U dalaboyev vektor va tenzor

Tayanch iboralar:
Takrorlash uchun savollar
Mustaqil bajarish uchun topshiriqlar
1. Quyidagi maydonlaming sath chiziqlarini toping. 
a) 
u = 
v ~ x
; b)« = —
y
20
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

2. Quyidagi maydonlaming berilgan nuqtalardan o‘tuvchi sath 
chiziqlarini toping.
a)i
i = yjx2 + / + 2, M(3,5);
b) w = 
4x2 - y \ M(2,-X).
.
3. Quyidagi maydonlarning sath sirtlarini toping.
a) 
u = \
__1 > b)w = ln|r| c) w = 
^ d) w = arcsinJ* 
+ y-
(*,r) 
1 1 
(j,r)
V r 2
4. Quyidagi masalalarda 
berilgan funksiya uchun 
Af0(jro>J'o»-o) 
nuqtadan A/, 
nuqtaga yo‘nalgan hosilasini toping.
a) 
u = x2y + xz2-2 ,
M0(l,l,—l), A/,(2,-l,3)
b) 
w = 
xey
+ 
yex — : 2, M0
(3,0,2), A/, (4,1,3)
w = orsin(jt + >), funksiyaning 
A / ^ ; ^ j nuqtadagi f = (-l;0), 
vektor yo‘nalishi 'bo‘yicha hosilasini toping.
2. Vektor maydon
• 
Vektor maydon tushunchasL
• 
Vektor chiziqlarL Vektor chiziqlarining differensial tenglamasL
2.1. Vektor maydon tushunchasi
Yaqqol ko‘zga tashlanadiga vektor maydonlardan biri suyiqlikning 
tezliklar maydonidir. Fazoning biror 
D
qismida suyuqlik harakat 
qilayotgan bo‘sin. Ixtiyoriy 
MeD
nuqtada 
har xil vaqtlarda ham 
suyuqlik tezligi bir xil 
v(M)
boMsin. Bunday harakatga stasionar 
harakatga ega deyiladi. Aynan olingan bir nuqtada tezlik bir xil boMgani 
bilan 
D
ning boshqa-boshqa nuqtalarida tezliklar har xildir. Shunday 
qilib, 
D
da suyuqlikning tezliklar maydoni berilgan deyiladi.
Agar uch oMchovli fazoda to‘g‘ri dekart koordinatalar sistemasi 
Oxyz
berilgan boMsa, vektor maydonni uch o‘zgaruvchili vektor 
funksiya ko‘rinishda ifodalash mumkin. Haqiqatan ham, koordinatalar 
yordamida nuqtani va u yordamida vektor maydonni aniqlash mumkin. 
Oxy>z
koordinatalar sistemasida 
7, ],
* vektorlar bazis vektorlar boMsin. U 
holda 
S(M)
vektor maydonni
a(M)
= 
ax(x,y,z)J + ay (x, y, z )j + a. (x,y,z)k
21
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

z
M(x,y,z)
ko‘rinishda ifodalash mumkin (2.1 -
rasm). Bu yerda 
ax, ay, a2
lar 
(x,y,z)
ning skalyar funksiyalaridir. Bu funk- 
siyalaming 
M(x,y,z)
nuqtadagi qiymat- 
lari 
5(M)
vektorning 
7, 
], 
k
bazisdagi 
koordinatalaridan iborat bo'ladi.
X
2.1 - rasm
ax, ay, a,
laming har birini skalyar 
maydon 
sifatida 
qarash 
mumkin. 
Skalyar maydon kabi agar vektor may- 
don vaqtga bogMiq bo'lmasa bunday
maydonlarga stasionar maydonlar deyiladi. Agar vektor maydon vaqtga 
bog'liq boMsa nostasinar maydon deyiladi.
Agar biror to‘g‘ri dekart koordinatalar sistemasi 
Oxyz
tanlanganda 
vektor maydon 
z
ga 
( x
yoki v) bogMiq boMmasa, bunday maydon yassi 
maydon deyiladi. Bunday maydonlarda vektor 
xOy
tekislikka parallel 
boMadi, ya’ni bunday koordinatalar sistemasida 
a,(x,y,:)mO
boMadi.
Misol.
Biror jism biror o‘q atrofida o'zgarmas 
m
burchak tezlik 
bo‘yicha aylanayotgan boMsin. Bu holda aylanayotgan jism nuqtalari 
tezligi v(AO = [(5,/:] ga teng boMadi; <5- aylanish o‘qi bo‘ylab yo‘nalgan 
vektor, f - nuqtaning radius vektori. Shunday qilib, vektor maydon 
vektor argumentli vektor funksiya orqali berilgandir v(r) = [5,f].
Koordinatalar sistemasini shunday tanlaylikki unda jismning 
aylanish o‘qi 
Oz
o‘qi bilan mos kelsin va ® va t vektor yo‘nalishlari 
mos kelsin. U holda <5 = |®|& boMadi. Nuqtaning radius vektori 
r
= 
{x ,y ,z)
. U holda
boMadi. Demak, vektor maydon yassi maydon, chunki maydonning 
uchinchi koordinatasi nolga teng va birinchi va ikkinchi koordinatalar 
esa 
z
ga bogMiq emas.
Silindrik koordinatalari sistemasida 
Or
a(M)
vektor maydon be- 
rilgan boMsin. Agar vektor maydon har bir nuqtada 

ga bogMiq boM- 
masa, o ‘qqa simmetrik maydon deyiladi. 0 ‘qqa simmetrik maydonda 
S(M)
vektor 
M
nuqta va 
Oz
o'qidan o‘tadigan tekislikka parallel boMadi.
Agar berilgan 
a(M)
vektor maydon o‘zining aniqlanish sohasining 
ixtiyoriy nuqtasida uzunligi faqat 
r=OM
masofaga 
(O
koordinata 
boshi) va yo'nalishi 
O
va 
M
nuqtalami tutashtiruvchi to‘g‘ri chiziq 
bo‘ylab yo‘nalgan boMsa, bunday maydon markaziy maydon deyiladi. 
Bunday maydonni
v(x,y)
= 
[m,r
] = 
\a\(x] - y i )
22
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

a(M) = a(r)
= 
f( r ) r
ko'rinishda ifodalash mumkin (r = |?| = 
om
).
Misol.
Fazoda kuchni xarakterlovchi maydon kuch maydoni 
deyiladi. Masalan, massasi 
m0
ga teng boMgan material nuqtaning torti- 
shish kuchi. Faraz qilaylik bu nuqta koordinatalar boshida joylashgan 
boMsin. Nyuton qonuniga ko'ra massasi 
m
ga teng 
M
nuqtada joylashgan 
radius vektori 
r
boMgan material nuqtaga ta’sir qiluvchi kuch
F(r) = - G ^ r
H
ga teng boMadi. Bu yerda 
G -
gravitasion o‘zgarmas. Bunday kuch 
maydonning markaziy maydonligi o‘z-o‘zidan ravshan.
Nuqtaviy elektr zaryadlarining o‘zaro ta'siri natijasida hosil 
boMadigan maydon ham markaziy maydon boMadi. Nuqtaviy zarjad 
q0
koordinata boshida joylashgan boMsin. Kulon qonuniga ko‘ra radius 
vektori ? ga teng bo'lgan 
q
zarjadga ta’sir qiluvchi kuch
?<7o 
=
F(r) =
4
to
0 |rf
ko‘rinishda boMadi. Bu yerda 
s0
dielektrik konstanta.