Ratsional va irratsional sonlar, haqiqiy sonlar, sonning absalyut qiymati va uning xossalari

KOMPLEKIS SONNING TRGANOMETRIK SHAKLI
Kompleks sonlarning geometrik tasviri va trigonometrik shaklini berish.
Oldingi ma’ruzada biz algebraik shaklda berilgan kompleks sonlar uchun kŏpaytirish formulasini keltirdik. Shuni ta’kidlash lozimki, shu formula murakkab kŏrinishga ega, shuning uchun bir nechta kompleks sonlar uchun kŏpaytirish, yoki biror sonni darajaga kŏtarish kabi amallarga sodda formulani topish dolzarb masala hisoblanadi. Bunday ishda bizga kompleks sonining trigonometrik shakli yordam beradi. Bu shaklni ta’riflashda kompleks sonining moduli va argumenti tushunchalari ishtirok etadi. Modul tushunchasini ilk bor Argan (1814) va Koshi (1821), argument tushunchasini esa Koshi (1847) kiritganlar. Kompleks sonini trigonometrik shaklda ilk bor Eyler va Dalamber tomonlaridan ifodaladilar.

Kompleks sonining geometrik tasviri.

z = a+bi, a, b  R., kompleks sonini tekislikdagi dekart koordinatalar sistemasida (a, b) koordinatalarga ega bŏlgan M(a,b) nuqta yoki uchi shu nŏqtada bŏlgan  radius-vektor bilan tasvirlash qabul qilingan (1-rasm). Ushbu sistemada abstsissa ŏqi xaqiqiy ŏq, ordinata ŏqi esa mavhum ŏq deb yuritiladi. Shunday tasvir kompleks sonining geometrik tasviri deyiladi.

Ravshanki, geometrik tasvir kompleks sonlar tŏplami va tekislik orasida biektiv akslantirishni ŏrnatadi. Adabiyotlarda shunday biektsiya kompleks sonlarning geometrik interpretatsiyasi deyiladi.
Kompleks sonining trigonometrik shakli.
Oldingi ma’ruzada zh a+bi, a, b  R., sonning modulining ta’rifi hamda Pifagor teoremasiga kŏra  radius-vektor r =  uzunligi bilan ustma-ust tushadi. Nolmas z= a+bi kompleks sonini z= r(  ) kŏrinishda y ozishmumkin. sos =  , sin =  tengliklarni bir vaqtda qanoatlatiradi-gan  son z= a+bi, a, b  R. sonning argumenti deyiladi va Arg z orqali belgilanadi.
Ta’rif. z = r (cos + i sin) ifoda z kompleks sonining trigonometrik shakli deyiladi.
z1 = r1 (cos1 + i sin1), z2 = r2 (cos2 + i sin2 ) sonlarining kŏpaytmasini topaylik.
z1 z2 = r1 r2 ((cos1 cos2 - sin1 sin2 )+ i (cos1 sin2 + sin1cos2 ))
= r1 r2 (cos(1 +2 )+ i sin(1+2 )) bŏlgani uchun
|z1 z2| =|z1 | |z2| va Arg (z1 z2)= A rg z1 + Arg z2 (1)
tengliklar ŏrinli bŏladi. Demak, kompleks sonlarni kŏpaytirganda modullar kŏpaytirilib, argumentlar qŏshiladi.
Matematik induktsiya printsipi yordamida (1)- qoida bir nechta kŏpaytuvchi-larga ham davom ettirish mumkin, ya’ni zk h rk (cos k + i sin k ), k=1,2,…,n, n  N , bŏlsa, u holda qŏyidagi formula ŏrinli:

z1 z2 …zn= r1 r2 …rn (cos( 1 + 2 +… n )+ i sin( 1 + 2 +… n ) ) (2)

(2) tenglikdan z1 =z2 =…=zn=z= (cos + i sin ) hususiy holida Muavr formulasi deb nomlangan

(cos + i sin ) n = cos n + i sin n (3)

formulaga ega bŏlamiz.

(cos + i sin ) –1=cos(-) + i sin(- ) tenglikdan Muavr formulasi ixtiyoriy butun n uchun ŏrinli bŏlishi kelib chiqadi.

Muavr formulasidan |z1 / z2| =|z1 | / |z2| va Arg (z1 /z2)= A rg z1 – A rg z2 tengliklar ham kelib chiqadi.

Muavr formulasi maktab matematikasiga muhim tadbiqlarga ega. Masalan, u cos(n) va sin(n) larni cos va sin orqali ifodalash kabi masalalarni echishda yordam beradi.

Shu masalalarni echish uchun Muavr formulasining chap tarafini N’yuton-Xayyom formulasi yordamida ifodalaymiz:

(cos + i sin) n =  ,

sŏng uni (3) ni ŏng tomoniga tenglashtirib, kerakli formulalarni hosil qilamiz.

Masalan (cos + i sin) 3 = cos3+3i cos2 sin -3 cos sin2 - i sin3 bŏlgani uchun

cos(3)= cos3 -3 cos sin2; sin(3)=3cos2 sin - sin3

formulalar ŏrinli bŏladi.

6. Tayanch tushunchalar: kompleks sonining geometrik tasviri, kompleks tekislik, xaqiqiy ŏq, mavhum ŏq, kompleks sonining trigonometrik shakli, komp-leks sonining argumenti, Muavr formulasi.

Maktab kursida  tenglama ŏtilgan ( bu erda x va a – xaqi-qiy sonlar, daraja esa butun). Ushbu tenglamani echimi x sonni ildizi deyilardi. Kompleks sonlar maydonida ham shunga ŏhshash ta’rif kiritish mŏmkin.

5.2. Asosiy qism.

Ta’rif. w kompleks soni z kompleks sonining n darajali ildizi deyiladi, agar

(1)

tenglik bajarilsa.

Kompleks sonidan kvadrat ildiz chiqarish.

Masalan, n = 2 holda z = a + bi algebraik kŏrinishga ega bŏlsin. (1) tenglamani echimini w= x + iy kŏrinishda izlaymiz.

tenglama x2-y2 = a ; 2xy = b sistemaga ekvivalentligini kŏrsatish mumkin.

Shu sistemani echib, talab qilingan ildizlar kŏrinishini topamiz:

w1,2 =  .

Kompleks sonidan n-darajali ildiz chiqarish.

Agar daraja ikkidan kattarok bŏlsa, u holda (1) tenglamani xuddi n=2 holiga ŏhshatib echish mumkin. Ammo ushbu usul yaxshi samara bermaydi. Shuning uchun ham biz kompleks sonlarining xossalaridan fodalanib, (1) – tenglamani echimini topishda yahshi samara beradigan usulni vujudga keltirishga kirishishimiz kerak. Ushbu ishda bizga Muavr formulasi yordam beradi.

Biz z sonini z = r (cos + i sin) trigonometrik shaklida yozib w sonni

w =  (cos + i sin) trigonometrik shaklda izlaymiz.

Ushbu holda (1)- tenglikni
n (cos + i sin)n = r (cos + i sin) (2)
kŏrinishda yozsa bŏladi.