Fizika, onun təbiət və texniki elmlərlə əlaqəsi

§15.3-дя  эюстярдик  ки,  беля  йцкдян  чыхан  интенсивлик  хятляринин  там  сайы, 
йя’ни сферанын сятщинин ящатя етдийи интенсивлик сели 
ES
N 
             (25) 
олар. Бурада 
2
r
4
S


- сферанын там сятщидир. Диэяр тяряфдян (13) дцстуруна эюря 
нюгтяви  йцкцн  бошлугда  юзцндян 
r
  мясафядя  йаратдыьы  сащянин  интенсивлийи  
СГСЕ-дя 
2
r
q
E 
               (26) 
шяклиндя  ифадя  олунур.  Бунлары  нязяря  алсаг,  сферадан 
чыхан интенсивлик хятляринин сайы 
q
4
r
4
r
q
ES
N
2
2






 
                   
q
4
N


                                  (27) 
олар. Бурадан эюрцнцр ки, дахилиндя електрик йцкц олан 
гапалы  сятщдян  чыхан  гцввя  хятляринин  там  сайы  бу 
N
E
q 
r 
Шякил 5 
+ 
+ 
+ 
+ 
q
1 
q
2 
q
3 
q
n 
Шякил 6 

йцкцн  мигдары  иля 

4
-нин  щасилиня  бярабярдир.  Бу  Гаусс  теореми  адланыр.  (27) 
дцстуруна сятщин юлчцляри дахил олмадыьындан бу ифадя истянилян формалы гапалы 
сятщ цчцн дя доьрудур.  
 
Ола  биляр  ки,  електрик  йцкц  гапалы  сятщин  хариъиндя  йерляшмиш  олсун.  Бу 
щалда  йцкцн  гцввя  хятляри  сятщи  ики  дяфя  кясмиш  олур:  сятщя  дахил  оланда  вя 
сятщдян чыханда. Яэяр гцввя хятляри сятщя дахил оланда интенсивлик селини мянфи, 
сятщдян  чыханда  ися  мцсбят  гябул  етсяк,  онда  бу  сятщин  ящатя  етдийи  там 
интенсивлик сели  
0
q
4
)
q
4
(
N






 
олар.  
 
Дедикляримиздян айдын олур ки,  




я.
 йерляшибс
хариъиндя
 
сятщин
 
гапалы
яэяр йцк 
 
я,
 йерляшибс
дахилиндя
 
сятщин
 
гапалы
яэяр йцк 
 
,
0
,
q
4
N

 
 
Инди  фярз  едяк  ки,  щяр  щансы  гапалы  сятщин  дахилиндя  бир  дейил  чохлу  сайда 
n
2
1
q
,...,
q
,
q
  йцкляри  йерляшмишдир  (шякил  6).  Айдындыр  ки,  бу  щалда  гапалы    сятщдян 
чыхан интенсивлик хятляринин там сайы щяр бир йцкцн бу сятщдян чыхан интенсивлик 
хятляринин ъяминя бярабяр олар, йя’ни  
 
















n
1
i
i
n
2
1
n
2
1
n
2
1
q
4
)
q
...
q
q
(
4
q
4
...
q
4
q
4
N
...
N
N
N





 
алыныр. Йя’ни  
(28)
       
          
4
1



n
i
i
q
N

  
 
Демяли,  дахилиндя  чохлу  сайда  електрик  йцкляри  олан  гапалы  сятщдян  чыхан 
интенсивлик  хятляринин  там  сайы  вя  йа  интенсивлик  сели 

4
  иля  бу  сятщ  дахилиндяки 
йцклярин  ъябри  ъями  щасилиня  бярабярдир.  Бу  Гаусс  теореминин  даща  цмуми    
шяклидя ифадясидир.  
 
Нюгтяви  йцкцн  юзцндян  r–мясафядя  йаратдыьы  сащянин  интенсивлийи  щяр 
щансы мцщит цчцн БС-дя  
2
0
r
q
4
1
E




                   (29) 
шяклиндя йазылдыьындан (27) вя (28) ифадяляри  


0
q
N 
                            (30) 
вя 




n
1
i
i
0
q
1
N


                   (31) 
шяклини алар. 
 
Гаусс теореминин  тятбигляри   
 
Гаусс  теореминин  тятбигляриня  кечмяздян  яввял  бя’зи  анлайышларла  таныш 
олаг. 

 
а) Йцкцн хятти сыхлыьы. Фярз едяк ки, сонсуз узун тел–
q

 йцкц иля йцкляниб. 
Бу  телин  ващид  узунлуьуна  дцшян  йцкцн  мигдары,  йя’ни  йцкцн  хятти  сыхлыьынын 
орта гиймяти  
l
q




                                 (32) 
олар. Телин верилмиш нюгтясиндя йцкцн хятти сыхлыьы ися 
dl
dq
l
q
lim
0
l



Δ
Δ
Δ

                  (33) 
шяклиндя йазылар. 
 
Яэяр йцк тел бойунъа бярабяр пайланмыш олса йцкцн хятти сыхлыьы 
      
l
q


                          (34) 
олар.  (34)  дцстурундан  эюрцнцр  ки,  йцкцн  хятти  сыхлыьы  йцклянмиш  телин  ващид 
узунлуьуна  дцшян  йцкцн  мигдарына  бярабяр  олан  кямиййятя  дейилир.  БС-дя 
м
Кл
1


 иля юлчцлцр. 
 
б)  йцкцн  сятщи  сыхлыьы.  Тутаг  ки,  щяр-щансы  мцстяви  сятщ 
q

  йцкц  иля 
йцклянир. Бу йцкцн сятщ сыхлыьынын орта гиймяти 
S
q




                          (35) 
шяклиндя ифадя олунар. 
 
Верилмиш нюгтядя йцкцн сятщ сыхлыьы ися  
dS
dq
S
q
lim
0
S







              (36) 
олар. 
 
Яэяр  йцк  сятщдя  бярабяр  пайланмыш  олса,  йцкцн  сятщ 
сыхлыьы 
              
S
q


                 (37) 
шяклиндя йазылар. Йцкцн сятщи сыхлыьы ващид сятщя дцшян йцкцн мигдарына бярабяр 
олан кямиййятя дейилир. (37) дцстурундан эюрцнцр ки, БС-дя 
2
м
Кл
1


 иля юлчцлцр.  
 
в)  Йцкцн  щяъми  сыхлыьы.  Фярз  едяк  ки,  щяр  щансы 
V

  щяъми 
q

  йцкц  иля 
йцкляниб. Бу щалда йцкцн щяъми сыхлыьынын орта гиймяти 
 
V
q




                             (38) 
шяклиндя йазылар. 
 
Верилмиш нюгтядя йцкцн щяъми сыхлыьы ися 
 
dV
dq
V
q
lim
0
V







             (39) 
олар. Яэяр йцк щяъмдя бярабяр пайланмыш олса йцкцн щяъми сыхлыьы  
                                       
V
q


                        (40) 
шяклиндя  ифадя  олунар.  Йцкцн  щяъми  сыхлыьы  ващид  щяъмя  дцшян  йцкцн 
мигдарына бярабяр олан кямиййятя дейилир.  
 
(40) ифадясиндян эюрцнцр ки, БС-дя 
3
м
Кл


 иля юлчцлцр.  
E
r 
S
2 
S
1 
R 
A 
Шякил 7 
В 
r 

 
Инди Гаусс теореминин бя’зи  тятбигляри иля таныш олаг.  
 
1. Бярабяр йцклянмиш сферик сятщин сащя интесивлийи. 
 
Фярз  едяк  ки,  радиусу  R  олан  сфера  q  йцкц  иля  бярабяр  йцкляниб.  Бу  о 
демякдир  ки,  сферанын  щяр  бир  нюгтясиндя  йцкцн  сятщ  сыхлыьы 


ейнидир.  Бу 
сферанын  мяркязиндян  r  мясафядя  (r>R)  A  нюгтяси  эютцряк.  A  нюгтясиндян 
икинъи бир сфера чякяк (шякил 7).  
 
Мя’лумдур ки, S
2
 сятщинин ящатя етдийи интенсивлик сели ашаьыдакы кими олар. 
2
S
n
r
4
E
ES
dS
E
N
2






 
Диэяр тяряфдян Гаусс теореминя эюря S
2
 сятщиндян чыхан интенсивлик сели, СГСЕ-
дя бошлугда 
q
4
N


-йя бярабярдир. 
Бу сон ифадялярин мцгайисясиндян 
q
4
r
4
E
2




 вя йа 
2
r
q
E 
                             (41) 
олдуьу алынар. 
 
(41) ифадяси БС-дя мцщитдя 
2
0
r
q
4
1
E




                  (42) 
шяклиндя йазылар. 
 
(41) вя (42) ифадяляриндян айдын олур ки, бярабяр йцклянмиш сферик сятщин юз 
хариъиндя  ямяля  эятирдийи  сащянин  интенсивлийи,  щямин  йцк  онун  мяркязиндя 
йерляшмиш олдуьу щалда ямяля эятирдийи сащянин интенсивлийинин ейнидир. 
 
Она  эюря  дя  R  радиуслу  сферанын  сятщиндя  щяр  бир  нюгтядя  йаранан  сащя 
интесивлийи СГСЕ-дя  
2
R
q
E


                     (43)   
БС-дя ися, 
2
0
R
q
4
1
E




           (44)  
шяклиндя ифадя олунар. 
 
Инди  бу  R  радиуслу  сферанын  дахилиндя  B  нюгтяси  эютцряк.  Бу  нюгтядян 
r 
 
радиуслу 
)
R
r
(


  сфера  чякяк.  Бу 
r 
  радиуслу  сферанын  дахилиндя  електрик  йцкц 
олмадыьындан  (  q=0  олдуьундан)    Гаусс  теореминя  эюря  бу  сятщдян  чыхан 
интенсивлик хятляринин сайы N=0 олар. Она эюря дя йцклянмиш сферанын дахилиндя 
E=0 олар.  
 
2. Йцклянмиш сонсуз узун назик телин сащя интесивлийи. 
 
Фярз  едяк  ки,  q–йцкц  иля  йцклянмиш  сонсуз  узун  тел  r  радиуслу 
силиндрин  оху  бойунъа  йерляшдирилмишдир  (шякил  8).  Телин  узунлуьуну 
l
 
гябул едяк. Телин йцкц 
l
q



 олар. Бурада 

– йцкцн хятти сыхлыьыдыр. 
Бу  телин  юзцндян  r  мясафядя  йаратдыьы  сащя  интесивлийини  щесабламаг 
цчцн телдян щяр тяряфя чыхан 
q
4
N


 гядяр гцввя хятти чякилмишдир.  
 
Ващид  сятщдян  чыхан  гцввя  хятляринин  сайы  гиймятъя  сащя 
интенсивлийиня бярабяр олдуьундан телин йаратдыьы сащянин интесивлийи 
r
2
l
r
l
2
rl
q
2
rl
2
q
4
S
N
E










. 
Шякил 8 
l
 
r 

r
2
E


                         (45) 
 
Бу  ифадя  СГСЕ-дя  бошлугда  йцклянмиш  телин  юзцндян  r  мясафядя 
йаратдыьы сащя интесивлийини эюстярир. (45) ифадяси БС–дя 
r
2
E
0




                     (46) 
шяклиндя йазылар. 
 
3. Йцклянмиш сонсуз мцстявинин йаратдыьы сащя интенсивлийи. 
 
Щяр  йериндя  йцкцнцн  сятщ  сыхлыьы  ейни  олан  йцклянмиш  сонсуз  мцстяви 
тясяввцр едяк. 
 
Мцстявинин йцкцнцн сятщ сыхлыьы 

, сащяси S олсун (шякил 9). 
 
Айдындыр  ки,  беля  мцстявидян  чыхан  гцввя  хятляри  мцстявийя 
перпендикулйар олар вя щяр тяряфя бярабяр пайланар. 
 
 
Гаусс теореминя эюря бу мцстявидян чыхан гцввя хятляринин там сайы 
q
4

 олар.Бу гцввя хятляринин йарысы мцстявинин бир тяряфиня, йарысы ися о бири 
тяряфиня  йюняляр.  Онда  мцстявинин  щяр  бир  тяряфиндян  чыхан  гцввя  хятляринин 
сайы  
q
2
2
N
N
N
2
1




 
олар. 
S
q


  олдуьуну  нязяря  алсаг, 
S
2
N
N
2
1



  аларыг.  Мцстявинин  щяр 
тяряфиндя йаратдыьы сащя интенсивлийи ися  

2
S
N
E
E
1
2
1



 

2
E 
                  (47) 
олар. Бу ифадя СГСЕ-дя, бошлугда эютцрцлмцш йцклц мцстявинин йаратдыьы сащя 
интенсивлийидир. 
 
(47) ифадяси БС-дя щяр щансы мцщит цчцн 



0
2
E 
                     (48) 
шяклиндя ифадя олунар. 
 
 
4.  Бир-бириня  паралел  олан  йцклянмиш  ики  сонсуз  мцстявинин 
йаратдыьы сащя интенсивлийи. 
 
Фярз  едяк  ки,  гиймятъя  бярабяр,  ишаряъя  якс  олан  йцклярля 
йцклянмиш  ики  паралел  сонсуз  мцстяви  лювщя  вардыр.  (шякил  10). 
Лювщялярин  сащяси 
,
S
  йцкляринин  сятщ  сыхлыглары  ися 


  вя 


  –
дыр.  Тяклянмиш  лювщядя  олдуьу  кими  бурада  да  щяр  лювщядян 
щяр  тяряфя  чыхан  гцввя  хятляринин  сайы  бярабяр  олуб 
S
2
q
2




  гядярдир.  10-ъу 
шякилдян эюрцндцйц кими бу гцввя хятляринин истигамяти лювщяляр арасында ейни, 
лювщялярин  кянарларында  ися  бир–биринин  яксинядир.  Интенсивлийин  топланмасы 
гайдасына  эюря  лювщяляр  арасында  сащяляр  топланар,  лювщялярдян  кянарда  ися 
чыхылар.  Онда  лювщяляр  арасында  йаранан  сащянин  интенсивлийи  СГСЕ-дя, 
бошлугда  



4
2
2
E



дах
 
Шякил .9 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
Шякил 10 
– 
– 
– 
– 
– 


 




4
E

дах
                    (49) 
лювщялярин хариъиндя ися 
0
2
2
E





хар
, 
 
50
          
          
0
хар

E
 
олар. (50) ифадяси БС-дя истянилян мцщит цчцн 



0
E 
                        (51) 
шяклиндя ифадя олунар. 
 
Електростатик сащядя йцкцн йердяйишмяси  заманы эюрцлян иш.  
 
Потенсиал
 
 
Електрик  сащясиня  дцшян  йцкя  гцввя  тя'сир  едир.  Бу  заман  йцк  йерини 
дяйишир  вя  сащя  гцввяляри  иш  эюрцр.  Фярз  едяк  ки,  q  йцкц  сащясиндя  q
0
  йцкц  dl 
гядяр йерини дяйишир (шякил 11). Бу заман эюрцлян иш 

cos
Fdl
dA


      (52) 
олаъаг. F, q иля q
0
  арасындакы Кулон гцввяси, 

cos
dl
dr


 ися dl йердяйишмясинин 
r
 радиус–вектору истигамятиндя пройексийасыдыр. 
 
Онда (52) 
dr
r
qq
k
dA
2
0

                    (53) 
шяклини алыр.
0
q
 йцкцнцн радис– вектору 
1
r
 олан нюгтядян, радиус–вектору
2
r
 олан 
нюгтяйя  йердяйишмяси  заманы  эюрцлян  иши  тапмаг  цчцн  сон  ифадяни 
интегралламаг лазымдыр: 


)
(
W
W
r
qq
k
r
qq
k
r
qq
k
r
qq
k
r
r
kqq
r
kqq
r
dr
kqq
A
r
r
r
r
54
        
          
          
          
          
1
1
1
1
2
1
0
2
0
2
0
1
0
2
1
0
0
2
0
2
1
2
1

































 
Бурада 
2
0
2
1
0
1
r
kqq
W
r
kqq
W


 
 вя
  биринъи  вя  икинъи  вязиййятлярдя 
0
q
q
 
вя
 
  йцкляринин  гаршылыглы  тя'сиринин  потенсиал  енержиляридир. 
Эюрцндцйц  кими  сащя  гцввяляринин  эюрдцйц  иш  йцклярин 
потенсиал енержиляринин азалмасына бярабярдир.  
 
(54)–дян  чыхарылан  илк  нятиъя  бундан  ибарятдир  ки, 
електростатик 
сащядя 
эюрцлян 
иш 
йцкцн 
щярякят 
трайекторийасындан  дейил,  йердяйишмянин  башланьыъ  вя  сон 
вязиййятлярини  тя'йин  едян
2
1
r
r


  
 вя
  радиус  векторларындан  асылыдыр.  Эюрцлян  ишин 
йолун формасындан аслы олмадыьы сащяляр, мя'лум олдуьу кими, потенсиаллы сащяляр 
адланыр. Бу сащялярдя тя'сир едян гцввяляря ися консерватив гцввяляр дейилир. 
 
Беляликля,  механикадан  бизя  мя'лум  олан  гравитасийа  сащяси  иля  йанашы 
електростатик сащя дя потенсиаллыдыр. 
 
Потенсиал  енержинин,  йерини  дяйишян  йцкя  нисбяти  щямин  нюгтядя  сащянин 
+ 
q 
C 
D 
1
r
2
r
r
0
q
dr
dl

Шякил 11 

потенсиалы адланыр. 
2
0
2
2
1
0
1
1
/
        
r
kq
q
W
r
kq
q
W






          (55) 
 
Онда йцкцн сащядя йердяйишмяси заманы эюрцлян иш 




2
1
0
1
2
0
q
q
A









            (56) 
олар. 
 
Бурада 


2
1

 
  потенсиаллар  фяргидир  вя  ядяди  гиймятъя  ващид  йцкцн 
сащянин  ики  нюгтяси  арасында  йердяйишмяси  заманы  эюрцлян  ишя  бярабярдир: 
2
1
0
A
,
1
q

 

   
. БС–дя потенсиаллар фяргинин вя еляъя дя потенсиалын ващиди 1 В-
дур. 
Кл
C
1
1
 
;
 
0
2
1



V
q
A


 
 
Яэяр 
 
0
q
йцкц  q–дян  r
1
  мясафядяки  Ъ  нюгтясиндян  сонсузлуьа  йерини 
дяйиширся 




2
r
, онда 
0
0
1
0
r
/
kqq
q
A



             (57) 
 
Бурадан  эюрцнцр  ки,  сащянин  верилмиш  нюгтясинин  потенсиалы  ядяди  гиймятъя 
ващид  йцкц  (q
0
=1)  сонсузлуьа  апармаг  цчцн  эюрцлян  ишя  бярабярдир: 
1
A


.  Бу 
ялбяття,  мцсбят  йцкя  аиддир.  Мянфи  йцк  щалында  потенсиал  ващид  йцкцн 
сонсузлугдан  сащянин  верилмиш  нюгтясиня  эятирилмяси  цчцн  сярф  олунан  иш  кими 
тя'йин едилир.  
 
Потенисалын 
тя'рифиндян 
эюрцндцйц 
кими 
о 
сащянин 
иш, 
енержи 
характеристикасы  олуб,  скалйар  кямиййятдир.  Она  эюря  дя  йцкляр  системинин 
фязанын  мцяййян  нюгтясиндяки  потенсиалы  айры-айры  йцклярин  сащяляринин  щямин 
нюгтядяки потенсиаллары ъяминя бярабярдир:  







N
1
i
i
i
N
1
i
i
r
q
k


                (58) 
(53) ифадясини 
l
d
E
q
l
d
F
dA


 шяклиндя йазыб интеграллайаг: 
l
d
E
q
A
0


                         (59) 
Бунун щяр тяряфини q
0
–а бюлцб, нязяря алаг ки, 
2
1
0
q
A




–дир. Онда 



2
1
2
1
l
d
E


                    (60)  
алыныр.  Яэяр  йцк  електростатик  сащядя  гапалы  хятт  бойунъа  йерини  дяйиширся, 
2
1

 
 вя  

 0
l
d
E

                         (61) 
Сон ифадя електростатик сащянин потенсиаллы олмасынын рийази формасыдыр. Сащядя 
эюрцлян  иш  йолун  формасындан  асылы  дейился,  йцкцн  гапалы  хятт  бойунъа 
йердяйишмя  иши  сыфырдыр.  Интегралын  цстцндяки  даиряъик  интегралламанын  гапалы 
хятт  бойунъа  апарылдыьыны  эюстярир.  Щяр  щансы  векторун  гапалы  контур  бойунъа 
яйрихятли интегралы онун сиркулйасийасы адланыр.  
 
Фярз  едяк  ки, 
l
d
  гапалы  L  контурунун  бир  щиссясидир. 
(шякил  12) 
E
-нин 
l
d
  истигамятиндяки  пройексийасыны  E
l
  иля 
ишаря едяк. Онда 
dl
E
cos
Edl
l
d
E
l




 алырыг. (61) ися  

 0
dl
E
l
                 (62) 
dl 
E
 
Л 
Шякил 12 

x 
y 
z 
шяклини алыр. 
 
Бу  ифадянин  щяр  тяряфини  L  контурунун  ящатя  етдийи  S  сащясиня  бюлцб, 
0
S 
 олдугда лимитя кечяк: 
0
S
dl
E
l
0
S
lim



 
Сол  тяряф  гапалы  контурун  ващид  сятщиндян  кечян  сиркулйасийаны  верир.  Буна 
E
 
векторунун ротору вя йа бурульанлыьы дейилир вя 
E
rot
 кими ишаря олунур. О бири 
тяряфдян 

  (набла)  операторун  вектора  векториал  щасили  бу  векторун  роторуну 
вя йа бурульанлыьыны вердийи цчцн 
 
0
E
rot
E



                    (63)  
Бу  ифадя  електростатик  сащянин  потенсиаллы  олмасынын  дифференсиал  формасыдыр  вя 
беля охунур: електростатик сащянин бурульанлыьы сыфырдыр, йя'ни гцввя хятляри гапалы 
йох, ачыгдыр.  
 
Гцввя  хятляри  йа  мцсбят  йцклярдя  башлайыб  сонсузлуьа  эедир,  йа  да 
сонсузлугда башлайыб мянфи йцклярдя гуртарыр.  
 
Нящайят, 
 
E
rot
E 

 векториал щасилинин пройексийаларла йазылма гайдасы иля 
таныш олаг. Бу ачылышы йадда сахламаг цчцн детерминант  гайдасы белядир. 
 
 
)
64
          
          
          
          
          
          
          
 (
y
E
x
E
k
x
E
z
E
j
z
E
y
E
i
E
E
E
z
y
x
k
j
i
E
rot
E
x
y
z
x
y
z
z
y
x

















































  
 
Бу  ачылышы  асан  йадда  сахламаг  цчцн  x,y,z  координатларыны  даиря  бойунъа 
дцзцб,  щяр  бир  проексийанын  юзцндян  сонра  эялян  дяйишяня  эюря 
тюрямя иля башлайыр вя сонра онларын йерини дяйиширляр. Мясялян, 


x
E
rot
 
пройексийасы y–я эюря, 


y
E
rot
 проексийасы z–я эюря, 


z
E
rot
 пройексийасы x–я эюря 
тюрямя иля башламалыдыр: 
y
E
x
E
E
rot
x
E
z
E
E
rot
z
E
y
E
E
rot
x
y
z
z
x
y
y
z
x


















)
(
;
)
(
,
)
(
               (65)