Ratsional va irratsional sonlar, haqiqiy sonlar, sonning absalyut qiymati va uning xossalari

IKKINCHI TARTIBLI EGRI CHIZIQLARNING KANONIK TENGLAMASI
2-tartibli chiziq dekart reperida (Oxy to’g’ri burchakli dekart sistemasida) o’zining a₁₁x²+2a₁₂xy+a₂₂y²+2a₁₀x+2a₂₀y+a₀₀=0 (2.3.1) tenglamasi bilan berilgan bo’lsin. Bunday tenglamaga ega bo’lgan har qanday (aylanadan boshqa) chiziq bir juft bosh yo’nalishlarga ega, chunki (2.2.9) harakteristik tenglama doimo ikkita λ₁, λ₂ ildizlarga ega bo’lib, bosh yo’nalish vektorlarining koordinatalarini aniqlaydigan (2.2.8) sistema doimo 2 ta no’ldan farqli yechimlarga ega. (2.3.1) tenglamani kanonik (eng sodda) shaklga keltirish quyidagi teoremaga asoslanadi: dekart reperining koordinat vektorlari (2.3.1) chiziqning bosh yo’nalishlarini aniqlashi uchun (bosh diametrlar Ox va Oy o’qlarga parallel bo’lishlari uchun) a₁₂=a₂₁=0 bo’lishi zarur va yetarlidir.

Bu teoremaning isbotini qisqacha bayon etilgan.

(2.3.1) te nglamada a₁₂=a₂₁=0 bo’ladigan qilib α burchakni tanlash zarur. Bunday qiymatlarda

(λ≠0)

tenglik bajarilishi talab qilinadi. Bu esa

(2.3.2)

tenglamalar sistemasiga teng kuchli. (2.3.1) chiziqning xarakteristik tenglamasi

λ²-(a₁₁+a₂₂)λ+(a₁₁a₂₂-a²₁₂)=0 (2.3.3)

yoki x²-J₁λ+J₂=0 (2.3.4)

ko’rinishida bo’ladi. Uning λ_1, λ₂ ildizlarini topamiz (D>0bo’lganligi uchun a₁₂≠0 shartda doim mavjud). formuladan λ_1, λ₂ ildizlarga mos yo’nalishlarni aniqlaymiz:

.

Bular bosh yo’nalishlar bo’lib, k₁*k₂=-1, tgα₁*tgα₂=-1, bo’ladi.

Demak, reperni α₁ burchakka burib reperga o’tkazganimizda birlik vektorning koordinatalari

(2.3.5)

birlik vektorning koordinatalari esa (2.3.6) ko’rinishida bo’ladi, ya’ni:

. (2.3.7).

Shunday qilib, (2.3.1) tenglamada a₁₂=0 bo’lishi uchun reperning koordinata o’qlari (2.3.1) chiziqning bosh diametrlariga parallel bo’lishlari zarur va yetarli ekan. Teorema isbotlandi.

Viyet teoremasiga ko’ra, (2.3.3) xarakteristik tenglamada

J₁=a₁₁+a₂₂=λ₁+ λ₂ , J₂=a₁₁*a₂₂-a²₁₂=λ₁* λ₂ (2.3.8) tengliklar o’rinlidir. Bundan tashqari,

a¹₁₁=(a₁₁cosα₁+a₁₂sinα₁)*cosα₁+(a₂₁cosα₁+a₂₂sinα₁)sinα₁=(λ₁cosα₁)*

*cosα₁+(λ₁sinα₁)*sinα₁=λ₁ kelib chiqadi. Agar (2.3.8) tenglikni e’tiborga olsak, a¹₂₂=λ₂ bo’ladi. Shunday qilib,

J₁=a₁₁+a₂₂= λ₁+ λ₂= a¹₁₁+a¹₂₂ =J¹₁,

J₂=λ₁* λ₂ =a¹₁₁*a¹₂₂-0²=J₂¹. (2.3.9)

Bu esa J₁ va J₂ kattaliklar tekislikda koordinatalar sistemasining tanlanishiga bog’liq bo’lmay, balki 2-tartibli chiziqning o’ziga xos ichki xossasigagina bog’liqdir.

Demak, koordinata o’qlarini α₁ burchakka burilganda (2.3.1) tenglama λ₁x²+λ₂y²+2a^/₁₀x^/+2a^/₂₀y^/+a^/₀₀=0 (2.3.10) ko’rinishini oladi.

(2.3.10) tenglamani kanonik shaklga keltirish uchun koordinata o’qlarini parallel ko’chirishdan foydalaniladi, ya’ni O nuqtani O^/ nuqtaga ko’chirish orqali Ox^/y^/ dan O^/XY ga o’tiladi. Bu yerda bir necha hollar bo’lishi mumkin:

I. λ₁≠0, λ₂≠0, (λ₁≠0:markazli chiziq). (2.3.10) tenglamada

(2.3.11)

Almashtirish yordamida O(0,0) koordinatalar boshini O^/(-a^/₁₀/λ₁,-a^/₂₀/λ₂) nuqtaga parallel ko’chiramiz. Natijada (2.3.10) tenglama O^/XY sistemaga nisbatan λ₁X²+ λ₂Y²+a¹¹₀₀=0 (2.3.12)

ko’rinishga keladi. Bunda:

(2.3.13)

II. λ₂=0, a^/₂₀≠0 yoki λ₁=0, a^//₁₀≠0. Bu hollar bir-biriga o’xshashdir. λ₂=0, a^/₂₀≠0 holda (2.3.10) tenglamada x^/=X-a^/₁₀/λ₁,

(2.3.14) almashtirish qilamiz. Bu holda (2.3.10) tenglama O^/XY sistemada

λ₁X²+2a^/₂₀Y=0 (2.3.15) ko’rinishga keladi.

λ₁=0 (λ₂≠0), a^/₁₀≠0 bo’lgan holda esa

almashtirish yordamida (2.3.10) tenglama O^/XY sistemaga nisbatan

λ₂Y²+2a^/₁₀X =0 (2.3.16)

ko’rinishga keladi.

III. λ₁=0, a^/₁₀=0 yoki λ₂=0, a^/₂₀=0. (J₁≠0, J₂=0).

Bu hollar ham bir-biriga o’xshash tekshiriladi.

λ₂=0, a^/₂₀=0 holda (2.3.10) tenglamada

almashtirish yordamida O koordinatalar boshini O^/(-a^/₁₀/ λ₁,0) nuqtaga parallel ko’chiriladi. O^/XY sistemada (2.3.10) tenglamaning ko’rinishi

λ₁X²+a¹=0 (2.3.17)

bo’lib, bunda dir.

λ₁=0, a^/₁₀=0 bo’lgan hol shunga o’xshash tekshiriladi.

Shunday qilib, (2.3.1.) umumiy tenglama Oxy to’g’ri burchakli dekart sistemasidan Ox¹y¹ sistemaga koordinat o’qlarini (Ox ni) α burchakka burish bilan, so’ngra Ox¹y¹ sistemaning O koordinatalar boshini O^/ nuqtaga parallel ko’chirish natijasida quyidagi 3ta sodda ko’rinishlardan biriga keltiriladi:

λ₁X²+ λ₂Y²+a¹¹₀₀=0, (I)

λ₁X²+2a¹₂₀Y=0 (yoki λ₂Y²+2a¹₁₀X=0) (II)

λ₁X²+a¹=0 (yoki λ₂Y²+b¹=0). (III)

2.3.2. Ikkinchi tartibli chiziqlar tasnifi.

Agar (2.3.1) umumiy tenglamaga ega bo’lgan 2-tartibli chiziq bir juft (haqiqiy yoki kompleks) to’g’ri chiziqlarni ifodalasa, u holda (2.3.1) tenglamaning chap tomonidagi 2-darajali ikki noma’lumli ko’phad ikkita 1-darajali ikki noma’lumli uch hadlar ko’paytmasidan iborat bo’ladi va aksincha. Bir juft to’g’ri chiziqlarni ifodalaydigan 2-tartibli chiziqni buziladigan yoki bir juft to’g’ri chiziqlarga ajraladigan chiziqlar deyiladi.