U dalaboyev vektor va tenzor

I bob. SKALYAR VA VEKTOR MAYDONLAR
1. Skalyar maydon
• 
Skatyar ntaydon tushunchasi.
• M aydonlarning sath sirt va chiziqlari.
• 
Yo ‘nalish bo ‘yicha hosila.
• Skalyar maydon gradienti.
• S irt normalining yo ‘naltiruvchi kosinuslari
1.1. Skalyar maydon tushunchasi
Ta 'rif. Fazodagi biror D sohaning har bir M nuqtasiga aniq qonun
bo'yicha biror u(M) son mos qo'yilgan bo'lsa, bu sohada u-u(M )
skalyar maydon berilgan deyiladi. D
soha sifatida fazoning biror 
boMagi, sirti yoki chizig'i bo'lishi mumkin.
Faraz qilaylik, 
D
soha biror jism bilan toMdirilgan boMsin. 
D
sohaning biror 
M
nuqtasida jism zichligi 
p(M)
boMsin. Bunday 
maydonni jismning zichliklar maydoni deyish mumkin. 
M
dan boshqa 
nuqtada jism zichligi boshqa boMishi mumkin, yani jism 
D
sohada 
notekis taqsimlangan boMadi. Agar skalyar maydon sohaning barcha 
nuqtalarida bir xil boMsa, bunday maydonni 
bir jinsli maydon
deyiladi. 
Agar skalyar maydonning qiymati bir nuqtadan boshqa nuqtaga 
ko‘chganda o‘zgarsa bunday maydonga 
bir jinssiz maydon
deymiz.
Xuddi shuningdek, atmosferaning har bir nuqtasiga bosimning aniq 
qiymatini mos qo‘yish mumkin boMganligi sababli, atmosferadagi 
bosimlar maydoni berilgan, deyish mumkin. Qizdirilgan jismning har bir
6
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

ichki nuqtasiga tempetaturaning aniq qiymatini mos qo'yish mumkin 
boMganligi tufayli, qizdirilgan jism ichida temperaturalar maydoni 
berilgan, deb aytish mumkin.
Ba’zan skalyar maydonning qiymati vaqtga qarab ham o‘zgarib 
borishi mumkin. Masalan, qizdirilgan jism temperaturasi tashqi muhit 
temperaturasiga qarab o ‘zgaradi. Bunday maydonlar 
nostasionar skalyar
maydonlarni
tashkil qiladi. Agar skalyar maydon vaqtga bog‘liq 
boMmasa bunday maydonlami 
stasionar (barqaror)
maydonlar deyiladi.
Agar fazoda 
Ox\z
koordinatalar sistemasini kiritsak, u holda har bir 
M
nuqta maMum 
x,y,z
koordinatalarga ega boMadi va 
u
skalyar funksiya 
shu koordinatalaming funksiyasi boMadi 
u=u(M)=u(x,y,z).
Bu holat 
skalyar maydonni ko‘p o'zgaruvchili funksiyalar nazariyasi yordamida 
tekshirish imkonini beradi. Fiksirlangan 
O
nuqta olinsa fazodagi 
ixtiyoriy 
M
nuqtani uning radius vektori yordamida aniqlash mumkin. 
Bu holda 
u(M)
skalyar maydonni 
? = 
om
vektor argumentli skalyar 
funksiya deb qarash mumkin «(?).
Agar skalyar maydon simmetriklik xususiyatiga ega boMsa, uni 
tahlil qilish juda osonlashadi.
Agar koordinata sistemasini shunday tanlash imkoniyati boMsaki 
unda maydon funksiyasi faqat ikki o'zgaruvchiga bogMiq boMsa bunday 
maydonlarga 
yassi maydon
deyiladi.
Yassi maydonga bir xil isitilgan uzun aylanma trubali issiqlik 
trassasining atrofida joylashgan tuproq temperaturasini keltirish 
mumkin. Bunday holatda truba o‘qiga perpendikulyar joylashgan barcha 
tekisliklarda tuproq harorati bir xil kechadi. Bunda tuproq tempera- 
turasini aniqlovchi funksiya ikki oMchovIi boMadi (truba o‘qi bo‘ylab 
olingan koordinataga bogMiq boMmaydi).
Agar koordinatalar sistemasi shunday tanlansaki, unda skalyar 
maydon faqat bir koordinataning funksiyasi boMsa. Masalan, tinch 
holatda boMgan suv havzasining temperaturasini bir oMchamli deyish 
mumkin. Bunda suv havzasining temperaturasi suv sathidan qancha 
pastda joylashganligiga bogMiq boMadi.
Skalyar maydonni silindrik koordinatalar sistemasida ham qarash 
mumkin. Agar skalyar maydon biror silindrik koordinatalar 
Orqjz
sistemasida 

ga bogMiq boMmasa, bunday maydonni 
o'qqa simmetrik
deyiladi. Yuqorida keltirilgan issiqlik trassasi atrofidagi tuproq 
temperaturasi o‘qqa simmetrik bo'ladi (agar trassa yer sathidan yetarli 
pastda joylashgan boMib, tuproq sathi bilan temperatura almashish 
jarayonini inobatga oinmasa). Agar yassi skalyar maydon faqat radial
7
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

kordinatagagina (r) bogMiq bo'lsa, bunday maydonga 
o'qli maydon
deyiladi.
Agar biror sferik 
Orcpd
koordinatalar sistemasida skalyar maydon 
faqat masofa 
r
ga bogMiq boMsa 
(M
nuqtadan fiksirlangan 
O
nuqtagacha boMgan masofa), bunday maydon 
markaziy maydon
deyiladi. Misol sifatida gravitatsion potensialni keltirish mumkin:
t/(r) = G—
r
bu yerda 
G
graviatasion ozgarmas, 
m0
massa.
Koordinata boshida joylashtirilgan 
q
zaryadning hosil qilgan 
elektrostatik potentsiali
U(r)
= —
= --------
. q
Ane,/ 
4fre„yjx2
+ j-2 + 
z
1
ham markasiy maydon boMadi (koordinata boshidan tashqari).
Agar |/j = 
const
bo‘sa, 
x2
+y2 + r 2 
-const
kelib chiqadi. Shuning 
uchun sferada yotgan nuqtalar uchun elektrostatistik maydon potentsiali 
o‘zgarmas boMadi: 
u = const.