
silidrik sirt yoki 
p =
2, 
a 2-
silindming pastki asosi : = 0 va silindming 
yuqori asosi r = 3 dan iborat. Bu uch sirt silindrik koordinatalar sistema- 
sining koordinat tekisliklaridan iborat. Shuning uchun (6.12) formuladan
3 
1*
Qo<
= ±JJ 
{apHzH¥) d=d9>
= 
+ jj(p p ),.
2
d=d,p
= 4 
J±Jdq>= 24 n,
s 
s
 
0 
0
Qo,
= ±JJ
(a, HpH, ) ^ dPd
= -J J (- 
P)r*dPd
= 0,
S
S
2 
2x
Q .,= ± JJ(a:HfiH, ) :. 3d Pd ‘P= +JJ(: P),-}dPd,P = 3JPd P j d 

* 
S
 
* 
S
 
0 
0
6.8
- 
rasm
Shunday qilib 
Q = Qo+Qo,+Qo =
86
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

2-misol.
Sferik 
koordinatalar 
sistemasida 
berilgan 
a = rer +rsm0e0 + rq>sinder 
maydonning 
z = J x 2 + y 1 
konusning 
z = 1
tekislik bilan ajratilgan qismining tashqi tomonidan o‘tuvchi oqimni 
toping (6.9-rasm).
> Konus sirti 
6 - n l
4 koordinatalar sirtining bir qismi (6.3-rasm). 
Shuning uchun (6.2) formulaga ko‘ra
Q = 
drdtp =
+J{ 
(r
sin 
6rsm d)e^ Hdrd

| j j
r 2drd(p;
s 
s 
^ s
e9
vektor 
lg
koordinata chizig‘iga (sfera meridianasiga) urinma 
bo‘ylab yo‘nalgan va 
6
ning o‘sish tomoniga yo‘nalganligi uchun 
integral oldida «+» ishorasi olingan (tashqi normal 
n
yo‘nalishi bilan 
mos keladi).
Konus sirtida 
r r = 0 (O
nuqtada) dan 
r
= v2 
(A
nuqtada) gacha 
o'zgaradi, shuning uchun,
Q = - j j r 2drdp = - f d p j r2dr = ? ^ -n .-4
2
S 
2
0 
0 
3
Ortogonal koordinatalarda divergensiyani hisoblash
Divergensiyaning invariant ta'rifidan foydalanamiz:
(div5)„ = lim—,
'•
t'-w, 
v
bu yerda 
V P0
nuqtani o‘z ichiga oluvchi hajm, 
Q - V
hajmni o‘rab 
turuvchi 
sirt 
bo‘yicha 
oqim. 
Yopiq 
sirt 
sifatida 
m
=
k
0 , 
u=u B 
+ 
du,
v = v 0 , v
= 
v 0 + d v , 
w=w0, 
w = w0 + dw
koordinata
sirtlarini olish mumkin ((6.4) - rasm).
sirtda
k
=
m
0, 
n .= -e u
sirtda
k
=
k
0 
+du,
=+e„; shuning uchun (6.3) 
formuladan
&, = -J j(a uHvHv\^ d v d w ,
S
Qa;
= 
+JJ 
(auHvH w)uru
1 
s
&, +Qa;
= J f [ ( ^ ^ U +A 
- ( a uHuH „ \ ^ d w .
s
Teylor formulasi va or’ta qiymat haqidagi teoremani qoTlab,
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Qv + 0ff- = J j [ j ; < * .' W .... + o(du)^dudw = ■|-(au//v/ / lr)|, dudvdw + o(dudvdw)
Xuddi huningdek, 
v=v0, cr2 
sirt va 
v = v0 + dv, cr2 
sirtlar uchun ham
Q ,+ Q . = — (avHuH„)Pdudvdw + o(dudvdw)\
2 
9i
0
a } :w=w0, 
va 
a } :w 
= w0 + dw, 
sirtlaruchunesa,
Q
Qa> +Qa,= —
dudvdw + o(dudvdw).
Barcha oqimlami qo‘shib, yopiq sirtdagi oqimni topamiz:
a =
^ ( a uHvH J fi + j-(a vHuH J Po + ± ( a wHuHv)Po dudvdw + o(dudvdw).
Endi Fhajmni hisoblaymiz (6.4 - rasm).
P0P, = r ’du + o(du), P0P2 =rv dv+ o(dv), P0P3 = rw'dw + o(dw),
tengliklardan
U holda
[ ± ( a uHvHw) + ^ ( a vHuHw)+ ^ -(a wHuHv)
dv
dw
& ____________________
V 
Hu HvHwdudvdw+ o(dudvdw)
Bu tenglikda limitga o‘tib,
1
dudvdw = Hu HJi^dudvdw.
dudvdw + o(dudvdw)
diva = -
w
.
<
«
14) 
divergensiyaning egri chiziqli koordinatalardagi ifodasi kelib chiqadi. 
Xususan, silindrik koordinaltalarda divergensiya
dlv
5
"?Li('”',+^w+s('”')
(6.15)
sferik koordinatalarda
diva =
j__a
r 'd r
(rV )n
1
rsin# 
d0
(sin#afl) +
1
rsin# d
(a.)
(6.16)
ko‘rinishda bo‘ladi.
Misol.
Silindrik koordinatalarda berilgan 
a = pep-cos
maydonning 
o : x '+ y 1
= 4, 
z = 0,z=3
yopiq sirtning tashqi tomidan 
o‘tuvchi oqimini toping (6.2 - rasm).
t> Sirt yopiq bo‘lgani uchun Ostragradskiy-Gauss formulasidan 
foydalanamiz.
88
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Oa = 
n)da = 
J J J d iv n
dV.
a
V
(6.15) formuladan divergensiyani hisoblaymiz
d i v a = — —
( p a
) + —
( a
) + —
( p a )
8 p K p' 8
*'
^ ( p l)+
tt
S ~
cos
<
p
)+ i(p = )
8
8: