Ratsional funksiyani (kasrni) integrallash. Ba`zi bir trigonometrik ifodalarni integrallash

4. Sinus va kosinus juft darajali bo`ganda integrallash
Bunday integralda darajani pasaytirish formulalaridan foydalanish mumkin:
a) ;
b) .
12-misol.

.
> restart;
> IT2m:=Int(sin(x)^(2*m),x)=int(sin(x)^(2*m),x);
> m:=1:IT2m;

> m:=2:IT2m;

13-misol. integralni hisoblang.
YEchish. Trigonometrik funktsiyalarning darajalarini pasaytirish formulalaridan foydalanib, quyidagi natijaga kelamiz:




> restart;
> Int(sin(x)^2*cos(x)^4,x)=int(sin(x)^2*cos(x)^4,x);

5. Asosiy trigonometrik funksiyalarning darajalari ixtiyoriy butun ko`rsatkichli bo`lganda integrallash
a) deyilik.
Bu integralda n=–2;–1;0;1 bo`lsa, jadval integrallarini olamiz, ya`ni

(1)


Aytaylik, n ning qiymati bu ko`rilgan qiymatlardan farq qilsin, u vaqtda,

ni bo`laklab integraliaymiz:



.
Buni S_n ga nisbatan yechib,
n=2,3,… (2)
ga nisbatan yechib esa,
, n=-1,-2,… (3)
rekkurrent formulalarni olamiz. Bu (2) va (3) lar yordamida (1) ni hisobga olgan holda nZ uchun J_n integrallarni topa olamiz.
b) , (n Z) bo`lsin.
Bu integral n= –2; –1; 0; 1 bo`lganda jadval integrallaridir, ya`ni
(4)
Endi n ning boshqa butun qiymatlarini qaraymiz. Oldingi banddagidek ishlarni bajarib,
(5)
(6)
rekkurrent formulalarni olamiz.
c) deylik
T_-1­ =ln|sinx|+C, T₀=x+C, T₁ = – ln |cosx|+C (7)
jadval integrallaridir.

Bundan
n=2,3,… (8)
yoki
n= 0,-1,-2,… (9)
rekkurrent formula larni olamiz.