U dalaboyev vektor va tenzor

 
dekart bazislar orqali
boMadi.
Agar Dekart koordinatalar sistemasining ortlari
[e „ e 2] = e3, 
[e2,e.] = e„
[e3,e ,] = e.
(7.2)
(7.3)
ko‘rinishda yoziladi. Nuqtaning radius vektori esa
(7.4)
ko'rinishda boMadi.
92
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

(7.3) va (7.4) ifodalarda indeks 
k
yig‘ish indeksi uni o ‘zgartirish 
bilan 
(7.3) 
va 
(7.4) 
ifodalaming 
ma’nosi 
o'zgarmaydi:
J 
} 
3
5 = Z
a
**=
=
'L a-*~
•
«s|
Tenzorlami bayon qilishda Eynshteyn qoidasi ishlatiladi: agar 
ifodada indeks takrorlanib kelsa, shu indeks bo'yicha yig‘iladi £ belgisi 
tushirib yoziladi (uch oMchovli fazoda indeks qiymati 1 dan 3 gacha 
o‘zgaradi). Bu kelishuvdan keyin (7.3) va (7.4) ifodalar quyidagicha 
yoziladi:
a = aje„ 
r
 
= 
xte,
 
(7.5)
Misol. (ek,ek)
ifodani hisoblang. 
t>Indeks takrorlanib kelgani uchun
3
(et ,ek)
= 
,ek) = (e, ,e{) + (e2 ,e2) + (e3,e2
) = 3
boMadi. 
4
K roneker belgisi. Bu belgi quyidagicha aniqlanadi:
4 =
1, 
agar i = k bo'lsa,
0, 
agar i * k bo'lsa.
(7.6)
Kroneker belgisi 9 ta elementdan iborat birlik matritsani beradi:
(\
0 0'
<5= 0 1 0 
(7.7)
,0 0 lj
Kroneker belgisidan foydalanib ortonormallashgan bazis (7.1) ni 
qisqacha
{ e J k) = S,k
(0.1)
ko‘rinishda yozish mumkin.
/
a
-
/ /
/
r
/ >
y
/
Misol. Slkxk
ifodani soddalashtiraylik.
>
=
'L s*xic+s«x.
**l 
k*i
boMgani uchun (7.6) ga ko‘ra
3
 
3
s**k
=
'L s*x*
= Z 0 ^ + ljr' =jr'
k=\ 
k*i
boMadi. Shuning uchun, 
SAxk =x,. 4
7.2. O rtlarni almashtirish 
ek
va 
ek
Dekart bazis vektorlar 
berilgan boMsin (rasmga qarang). Bu bazis 
vektorlar orasidagi bogManishni topamiz.
93
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Buning uchun 
ek
bazisni 
ek
orqali va aksincha toyishni ko‘raylik:
K =
(7-9)
ek = PtJm-
(7.10)
Bu yoyilmalarda 
k
indeks erkin, 
m
indeks esa yig‘ish indeksidir.
(7.9) ga ortlarni to‘gri almashtirish (7.10) ga esa teskari almashtirish 
deyiladi. (7.10) ni (7.9) ga qo‘ysak